专题03 平行四边形的压轴大题（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题03 平行四边形压轴大题 题型一 菱形的综合大题 1．（辽宁省营口市盖州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）八年一班的数学活动课上，老师发给每名同学一个菱形纸片，要求同学们沿一条直线折叠，探究图中的结论． 同学们在边上取点E，连结，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示． 小明发现：当点F落在边上时，． 小红发现：当点E是的中点时，连结．若已知和的长，则可求的长． 问题提出与解决： 同学们根据小明和小红的发现讨论后提出问题，请你回答问题． 问题：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到． (1)如图2，当点F在边上时，求证：； (2)如图3，当点E是的中点时，连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据菱形的性质和等边对等角得到，根据折叠的性质得到，，利用三角形内角和定理即可证明结论； （2）过点A作于H，于K．利用中点和折叠的性质得．由等腰三角形的性质得到 ，勾股定理得到．证明，则，勾股定理求出，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴ ∴， 而，， ∴． （2）解：过点A作于H，于K． ∵E是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴． ∵，， 而， ∴，， 即． 而， ∴， ∴， 而，， ∴， ∴， 而， ， ∴． 2．（辽宁省抚顺市清原满族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． (1)小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） (2)当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． (3)小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1；； 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； （2）①根据菱形的性质得出，，，根据平移得出，，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，即可证明，得出结论； ②证明，得出，证明，得出； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）证明：①∵四边形为菱形， ∴，，， 根据平移可得：，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， 根据平移可知：， ∴， 即， 根据①得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：菱形中，， 根据平移可知：，， 当时，如图所示： 根据解析（2）可知：， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 根据解析（2）可知：， 设，则， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长度为：1；；． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 3．（辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题情景】 如图1，在菱形中，，点为菱形外部一点，连接交对角线于点，且满足． 【初步探究】 （1）求证：； 【解决问题】 （2）如图2，连接，当，时， ①求线段的长； ②求的度数； 【类比探究】 （3）如图3，在菱形中，当时，交于点，连接，，并延长交于点．若，请直接写出线段的长____________． 【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3） 【分析】（1）方法一：连接，根据菱形的性质，证明，得到，，结合，，得到，证明，进而证明，利用等角对等边得到，由此得证；方法二：过点作交于点，连接，，证明四边形是平行四边形，结合四边形菱形，可证四边形为平行四边形，由此得证； （2）① 连接交于点，可得，根据勾股定理求得、，由此可得的长； ② 方法一：过点作于点，证明四边形为矩形，从而得到，即可得解；方法二：过点作交延长线于点，证明四边形为矩形，即可得解； （3）过点作，连接，连接交于点，由已知可证四边形是正方形，设，则，，利用勾股定理，可求得，进而求得，从而证明四边形为平行四边形，为中点，证明，，进而证得，设，在和中，利用勾股定理，求得，由此得解． 【详解】（1）方法一：证明：连接，如图， 四边形菱形， ，． ， ． ，． ， 又， ． ． ． ． ． ． 方法二：证明：过点作交于点，连接，． ， 又， ． ． ，， 四边形是平行四边形， ， 又 四边形菱形， ，， ，． 四边形为平行四边形． ． （2）解：①连接交于点， 四边形菱形， ，，． 由（1）得，， 为的中位线． 在中，． 在中，． ． ②方法一：过点作于点， ． 由（1）得，， ． ． 四边形为矩形． ，，． ． ． ． ． 方法二：过点作交延长线于点，如图所示， ， ， 由（1）得，， ， ， 四边形为矩形． ，，， ， ，又， ， ． （3）解：过点作，连接，连接交于点，如图， 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，，， 设，则，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 根据第（1）问，，又， 为中位线， ， ， ，又， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 设， 在中，， 在中，， ， 解得， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 4．（辽宁省大连市庄河市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】 （2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）利用证明即可； （2）过点作平分交于，先证明四边形是平行四边形，可得，再证明是等边三角形，推出，再证得即可； （3）设，以、为边作，连接，将绕点逆时针旋转得，连接，可得是等边三角形，，，再得出，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，    和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ； （2）如图2，过点作平分交于，    四边形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 即， 由旋转得：，， ， ， ； （3）如图3，以、为边作平行四边形，连接， 则，，，，    设，则， ， ， 又， 是等边三角形， 将绕点逆时针旋转得，连接， 是等边三角形，，， ， ， ， 即， ， 即的长为． 【点睛】本题是几何综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题关键． 5．（辽宁省丹东市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质． 首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形；接下来张老师提出问题：如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，则中点四边形是什么形状？中点四边形的面积与原四边形的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程． 班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形是平行四边形，且中点四边形的面积是原四边形面积的一半． 证明如下： 证明：如图2，连接， 点，分别为，的中点 是的中位线，根据三角形中位线定理可得： 与的位置关系为________，数量关系为________． 同理可得：，， ，， 四边形是平行四边形， 根据线段，的关系，进而可得， （1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整． 且________．同理： ； 【类比探究】 （2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形的周长与对角线，长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空） ①当对角线，满足________关系时，中点四边形为菱形？ ②当对角线，满足________关系时，中点四边形为矩形？ ③中点四边形的周长与对角线，长度有怎样的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形内部有一点，连接，，，，点，分别是，的中点，连接，若，，，，求的长． 【答案】问题初探：见解析；类比探究：①；②；③中点四边形的周长，理由见解析；学以致用： 【分析】问题初探：由三角形中位线定理可得，，同理可得：，，从而得到，，推出四边形是平行四边形，证明，由相似三角形的性质可得，同理可得，求出，再根据，即可得证； 类比探究：①由问题探出可得：四边形是平行四边形，，同理可得，由，得出，即可判断出四边形是菱形；②由问题探出可得：四边形是平行四边形，，同理可得，由，可得，即可判断出四边形是矩形；③由问题探出可得：，同理可得：，再由周长公式进行计算即可得出答案； 学以致用：取的中点，连接，，，，设与交于点，与交于点，求出，从而得出，证明，得出，，从而得出，由三角形中位线定理得出，，过点作交的延长线于，根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理可得，，从而得出，最后再由勾股定理进行计算即可． 【详解】问题初探： 证明：如图2，连接，， ， 点，分别为，的中点 是的中位线， 根据三角形中位线定理可得：与的位置关系为，数量关系为， 同理可得：，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ； 类比探究： 解：①当对角线，满足时，中点四边形为菱形， 由问题探出可得：四边形是平行四边形，， 同理可得， ， ， 四边形是菱形， 故答案为：； ②当对角线，满足时，中点四边形为矩形， 由问题探出可得：四边形是平行四边形，， 同理可得， ， ， 四边形是矩形， 故答案为：； ③中点四边形的周长， 理由如下： 由问题探出可得， 同理可得：， 中点四边形的周长； 学以致用： 解：如图，取的中点，连接，，，，设与交于点，与交于点， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，，即， ， ， ， ， 为的中点，为中点， 为的中位线， ，， ， 同理可得：，，， ， 过点作交的延长线于， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、菱形的判定、矩形的判定、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．（辽宁省丹东市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）过点E作于点F，根据题意得到；，进而求解即可； （2）过点D作，连接，首先证明出四边形是矩形，得到，然后利用勾股定理求出，设，则，然后利用列方程求解即可． （3）连接，，过点A作于M，作于N，得到，，得到，进而求解即可； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M，由（3）知平分，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：过点E作于点F ∴；； ∴ （2）如图所示，过点D作，连接 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴，， ∴设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）连接，，过点A作于M，作于N， 由（1）知 ∴，即 ∵ ∴ ∴点A在的平分线上，即平分； （4）作，连接，过点H作于点G，于点Q，过点E作于M， ∵， ∴由（3）知平分 ∵， ∴ ∴， ∵，，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴在中，由可得， ∴ 在中，∵，， ∴， 在中， ∵ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造平行四边形． 题型二 矩形的综合大题 7．（辽宁省沈阳市浑南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）[问题情境] 如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线上，点的对应点记为，折痕与边分别交于点． 【特例感知】 （1）如图2，连接，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图3，当点在线段上时，连接，设与分别交于点，当时，求证：； 【深入探究】 （3）将（2）中的点改为“在射线上时”，（2）中其它条件不变的情形下，若，时，请直接写出的长．    【答案】（1）菱形，理由见解析（2）见解析（3）或 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）矩形的性质，以及，得到，进而推出为等边三角形，，得到，折叠的性质，推出，进而得到，即可得证； （3）分点在线段上和线段的延长线上，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形． 理由：设与交于点，如图，    由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）①当点在线段上时，过点作与点，    由（2）知：， ∴， ∴， ∴， 设， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 设交与点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图：    同法可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 8．（辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接、． (1)如图，当点在上时，______度； (2)如图，当落在边上时，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展开，连接交于点，连接．求证：四边形是菱形； (3)如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上，并且折痕交边于点，交直线于点，把纸片展平，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，，，于是得出，从而得到是等边三角形，即可求出的度数； （2）由轴对称的性质得出，，根据平行线的性质得出，，从而证得，得出，于是推出四边形是平行四边形，再根据即可证得四边形是菱形； （3）由轴对称的性质得出，根据，即可得出，再根据当点与点重合时，有最大值为，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， 是的垂直平分线， ，， 以为折痕再一次折叠纸片，使点落在折痕上的点处， ， ， 是等边三角形， ， ； （2）证明：如图2， 折叠矩形纸片，点在边上， 垂直平分， ，， 又， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （3）解：如图3， 折叠纸片，点落在边上， ， 在中，， 又， ， ， 又点在边上， 当点与点重合时，有最大值为， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型三 正方形的综合大题 9．（辽宁省抚顺市望花区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)①矩形还是正方形，理由见解析；② 【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． （1）利用正方形性质得出，，证明，得出，由正方形判定定理解答即可； （2）①过点作，，垂足分别为，利用（1）中方法解答即可； ②求出，过点作于点，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）①矩形还是正方形，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为， ， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， 矩形是正方形． ②四边形是正方形， ， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形 ， ，， ， ， ． 10．（辽宁省大连市高新技术产业园区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交边于点，连接．      (1)如图1， ①若，求的度数； ②求的度数． (2)如图2，点在边上，，连接，求证：； (3)如图3，过作于，延长交的延长线于，若，求正方形的面积． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)58 【分析】（1）①先证明，得出，得到； ②根据，，得出，从而得到； （2）过B作交的延长线于Q，证明，根据勾股定理得出，再证明，得到，根据，得到； （3）连接，，通过计算得出线段长度，根据勾股定理得出，再根据四边形是正方形，得出，得到，所以正方形的面积为58． 【详解】（1）解：①将边绕点逆时针旋转得到 ． 四边形是正方形， ． ； ② ． 又， ， ． （2）证明：如图，过作交的延长线于 ． ， ． 在中，根据勾股定理得，， ． 四边形是正方形， ， ， ， 又 ． ；    （3）解：如图，连接 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，根据勾股定理得，， ． 四边形是正方形， ， 正方形的面积为58．    【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角度计算等，掌握正方形的性质是解题的关键． 11．（辽宁省大连市西岗区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知：如图（1），正方形为射线上一动点（不与B重合），沿将翻折至的对应点是F，过A作于A，交正方形的边于G，连接．    (1)根据题意补全图形； (2)求证：； (3)已知正方形的边长为3． ①在图（1）中若，求的长； ②如图（2）当E点运动到边上时，G点随之运动到的延长线上，其它条件不变，那么在E运动过程中能否为等腰三角形，若能请求出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；②或 【分析】（1）按要求画出图形即可； （2）证明，从而，进一步得出结论； （3）①连接，延长至点，使得，连接，，再证，得，可知，得，再由勾股定理可得，即可求解； ②在上取一点，使得，连接、，同①可得，，，依题意，，分两种情况，当时，当时分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，    （2）证明：正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ∵沿将翻折至， ，， ； （3）V连接，延长至点，使得，连接，，   ， ， ，， 由（2）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ∵正方形边长为3， ， ，， 中，， ， ； ②在上取一点，使得，连接、，同①可得，，，依题意，， 当时， ， ， ， ， ；        当时， ， ．    综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 12．（辽宁省盘锦市兴隆台区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）“如图1，在正方形中，点E为对角线上任意一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接，求证．”对这个问题，同学们提出了多种正确的解答方法，其中比较集中的有两个思路：第一、如图2，连接；第二、如图3，过点E作的平行线分别交，于点M和点N．        (1)请你选择其中一种思路解答； (2)把问题中“…交边于点F”改为“…交边的延长线于点F”，其余条件不变，用等式表示，和之间的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）思路1：连接，证明，得到，利用四边形内角和得到，利用平角定义得到，进而可得，利用等腰三角形性质得到，再等量代换，即可证明； 思路2：过点E作，交于点M，交于点N，再结合矩形的判定和性质、正方形证明，即可解题； （2）过点E作，交于点M，交于点N．解题方法与思路2类似，证明，得到，再结合勾股定理，即可解题． 【详解】（1）解：思路1：连接，   四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ， 在四边形中， ， ， ， ， ， ； 思路2：过点E作，交于点M，交于点N，    在正方形中，，， 则， ， ， 四边形是矩形 ， ， 是对角线， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：．如图所示，过点E作，交于点M，交于点N．    由思路2得，四边形是矩形， ，． 由于是正方形的对角线， ， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 同思路2一样，，， ， ， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，四边形内角和，等腰三角形性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 13．（辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题）在一次数学活动课上，老师带领同学们探究图形的变换问题．老师先提出这样一个问题：有一张矩形纸片，其中，，你能用这张矩形纸片折出一个等边三角形吗？ 【操作】小明同学是这样操作的：如图①，先将矩形沿对折；展开后，再将点沿折叠，使点落在上的点处；再展开，连接，，则为等边三角形． 【验证】（1）求证：为等边三角形； 【应用】（2）连接，，如图②，求的长； 【拓展】（3）将图②中的绕着点顺时针旋转（）得到（点，的对应点分别为，），连接，，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）2；（3）或 【分析】（1）可知是的垂直平分线，则，由折叠得，故，即可求证； （2）由勾股定理可求，而，对运用勾股定理可求； （3）当时，记与交于点H，可证明是直角三角形，即，由面积法可求，则，继而可得是等边三角形，则此时旋转到，因此点对应点落到点的位置，故；当时， 过作于，过点作，则，，可证明，则，在中，由勾股定理得，，综上，线段的长为或． 【详解】（1）证明：矩形沿对折， 是的垂直平分线， ， 折叠， ， ， 是等边三角形； （2）解：， ，， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ， ∵是折痕， ， ； （3）解：旋转， ， ， 等腰三角形中， 可分两种情况讨论， ①当时，记与交于点H，如图所示， 由（2）知，，，， ， 是直角三角形，即， ， 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 此时旋转到， 点对应点落到点的位置， 此时； ②当时，如图所示， 过作于，过点作， ， ， ∵，由轴对称得，， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质，等边三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14．（辽宁省大连市庄河市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题发现】 如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到． （）如图，点恰好落在对角线上，连接交于点，交于点．求证：； （）如图，点落在正方形纸片内部，延长交边于点， ①猜想线段之间的数量关系，并证明； ②试说明的度数． 【探究应用】 （）如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的长度． 【答案】（）证明见解析；（）①，证明见解析；②；（）． 【分析】（）证明即可求证； （）①．连接，证明，得到，进而由即可求证；②由折叠得，由，得，进而得即可求解； （）由翻折可得，，，即得，得到，进而得到，，再得到，由此得到 ，最后证明，得到； 本题考查了正方形的性质，折叠的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：∵将正方形纸片沿直线折叠得到，点恰好落在对角线上 ∴， ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ； （）①． 证明：连接， 正方形纸片沿直线折叠得到 ， ∴， ∵， ， 在与中， ∴， ， ， ； ②由折叠得， ∵， ∴， ， ， ． （）由翻折可得，，， 又， ， ∴， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ∵， ， ∵，， ， 由（）可知， ， ∴为等腰直角三角形， ， 在与中 ， ， ． 15．（辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，，，结合正方形的性质可得，然后利用证明，得出，即可得出结论； （2）过作，交于M，，交于N，证明平行四边形是菱形，得出，证明，得出，则可求出，即可求解； （3）过作于H，设，利用含的直角三角形的性质求出，在和中，利用勾股定理可得出，即可得出关于x的方程，然后求出x的值，最后利用（2）中的求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴菱形、都是正方形， ∴，，，， ∵， ∴是中点， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）过作，交于M，，交于N， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴是等边三角形，，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴； （3）过作于H， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴ 解得或3， ∴或3， 又，， ∴或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、直角三角形是解题的关键． 16．（辽宁省葫芦岛市绥中县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将绕B点逆时针旋转得到，连接，则为等边三角形，.再由 得到，用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，从而得到； （2）将绕点逆时针旋转得到，得到，证明得到； （3）证明是等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则为等腰直角三角形，，再计算得，用勾股定理得到，从而利用全等三角形的性质得到. 【详解】解：（1）如图，将绕B点逆时针旋转得到，连接，则 ，， ∴为等边三角形. ∴， 又∵ ∴ ∴ 是直角三角形，， （2）由正方形的性质得：，， 如图，将绕点逆时针旋转得到， ，， ∴， ， ∵，，， （3）∵，， ∴是等腰直角三角形，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接. 则，，， 为等腰直角三角形. ， 又 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理等知识，利用旋转作出正确作出辅助线是解题的关键. 17．（辽宁省丹东市东港市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）问题情境：数学课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：请你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长． 【答案】（1）正方形；（2）①AM=BE，理由见解析；② 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形; （2）①由已知可得出，再证出，再利用全等性质即可证明结论；②设与的交点为M，过点M作于点G，则易得，结合已知，利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：（1）四边形是正方形． 理由： 四边形为矩形 由题意知 矩形为正方形． （2）① 理由： 交BE的延长线于点M， 又 由题意知 ． ②设与的交点为M，过点M作于点G． 即 点G是BD的中点 在中， 又 即 于点H 又 即 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 18．（辽宁省沈阳市法库县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①证明见解析；②；理由见解析；③（2）；理由见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质，证明，即可得出结论；②作于点M，作于点N， 推出，进而求证，得出，即可得出结论；③作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，通过证明，四边形是矩形，得出，，再根据，得出，最后根据，即可得出． （2）先证明，作交AB于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，，推出是等边三角形，同理与都是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②的大小是不发生变化，； 理由：作于点M，作于点N，如图， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ③； 作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）； 理由：∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， 由旋转知：， ∴， 作交AB于点E，交于点G，如图 则四边形是平行四边形，， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴是等边三角形， 同理与都是等边三角形， ∴， 作于点M， 则，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形是性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 19．（辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）；（4） 【分析】（1）证明，得到，证明，得到，即可； （2）延长到点G，使，同法（1），即可得出结论； （3）当当，可得到，证明方法同法（2）； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接，证明，得到，过点作于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，进一步求出的长即可． 【详解】（1）延长到点G，使， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）， 延长到点G，使， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当，可得到； 延长到点G，使， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）将绕点C逆时针旋转的度数，得到，连接． 则：， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查半角模型，全等三角形的判定和性质，图形变换，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造全等和相似三角形． 20．（辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问题： 四边形是边长为3的正方形，点E是边上的一动点，连接，以为一边作正方形（点C，E，F，G按顺时针方向排列），连接，． (1)如图1，求点G到的距离，请写出解答过程； 【类比分析】 爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题： (2)如图2，当经过点D时，求的长，请写出解答过程； 【学以致用】 看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”，于是给同学们留了一道思考题： (3)求代数式的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路； 解题思路：如图3，作等腰直角，使，连接，，，则点C，D，三点共线， 由，，可得， 由，，可得， …… 请完成“……”部分的解答过程． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）如图1，作于H，可证得，从而； （2）作，交的延长线于点X，作于H，可证得，从而，可得出，从而，进而，进而得出，进一步即可解答； （3）由题意可得从而，点F在过且与夹角为 的直线上运动，从而得出，延长至V，使，连接，则的最小值为的长，作，交的延长线于点Z，得等腰直角三角形，可求得，进而完成解答． 【详解】（1）解：如图1：作于H， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2：作，交的延长线于点X，作于H， 同理（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3， ∴， ∴，点F在过且与夹角为 的直线上运动， ∴， 延长至V，使，连接，则的最小值为的长，作，交的延长线于点Z，可得等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，利用相似三角形的性质转化线段是解决问题的关键． 21．（辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析； 【分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 22．（辽宁省沈阳市和平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在数学活动课上，王老师给出如下问题：在中，，点D在边上，点E在边上，作点C关于直线的对称点F． 【问题初探】 （1）如图1，连接、，当四边形是正方形时，求的值． 【问题再探】 王老师为了帮助学生更好地感悟四边形之间的关系，将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，当，且时，连接、，求证：四边形是矩形．    【解决问题】 （3）如图3，当，，过点E作交于点G，时，若点F落在直线上，求的长．    【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，再根据，即可得到答案； （2）连接，于直线的交点为，由轴对称的性质可知，，由平行的性质，易证，，得到，，进而得出四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论； （3）由特殊角的三角函数值，求得，，然后分两种情况讨论：①当点在的延长线上时，过点作于点，由平行的性质和轴对称的性质，易证是的等边三角形，得到，再由等腰三角形三线合一的性质和特殊角的三角函数，得出，然后根据列式，求出的长，即可得到的长；②当点在的延长线上时，由平行的性质和轴对称的性质，易证，得到，再分别表示出，，求出的长，即可得到的长． 【详解】（1）解： 四边形是正方形， ，， ， ； （2）证明：如图，连接，于直线的交点为， 点F是点C关于直线的对称点， ，即， ， ， ， ，， ，， ，，即、互相平分， 四边形是平行四边形， ， 四边形ABCF是矩形； （3）解：，，， ，， ①如图1，当点在的延长线上时，过点作于点， ， ， ， 点F是点C关于直线的对称点， ，， 是的等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图2，当点在的延长线上时， ，， ， ， 点F是点C关于直线的对称点， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，解题关键是利用分类讨论的思想，熟练掌握相关性质，灵活运用特殊角的三角函数求边长． 23．（辽宁省大连市中山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． ①小聪同学给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数． ②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，探究与的数量关系． 【学以致用】 如图，在中，，，，为上一点，满足.为延长线上一点，，与延长线交于点，求的长． 【答案】； ； ． 【分析】选择小聪解题思路：根据“一线三等角”模型证明，可得，，根据、、三边关系可推得，，即是等腰直角三角形，根据其性质即可求解；选择小慧解题思路：根据“”证明，可得，又是等腰直角三角形，则，即可求解； 延长到点，使，连接，根据“”证明，则，再根据等腰三角形的性质即可求解； 过点作于，由可求得，通过证明可得，，利用相似三角形的性质推得和的数量关系后，即可根据勾股定理得到的长． 【详解】解：选择小聪同学的解题思路，过点作交的延长线于点， ， 依题得；正方形中，，，且， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ． 解：延长到点，使，连接， 依题得：，， 菱形中，，，， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 解：过点作于， ，， ， ， ，， ，， ， 且， ， ，， ，， 得，， ，， ，， 在中，． 【点睛】本题考查的知识点是四边形综合、全等三角形的判定与性质、正方形性质、菱形性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 24．（辽宁省本溪市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点，求证：． （1）刘诗琪同学认为通过证明与全等，可证．请你帮助刘诗琪同学完成这个证明； 【类比分析】 （2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变．你认为是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，刘诗琪同学将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值（用含有的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由，，可得，又由正方形的性质，可利用证得，则问题得证； （2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证； （3）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，证得，则可证得，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1， ， 在和中， （2）成立． 证明：如图2，过点作于，过点作于， ∵四边形为正方形， ∴平分， 又∵， ∴四边形是正方形， 在和中， （3）如图3，过点作于，过点作于，垂足分别为、， 则， ， 即 ， 【点睛】此题考查了四边形综合题，需要掌握正方形，矩形的性质，角平分线的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用． 25．（辽宁省辽阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图1，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， 可证：．请写出证明过程； 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图2，若延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想，的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）．理由见解析 【分析】（1）利用即可证明； （2）由推出，，证明四边形是正方形，利用等量代换即可推出； （3）连接和，证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴； （2）；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； （3）．理由如下： 连接和， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，四边形是正方形， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 26．（辽宁省营口市盖州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）问题初探：（1）一天杨老师给同学们这样一个几何问题： 如图1，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 类比分析：（2）杨老师发现，小明通过构造全等三角形，将边和转移，使、、在一个三角形中，为了帮助学生更好的利用已知边角的数量关系构造全等三角形，杨老师将和换成两个等腰直角三角形，并隐藏了一部分图形，得到了下面的图形，如图3，并提出了下面的问题，请解答． 已知：，，为AC边上的一点，试判断、、之间的数量关系． 学以致用：（3）如图4．已知四边形是正方形．点在上，，，试求出正方形的面积． 【答案】（1）问题初探：见解析；小明通过探究发现：见解析；（2）类比分析：见解析；学以致用： 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可证，由可判定，由全等三角形的性质得，，即可求证； (2)将线段绕点B顺时针旋转得到，连接、，由旋转的性质得，，再由可判定，由由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求证； （3）将线段绕点B顺时针旋转得到，连接、，由勾股定理可求，作，由外角性质得，由直角三角形的特征可求，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中 ， （）， ， ， ， 为钝角三角形， ∴以、、为边的三角形是钝角三角形； (2)如图2，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接、， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，将线段绕点B顺时针旋转得到，连接、， 由(2)可得， ， ， 作， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握相关的判定方法及性质，能灵活利用旋转的性质，构建全等三角形是解题的关键． 27．（辽宁省沈阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践 问题情境 数学课上，老师出示这样一道题：如图，正方形的边长为12，点在上，，连接，以为边作正方形. 操作发现 （1）如图1，连接，直接写出线段的长； 操作探究 （2）如图2、在边上截取，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探究 （3）如图3，把正方形绕点顺时针旋转，点落在正方形内部，连接，，作的边的中线，发现，，请证明.    【答案】（1）；（2）四边形为平行四边形，理由见解析；（3）见解析 【分析】（1）过点作垂直于的延长线交于点，利用正方形的性质证明，可知，，则，进而利用勾股定理即可求解； （2）根据正方形的性质证明，可得，，进而可知，即可证明四边形为平行四边形； （3）连接并延长，使得，连接，则，可证，再证，进而证得，即可证得，，进而证得，再证，即可证得． 【详解】解：（1）过点作垂直于的延长线交于点，则，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 则， 又∵四边形是正方形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，，则， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，则， 又∵四边形是正方形， ∴，，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）连接并延长，使得，连接，则，    ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴。 则 ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 题型四 平行四边形与函数结合 28．（辽宁省沈阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．      【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（）的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）①根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案；②先由①得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图像可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案；④将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）①是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； ②在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， 解得， 直线的解析式为：， 令直线与轴交于点， 当时，， 解得：， ， 画出图如图所示：   ； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②画出草图如图所示：    该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A.图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B.由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C.随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D.当时，，所以图像经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图像上任意一点，代数式是为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 29．（辽宁省锦州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 【答案】（1） 2）， （3）①或；②见解析；③不是“核心矩形”；理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，新定义，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“核心矩形”的定义，是解题的关键． （1）根据“核心矩形”得，把代入即可求解； （2）根据“核心矩形”得，根据矩形有面积公式得，代入整理方程，得．求解得出a，即可求解； （3）①根据“核心矩形”得，则．即可求解； ②根据函数解析式画出函数图象，再根据函数图象抽象出函数性质即可； ③根据“核心矩形”的定义判定即可． 【详解】解：（1）依题意，知，， ． 解得，（不合题意，舍去）． ． （2）依题意，知，， ． 整理方程，得． ，． ，． （3）①依题知， ． 或． ②如图1，画出草图 答案不唯一，只要正确即可． 当时，的值随值的增大而减小；图象关于直线成轴对称； ③不是“核心矩形”． 方法1： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则，即． 则． ． 则“核心矩形”同时满足函数和． 画出函数的图象如图2所示， 根据图象可知， 函数与函数图象没有交点， 满足条件的，的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 方法2： 理由如下：依题意，知， 新矩形的邻边长为和， 若新矩形是“核心矩形”，则． ，即． ，即． ， 原方程无实数根． 的值不存在． 新矩形不是“核心矩形”． 30．（辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）问题提出： 四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）． (1)如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题： ①正方形的边长为___________（直接填空）； ②求关于的函数关系式； (2)如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式； (3)若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积． 【答案】(1)①4；  ② (2)； (3)四边形的面积为3或． 【分析】（1）①由抛物线顶点为，可得时，四边形的面积最大为4；此时为的中点，故，即正方形的边长为4； ②过作于，证明，得，而，由三角形面积公式可得； （2）当点在线段的延长线上运动时，过作于，证明，得，而，故四边形的面积；即； （3）当，都在边上时，设，则，由，有，可得，即可得，解得，从而四边形的面积为3；当在边上，在边延长线上时，同理可得四边形的面积为． 【详解】（1）解：①由图②知，抛物线顶点为， 时，四边形的面积最大为4； 此时为的中点， ， 即正方形的边长为4； 故答案为：4； ②过作于，如图： ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积； 关于的函数关系式为； （2）解：当点在线段的延长线上运动时，过作于，如图： ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形的面积； 关于的函数关系式为； （3）解：当，都在边上时，如图： 设，则， ， ， ， 在中，令和得：，， ， 解得， ， ， 即四边形的面积为3； 当在边上，在边延长线上时，如图： 设，则， ， ， ， 在中，令得：， 在中，令得：， ， 解得（大于4，舍去）或， ， ， 即四边形的面积为； 由在下方，知，不可能，都在的延长线上； 综上所述，四边形的面积为3或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及动点问题的函数图象，结合图形分析题意及分类讨论思想的应用是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形压轴大题 题型一 菱形的综合大题 1．（辽宁省营口市盖州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）八年一班的数学活动课上，老师发给每名同学一个菱形纸片，要求同学们沿一条直线折叠，探究图中的结论． 同学们在边上取点E，连结，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示． 小明发现：当点F落在边上时，． 小红发现：当点E是的中点时，连结．若已知和的长，则可求的长． 问题提出与解决： 同学们根据小明和小红的发现讨论后提出问题，请你回答问题． 问题：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到． (1)如图2，当点F在边上时，求证：； (2)如图3，当点E是的中点时，连结，若，，求的长． 2．（辽宁省抚顺市清原满族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）数学课上，张老师出示了一个问题：在菱形中，连接，可在直线上平移，得到，的平分线交射线于点． (1)小芳想，当点在的沿长线上时，如图1，线段和线段之间会有怎样的数量关系呢？请你作出判断：_______（填“”，“”或“”） (2)当点在线段上时，如图2，小琳同学对线段和线段之间的数量关系作出了判断：． ①小迪认为在图2中，不用添画辅助线，可以证明出小琳的结论； ②小芮觉得可以添画如图3的辅助线，构造全等三角形来证明小琳的结论； 请你选择用小迪或小芮的思路，写出一种证明过程． (3)小怡突发奇想：点在线段上，若，，当是等腰三角形时，请直接写出平移的距离． 3．（辽宁省大连市甘井子区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题情景】 如图1，在菱形中，，点为菱形外部一点，连接交对角线于点，且满足． 【初步探究】 （1）求证：； 【解决问题】 （2）如图2，连接，当，时， ①求线段的长； ②求的度数； 【类比探究】 （3）如图3，在菱形中，当时，交于点，连接，，并延长交于点．若，请直接写出线段的长____________． 4．（辽宁省大连市庄河市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】 （2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    5．（辽宁省丹东市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 数学活动课上，张老师引导学生探究中点四边形的形状及性质． 首先，张老师给出中点四边形的定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形；接下来张老师提出问题：如图1，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，则中点四边形是什么形状？中点四边形的面积与原四边形的面积有怎样的关系？请各组讨论，并给出证明过程． 班级的“希望小组”经讨论发现：中点四边形是平行四边形，且中点四边形的面积是原四边形面积的一半． 证明如下： 证明：如图2，连接， 点，分别为，的中点 是的中位线，根据三角形中位线定理可得： 与的位置关系为________，数量关系为________． 同理可得：，， ，， 四边形是平行四边形， 根据线段，的关系，进而可得， （1）请你将“希望小组”的证明过程补充完整． 且________．同理： ； 【类比探究】 （2）在（1）问的讨论过程中，“善思小组”有了新的发现：中点四边形的形状还可能是菱形、矩形或正方形，中点四边形的周长与对角线，长度有一定的数量关系．张老师把这个问题同时给了其它小组进行研究．请你结合（1）的分析过程，解决下面的问题：（其中①，②问直接填空） ①当对角线，满足________关系时，中点四边形为菱形？ ②当对角线，满足________关系时，中点四边形为矩形？ ③中点四边形的周长与对角线，长度有怎样的数量关系，并说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形内部有一点，连接，，，，点，分别是，的中点，连接，若，，，，求的长． 6．（辽宁省丹东市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）问题背景： （1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程． 尝试应用： （2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，则的长为______； 深入思考： （3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，求证：平分； 拓展创新： （4）如图4，和中，为锐角，点D在边上，点B在边上，，垂足为F，且，若，，，求的长． 题型二 矩形的综合大题 7．（辽宁省沈阳市浑南区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）[问题情境] 如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在射线上，点的对应点记为，折痕与边分别交于点． 【特例感知】 （1）如图2，连接，当点与点重合时，判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图3，当点在线段上时，连接，设与分别交于点，当时，求证：； 【深入探究】 （3）将（2）中的点改为“在射线上时”，（2）中其它条件不变的情形下，若，时，请直接写出的长．    8．（辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接、． (1)如图，当点在上时，______度； (2)如图，当落在边上时，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展开，连接交于点，连接．求证：四边形是菱形； (3)如图，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上，并且折痕交边于点，交直线于点，把纸片展平，请求出线段的取值范围． 题型三 正方形的综合大题 9．（辽宁省抚顺市望花区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷）【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 (1)博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． (2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 10．（辽宁省大连市高新技术产业园区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交边于点，连接．      (1)如图1， ①若，求的度数； ②求的度数． (2)如图2，点在边上，，连接，求证：； (3)如图3，过作于，延长交的延长线于，若，求正方形的面积． 11．（辽宁省大连市西岗区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知：如图（1），正方形为射线上一动点（不与B重合），沿将翻折至的对应点是F，过A作于A，交正方形的边于G，连接．    (1)根据题意补全图形； (2)求证：； (3)已知正方形的边长为3． ①在图（1）中若，求的长； ②如图（2）当E点运动到边上时，G点随之运动到的延长线上，其它条件不变，那么在E运动过程中能否为等腰三角形，若能请求出线段的长． 12．（辽宁省盘锦市兴隆台区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）“如图1，在正方形中，点E为对角线上任意一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接，求证．”对这个问题，同学们提出了多种正确的解答方法，其中比较集中的有两个思路：第一、如图2，连接；第二、如图3，过点E作的平行线分别交，于点M和点N．        (1)请你选择其中一种思路解答； (2)把问题中“…交边于点F”改为“…交边的延长线于点F”，其余条件不变，用等式表示，和之间的关系，并证明． 13．（辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题）在一次数学活动课上，老师带领同学们探究图形的变换问题．老师先提出这样一个问题：有一张矩形纸片，其中，，你能用这张矩形纸片折出一个等边三角形吗？ 【操作】小明同学是这样操作的：如图①，先将矩形沿对折；展开后，再将点沿折叠，使点落在上的点处；再展开，连接，，则为等边三角形． 【验证】（1）求证：为等边三角形； 【应用】（2）连接，，如图②，求的长； 【拓展】（3）将图②中的绕着点顺时针旋转（）得到（点，的对应点分别为，），连接，，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 14．（辽宁省大连市庄河市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题发现】 如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到． （）如图，点恰好落在对角线上，连接交于点，交于点．求证：； （）如图，点落在正方形纸片内部，延长交边于点， ①猜想线段之间的数量关系，并证明； ②试说明的度数． 【探究应用】 （）如图，在正方形纸片中，点为线段上一点（点不与点重合），将正方形纸片沿直线折叠得到，再将纸片沿过点的直线折叠，使与重合，折痕为，继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的长度． 15．（辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． 【特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是______； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 16．（辽宁省葫芦岛市绥中县2023-2024学年九年级上学期1月期末数学试题）【问题初探】（1）如图1，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小.李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转60°，点的对应点为，画出旋转后的图形，再连接.将求分成求和的和即可.请你按照李明同学给出的旋转的思路，求的大小； 【问题解决】（2）如图2，在正方形中，，分别为，边上的点，满足，若，，求的面积； 【问题拓展】（3）如图3，在四边形，，，，求的长. 17．（辽宁省丹东市东港市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）问题情境：数学课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由． （1）数学思考：请你解答老师提出的问题； （2）深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长． 18．（辽宁省沈阳市法库县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，． ①求证：； ②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由： ③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系． 【迁移探究】 （2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 19．（辽宁省沈阳市于洪区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题提出】 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，连接．探究线段之间的数量关系． 【方法感悟】 （1）小明组同学利用构造全等三角形的方法探究三条线段的关系：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，从而得到正确结论．小明组同学的结论是___________； 小亮组同学对小明组构造全等三角形的环节提出了不同的看法，借助旋转三角形的方式探究问题：将绕点A顺时针旋转90°得到，再证明，从而得到与小明组相同的结论． 【方法迁移】 （2）如图3，在中，，沿边翻折得到，点B的对应点为点D，点E，F分别在边上，且．试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想． 【问题拓展】 （3）如图4，在四边形ABCD中，，点E，F分别在边上，且，试猜想当与满足什么关系时，可使得．请直接写出你的猜想． （4）如图5，在四边形中，，，与为对角线，．若，，求的长． 20．（辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 数学课上张老师在讲完正方形的性质之后提出了一个问题： 四边形是边长为3的正方形，点E是边上的一动点，连接，以为一边作正方形（点C，E，F，G按顺时针方向排列），连接，． (1)如图1，求点G到的距离，请写出解答过程； 【类比分析】 爱动脑的数学兴趣小组在研讨的过程中，也提出了一个问题： (2)如图2，当经过点D时，求的长，请写出解答过程； 【学以致用】 看到同学们兴致勃勃的样子，张老师说：“角相等可以是三角形全等的条件，也能推导出相似”，于是给同学们留了一道思考题： (3)求代数式的最小值．经过小组研讨，组长小明进行了整理，给出了部分解题思路； 解题思路：如图3，作等腰直角，使，连接，，，则点C，D，三点共线， 由，，可得， 由，，可得， …… 请完成“……”部分的解答过程． 21．（辽宁省沈阳市沈河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．    22．（辽宁省沈阳市和平区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）在数学活动课上，王老师给出如下问题：在中，，点D在边上，点E在边上，作点C关于直线的对称点F． 【问题初探】 （1）如图1，连接、，当四边形是正方形时，求的值． 【问题再探】 王老师为了帮助学生更好地感悟四边形之间的关系，将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． （2）如图2，当，且时，连接、，求证：四边形是矩形．    【解决问题】 （3）如图3，当，，过点E作交于点G，时，若点F落在直线上，求的长．    23．（辽宁省大连市中山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． ①小聪同学给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数． ②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，探究与的数量关系． 【学以致用】 如图，在中，，，，为上一点，满足.为延长线上一点，，与延长线交于点，求的长． 24．（辽宁省本溪市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【问题初探】 如图1，课后习题课上，刘诗琪同学把一个足够大的三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合．三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点，求证：． （1）刘诗琪同学认为通过证明与全等，可证．请你帮助刘诗琪同学完成这个证明； 【类比分析】 （2）如图2，刘诗琪同学移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变．你认为是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【学以致用】 （3）如图3，刘诗琪同学将“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，求的值（用含有的代数式表示）． 25．（辽宁省辽阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践 数学活动课上，同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动． 【探索发现】 （1）如图1，在正方形中，点是边上一点，于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， 可证：．请写出证明过程； 【深入思考】 （2）在（1）的条件下，如图2，若延长，交于点，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在上，试猜想，的数量关系，并证明你的猜想． 26．（辽宁省营口市盖州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）问题初探：（1）一天杨老师给同学们这样一个几何问题： 如图1，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 类比分析：（2）杨老师发现，小明通过构造全等三角形，将边和转移，使、、在一个三角形中，为了帮助学生更好的利用已知边角的数量关系构造全等三角形，杨老师将和换成两个等腰直角三角形，并隐藏了一部分图形，得到了下面的图形，如图3，并提出了下面的问题，请解答． 已知：，，为AC边上的一点，试判断、、之间的数量关系． 学以致用：（3）如图4．已知四边形是正方形．点在上，，，试求出正方形的面积． 27．（辽宁省沈阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践 问题情境 数学课上，老师出示这样一道题：如图，正方形的边长为12，点在上，，连接，以为边作正方形. 操作发现 （1）如图1，连接，直接写出线段的长； 操作探究 （2）如图2、在边上截取，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探究 （3）如图3，把正方形绕点顺时针旋转，点落在正方形内部，连接，，作的边的中线，发现，，请证明.    题型四 平行四边形与函数结合 28．（辽宁省沈阳市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．      【尝试初探】 （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则______； 【深入探究】 （2）①若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，则______； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图像的草图，观察图像可知该图像可由函数______（）的图像平移得到； ③结合图像研究性质，下列结论正确的选项是______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图像经过点； ④对于图像上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 29．（辽宁省锦州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）【建立概念】 如图1，在矩形中，，，当时，称这个矩形为“核心矩形”． 【理解概念】 （1）当时，矩形是“核心矩形”，求的值； 【深入研究】 （2）如图2，分别以矩形的边，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，点在第二象限，若“核心矩形”的面积为12，求点的坐标； 【拓展延伸】 （3）下面从函数的角度研究“核心矩形”，已知一个“核心矩形”的邻边长分别为． ①求与的函数表达式； ②若该函数的图象可以通过反比例函数的图象平移得到，请你在图3中画出该函数图象的草图，观察图象，写出该函数的两条性质； ③若将“核心矩形”的邻边分别增加，这个新矩形还是“核心矩形”吗？请说明理由． 30．（辽宁省沈阳市皇姑区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）问题提出： 四边形是正方形，是射线上的动点，点在线段的延长线上，且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，四边形的面积为（可等于0）． (1)如图①，当点由点运动到点过程中，发现是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，抛物线经过原点且顶点为，请根据图象信息，回答下列问题： ①正方形的边长为___________（直接填空）； ②求关于的函数关系式； (2)如图③，当点在线段的延长线上运动时，求关于的函数关系式； (3)若在射线上从下至上依次存在不同位置的两个点，对应的四边形的面积与四边形的面积相等，当时，求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$