专题02 锐角三角函数综合（10大题型72题）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（辽宁专用）

专题02 锐角三角函数综合 题型一 特殊角的三角函数值 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）sin45°的值等于（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】sin45°=． 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值. 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，求特殊角三角函数值，根据正弦为的锐角是30度求出，再根据30度角的余弦值为即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选B． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值．根据特殊锐角的三角函数值即可求得答案． 【详解】解：已知在中，，，， 则， 故选：B． 4．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）点关于原点对称的点的坐标是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，求特殊角三角函数值，先求出点M的坐标，再根据关于原点对称的点横纵坐标对互为相反数进行求解即可． 【详解】解：∵点M的坐标为，即， ∴点关于原点对称的点的坐标是， 故选：B． 5．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，进而求出该旗杆的高度即可． 【详解】解：根据题意可得：， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为 ． 【答案】 【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D． 根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°， 设AD=x米，在Rt△ACD中，tan∠ACD=， ∴CD===x， 在Rt△ABD中，tan∠ABC=， ∴BD===x， ∴BC=CD+BD=x+x=80， ∴x=． 故答案为． 【点睛】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角． 7．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）一天某时刻，太阳光与地面成的角，一棵小树在地面上的投影为9米，则这棵小树高 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，因为大树本身和太阳光、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为．由此可以根据正切函数求出这棵大树的高度． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴这棵小树的高度为米， 故答案为：．    8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图的方法得出△OBC是等边三角形，进而利用特殊角的三角函数值求出答案． 【详解】 解：连接BC， 由题意可得：OB=OC=BC， 则△OBC是等边三角形， 故sin∠AOC=sin60°=． 故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及基本作图方法，正确得出△OBC是等边三角形是解题关键． 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出及的度数，继而可判断的形状． 【详解】解：由题意得，，， ，， 即是等边三角形． 故选：C． 题型二 解直角三角形 10．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的定义和勾股定理，首先利用勾股定理求得的长，然后根据三角函数的定义进行计算，即可作出判断，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，， 故选：． 11．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在等腰中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形，三线合一和勾股定理，过A作，得到，利用勾股定理得，结合即可． 【详解】解：过A作于D，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， 则， 故选：A． 12．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦的定义：“邻边比斜边”，求解即可．掌握余弦的定义，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 13．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，直接利用勾股定理得出的长，再利用锐角三角函数得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求正切值，解题的关键是熟练掌握勾股定理和正切的定义，先根据勾股定理求出，再根据即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：D． 15．（23-24九年级上·辽宁·期末）如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握是解题的关键．根据勾股定理得出的长，再根据，代数计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∴． 故选：B． 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，先根据勾股定理求出，然后根据正弦、正切、余弦的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，，，． 故选：D． 17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）2023年9月29日开通沈阳地铁四号线，如图是某站地铁扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．小明乘扶梯从扶梯底端A以米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B，则小明上升的铅直高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查坡度和勾股定理，由可得，设，，根据勾股定理求出，再根据长度求出k值，即可求解． 【详解】解：由题意知（米）， 扶梯的坡度， ， 设，， 则， ， （米）， 故答案为：． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ． 【答案】 【分析】如图，在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作， ∴，， ∵， 设， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，正弦，正切是解题的关键． 19．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形的边上有一点P，，．且以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义，过点作于点，证明，利用对应边成比例可得出的值，继而得出． 【详解】过点作于点， ，， ， 又， ， ． ． 故选：A． 题型三 网格中求三角函数值 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB． 【详解】过C点作，垂足为D 则根据旋转性质可知， 在中， 所以 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法． 21．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（　　）    A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解． 【详解】如图：    在RtACD中，tanC． 故选B． 【点睛】本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键． 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】首先构造以∠A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解． 【详解】解：连接BD，如图所示： 根据网格特点可知，， ∴， ∵， ， ∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键． 题型四 反比例函数与三角函数 23．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是18，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，余弦的定义．根据可得，设，则，代入可得，进而可得，推出，根据k的几何意义可得，再根据反比例函数图象所在象限得出，即可求解． 【详解】解：轴，四边形是矩形， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 反比例函数第二象限， ， ． 故答案为：． 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则 ．    【答案】 【分析】作轴于，轴于，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定的值． 【详解】解：作轴于，轴于，如图，则， 在中，， ，， ， ∴， ， ， ， 而， ． 故答案为．    【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了相似三角形的判定与性质． 题型五 三角函数的计算 25．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）（1）解方程： （2）计算 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）先根据绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值和有理数的乘方进行计算，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）， 移项，得， ， 或， 解得：，； （2） ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，零指数幂，实数的混合运算和特殊角的三角函数值等知识点． 26．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）根据特殊角的三角函数值的混合运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ，，， ， ， ，； （2）解： ． 27．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）（1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，特殊角的三角函数值． （1）先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先根据特殊角的三角函数值得到原式，然后进行二次根式的混合运算． 【详解】解：（1）， 移项得， 配方得，即， ∴， 所以，； （2） ． 28．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）计算 (1)计算：． (2)解方程：； 【答案】(1)2 (2)， 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合计算和解一元二次方程， （1）先计算特殊角三角函数值、零指数幂和有理数乘方，然后根据实数的混合计算法则计算即可； （2）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）， ，，， ， ∴， 则，． 29．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，立方根，零指数幂，把特殊角的三角函数值直接代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：原式， ． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）， ；（2）6 【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的加减，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）用求根公式法求解即可； （2）选根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，绝对值的性质逐项化简，再算加减即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） ． 31．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）（1） （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）先根据分式混合运算法则进行计算，再求出a的值，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ； （2） ， ， 把代入得：原式． 32．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键． （1）利用特殊角的三角函数值计算即可； （2）利用特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 33．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）完成下列各题： (1)解方程：； (2)计算：． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）利用公式法求解即可； （）先根据特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； 本题考查了含特殊角的三角函数值计算和解一元二次方程，熟记各特殊角的三角函数值和灵活选取适当的方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）由， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：原式， ， ． 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算和特殊角的三角函数运算，熟练掌握有理数的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键，（1）利用有理数的运算法则即可得到答案；（2）利用特殊角三角函数值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：． （2）解：． 35．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）0；（2），． 【分析】本题考查了零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，利用因式分解法解一元二次方程． （1）根据零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值解答即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴，即， ∴，， 解得，． 36．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）（1）解方程：． （2）计算： 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程、含特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先根据特殊角的三角函数值化简各数，再加减运算即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ∴或， ，． （2）原式 ． 37．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和计算特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵， ∴，，， ∴， ∴ 解得，． 【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，化简二次根式，解一元二次方程，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 38．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）计算 (1)解方程： (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的解法，特殊角的三角函数值的计算． (1)利用因式分解法法求解即可． (2)利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∴， ∴， 解得． （2）， ． 39．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)， (3)， 【分析】本题考查实数混合运算及解一元二次方程；掌握运算法则及解方程步骤是关键． （1）根据实数混合运算法则计算即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ， ， ， ，； （3）， ， ， 或， ，． 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、特殊角的三角函数值的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先移项、再运用配方法解答即可； （2）先用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次 根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， 所以． （2）解： ． 41．（23-24九年级上·辽宁·期末）计算 (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1)1 (2)， 【分析】本题主要考查了解特殊角度的三角函数值的混合运算和一元二次方程，熟练掌握各个特殊角度的锐角三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先将各个特殊角度的锐角三角函数化简，再进行计算即可． （2）用配方法进行求解即可； 【详解】（1）原式， ， （2）， 移项，得， ， 配方，得 ， ， 开方，得 或， 即， 42．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）把方程，化成一般形式． 【答案】（1）    （2） 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和一元二次方程的概念，属于基本题型，熟练掌握以上基本知识是解题关键． （1）把特殊角的三角函数值代入后计算即可； （2）通过去括号，移项、合并同类项将已知方程转化为一般式方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴． 43．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2) 【分析】此题考查了因式分解法求一元二次方程，含特殊角的三角函数的值的实数运算，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求解方法以及实数的运算法则． （1）根据负整指数幂，零指数次幂，绝对值以及特殊角的三角函数值，求解即可； （2）利用配方法法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2） 解得：，． 44．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值，化简绝对值．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先求特殊角的三角函数值，绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：，； （2）解： ． 45．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）（1） （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的化简，计算即可． （2）先利用通分，约分，因式分解，分配律化简，后根据算术平方根，特殊角三角函数值计算值，代入求解即可． 【详解】（1） ． （2）， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，绝对值的化简，熟练掌握公式，熟记函数值是解题的额关键． 46．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）本题考查特殊角的三角函数值的计算．将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可； （2）本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，进行求解即可． 【详解】解：（1）原式； （2） ∴， ∴， ∴或， ∴． 47．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、因式分解法解一元二次方程，准确进行计算是解此题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂，进行计算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ， 或， ，． 题型六 三角函数的综合应用 48．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C． （1）求AC的长度； （2）求每级台阶的高度h． （参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）    【答案】（1）233.4cm   （2）20.8cm 【详解】试题分析：（1）过点B作BE⊥AC于点E，在Rt△ABE中利用三角函数求出AE，由AC=AE﹣CE，可得出答案． （2）在Rt△ABE中，求出BE，即可计算每级台阶的高度h．　 解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，    （1）在Rt△ABE中，AB=3m，cos12°≈0.9781， AE=ABcos12°≈2.934m=293.4cm， ∴AC=AE﹣CE=293.4﹣60=233.4cm． 答：AC的长度约为233.4cm． （2）h=BE=ABsin12°=×300×0.2079=20.79≈20.8cm， 答：每级台阶的高度h约为20.8cm． 49．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，，且它们互相垂直，，，如图（2）．（结果精确到．参考数据：，，，，）    (1)求车架档的长； (2)求车链横档的长． 【答案】(1) (2)的长约为 【分析】（1）利用勾股定理解题即可； （2）先过点B作, 得出求出设, 则， ，,, 根据 , 求出的值, 从而得出的长, 最后根据勾股定理即可求出的长. 【详解】（1）解：，且， ∴； （2）过点作, 垂足为, 则 ∵,， ，    ∵, ∴, ， 设, 则， , 则 ， 解得： ， ， 答: 车链横档的长约为. 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是勾股定理、平行线的性质. 题型七 构造直角三角形+矩形模型 50．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）    【答案】座板距地面的最大高度为． 【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，    由题意可得，四边形和四边形是矩形， ∴，， ∵秋千链子的长度为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴座板距地面的最大高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 51．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍的距离为40cm，与水平方向夹角为，小林在书桌上方的身长为52cm，且垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离．（参考数据：，，）    【答案】小林与书籍底端的水平距离为 【分析】如图，过点D作于M，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，由，，可得，在中，，，则，，，在中，，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于M，延长交的延长线于点H，    ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：小林与书籍底端的水平距离为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 52．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为 (2)没有危险,详见解析 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【详解】（1）如图，作，垂足为点    在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． （2）没有危险，理由如下： 过作，垂足为点    ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 53．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参考数据：，，，，，）    【答案】米 【分析】过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，根据题意得出边形为矩形，，再由正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，如图所示：    根据题意得：四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴米． 【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 54．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，） (1)求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）； (2)求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 【答案】(1)水平横管到水平线的距离约为1.6米 (2)水平横管的长度约为0.5米 【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形， （1）作于F，在中，即可得； （2）根据矩形判定和性质求出，再在Rt中，根据在中，求出，可求出的长度，在Rt中，根据可求出的长度，从而可求出与的长度差． 【详解】（1）解：过作于， 在中，， 米，， 米． 答：水平横管到水平线的距离约为1.6米； （2）， 四边形为矩形， ，米， 米， 米， 在中，， 米， 又在中，， 米，， 米． 米． 米， 答：水平横管的长度约为0.5米． 55．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化．自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 14点 15点 16点 太阳高度角（度） 60 45 30 参考数据：，. 解决问题 （1） 确定影子长度 小明打算在这天16点露营休息，请帮小明求出此时影子GH的长度． （2） 探究影子长度 若某一时刻测得BD＝1.9米，请求出此时影子GH的长度． 【答案】（）米；（）米． 【分析】（）过作于点，证明四边形是矩形，则有米，点太阳高度角为，则米； （）过作于点，过作于点，证明，则，从而，则有米； 此题考查了真实情景下的三角函数的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【详解】（）过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵小明打算在这天点露营休息， ∴太阳高度角为， ∴， 则（米）； （）过作于点，过作于点， ∵米，米， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∴， 同（）理得四边形是矩形， ∴，米， ∴， ∴米． 56．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．． (1)求：支架点D到立柱的距离； (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键 （1）：如图，延长，交点为，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，比较与3的大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：如图，延长，交点为， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴支架点D到立柱的距离为米； （2）解：能，理由如下： 由题意知，（米）， ∴（米）， ∵， ∴能． 57．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 【答案】教学楼BC高约13米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造直角三角形是解题关键．作于点E，过点C作于点F，由求得米，由米知米，再根据四边形是矩形知米．由知米，从而得的长． 【详解】过点D作于点E，过点C作于点F． ∵， ∴四边形是矩形． 由题意得，米，米，． 在中，， ∴． ∴米， ∵米， ∴米， ∵四边形是矩形， ∴米． 在中，， ∴． ∴米， ∴（米）． 答：教学楼高约13米． 58．（23-24九年级上·辽宁·期末）电力公司在高山上建设如图1所示的输电铁塔，其示意图如图2所示，铁塔A沿着坡面到山脚的距离，铁塔B沿着坡面到山脚的距离，坡面与山脚水平线的夹角，坡面与山脚水平线的夹角． (1)求铁塔A到山脚水平线的距离； (2)若从铁塔A看铁塔B的俯角为10°，求铁塔A与铁塔B的距离的长（结果精确到1m）．（参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)铁塔A到山脚水平线的距离约为128.6m； (2)铁塔A到铁塔B的距离的长约为440m． 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的概念和直角三角形问题中的常见视角；掌握利用锐角三角函数求线段长的方法及运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法是解题关键． （1）过A作交延长线于E，利用锐角三角函数就可以求出所要求的结果． （2）过B作交的延长线于F，过A作交的延长线于H，则四边形为矩形，再利用锐角三角函数求出，，最后求出． 【详解】（1）解：如下图，过A作交延长线于E， ，， ， ． 在中，， ． 答：铁塔A到山脚水平线的距离约为128.6m． （2）如上图，过B作交的延长线于F，过A作交的延长线于H， 则， 四边形为矩形， ． ， ； ， 在中，， ， ． 在中，， ． 答：铁塔A到铁塔B的距离的长约为440m． 59．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）某体育馆的篮球架是可升降的，其侧面示意图如图2，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（垂直于地面，垂足为），在，处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．某幼儿园要在此体育馆举行趣味篮球赛，将点调至离地面的高度在之间方符合要求．现工作人员借用调节伸缩臂，将由调节为，试问工作人员调完后是否符合要求？若符合，请求出此时点离地面的高度；若不符合，请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】工作人员调完后符合要求，此时点离地面的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的性质应用；过点作于点，过点作于点，在中，得出，过点作于点，过点作于点，解得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵，点离地面的高度为． ∴ 在中，， ∴ 如图所示，将由调节为，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， 在中， ∴ ∴工作人员调完后符合要求，此时点离地面的高度越为． 60．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为，距楼顶C点10米，点C处的俯角为，其中点A，B，C，P在同一平面内，若每层教学楼的高度为3.5米，楼顶加盖2米，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：，，）    【答案】5 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 如图：过点P作于点D，过点C作于点E，在和中，分别利用锐角三角函数求出的长，即可得的长，则可得的长，再根据题意列方程即可解答． 【详解】解：如图：过点P作于点D，过点C作于点E，    则，米，米，， 在中，，可得米， 在中，，可得米， ∴（米）， ∴米， 设该教学楼的层数为m层， 由题意得，，解得：， ∴该教学楼的层数为5层． 61．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图1是一种折叠椅示意图，忽略其支架等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的简化结构图，如图2所示．若座板平行于地面，前支架与后支架分别与交于点E，D，量得，，，． (1)求椅子座板距离地面的高度； (2)求两支架着地点B，F之间的距离．（精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】(1)椅子座板距离地面的高度是； (2)两支架着地点之间的距离约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是作辅助线构造直角三角形，应用锐角的三角函数定义来解决问题． （1）过点，分别作于，作于，由平行线的性质得到，．由锐角的正弦求出的长，即可解决问题； （2）由矩形的性质得到，由锐角的余弦求出的长，由锐角的正切求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：过点，分别作于，作于， ， ∵， ，， 在中，， ， ， 椅子座板距离地面的高度是； （2）解：在 中，， ， ， ∵，，， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 两支架着地点之间的距离约为． 题型八 构造母子型模型 62．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图为某景区五个景点，，，，的平面示意图，，在的正东方向，在的正北方向，，在的北偏西30°方向上，在的西北方向上，，相距，在的中点处． （1）求景点，之间的距离； （2）求景点，之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）1000m；（2）m 【分析】（1）利用60°角的正弦即可求得BD的长，从而易得BE的长； （2）过点E作EG⊥AC于点G，在Rt△BEG中利用三角函数可求出BG、EG的长，在等腰Rt△AEG中即可求得AB． 【详解】（1）∵∠DBC= ∴在中， ∴(m) ∵E为BD的中点 ∴(m) 所以景点B、E之间的距离为100m． （2）如图，过点E作EG⊥AC于点G 则在中，(m)， (m) ∵∠EAG= ∴ ∴∠EAG=∠AEG ∴m ∴m 所以B，A之间的距离为m． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用问题，通过作适当的辅助线，把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题解决；解直角三角形中，三角函数的概念、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识要熟练掌握． 63．（23-24九年级上·辽宁·期末）锦州古塔，也叫锦州辽塔，建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量锦州古塔的高．         (1)【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点处测得塔顶端的仰角为，点到点的距离米，即可得出高的高度，请写出解答过程（结果用和表示）． (2)【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的点，因此无法直接测量，该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的点向前走到点处，在处测得塔顶端的仰角为，即可通过计算求得塔高，若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴（米）， 答：高的高度为米； （2）解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， 答：塔高为57米． 64．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．） (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 【答案】(1)有触礁危险 (2)没有触礁危险 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）过点作于，在中和在中利用解直角三角形进而可求解； （2）过点于，在中，利用解直角三角形即可求解； 熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于，如图： （海里）， 设， ，， ，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 答：渔船继续向东航行，有触礁危险． （2）过点于，如图：    由（2）得：（海里）， 在中，，，海里， ， 答：没有触礁危险． 65．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．    (1)求的长；（结果保留根号） (2)如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 【答案】(1)米 (2)4米 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得和的值，然后即可计算出的值； （2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深． 【详解】（1）解：作，交的延长线于点F，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∵米， ∴（米），（米）， ∴（米）， 即的长为米； （2）解：设水池的深为x米，则米， 由题意可知：，，米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 解得， 即水池的深约为4米．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 66．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．（，，）    (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】(1) (2)海监船继续向正东方向航行是安全的 【分析】（1）在中，求出的度数即可解决问题； （2）作于E．求出 的值即可判定； 【详解】（1）解：由题意得，，， ， （2）解：由（1）可知， （海里） 过点作于点，    在中，（海里） ∵ 海监船继续向正东方向航行是安全的． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 67．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为，他又向前走了，测得A点关于E点的仰角为．已知小胖身高为，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，延长CE交AB于G，根据题意得，，，，，，，．根据矩形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，延长交于G． 由题意：，，，，，，． ∴． ∴四边形为矩形． ∴． 在中，，， 设，． ∵，， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴，． ∴． 所以，教学楼的高度约为. 68．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）大连市中山公园原址为一个叫做刘家屯的小山头，年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地.日占时期改为圣德公园，圣德公园多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报.大连解放后的年月，大连市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，并历经多年修建了个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处． “勿忘国耻，怀念先烈，吾辈自强”.某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到中山公园，为测量敬闲亭设计了如下方案，请你根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离，点在同一条直线上． 参考数据： ，，，，，，最后结果保留. 项目任务 （） 求敬闲亭的高度的长． （） 求敬闲亭底面圆的半径的长． 【答案】（）；（）． 【分析】（），利用解直角三角形分别得到，，再根据得到方程，解方程即可求解； （）根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：（）由图可得，，， 设， 在中，，即， ∴， 在中，，即， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：敬闲亭的高度的长为； （）由（）可得，， ∵， ∴， ∴， 答：敬闲亭底面圆的半径的长为． 题型九 构造背靠背模型 69．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检……，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度为120米，此时测得试验田一侧边界点C处俯角为，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为，且点C，O，D在同一条直线上，求点C与点D的距离．（参考数据：，结果保留整数） 【答案】点C与点D的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，求出的长，在中求出的长，利用求出的长即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，， 在中：， ∴， 在中，， ∴， ∴； 答：点C与点D的距离约为． 70．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的D处． (1)求C处距离辽宁舰有多远； (2)求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到）． （参考数据：，，；，，） 【答案】(1)C处距离辽宁舰约有 (2)D处距离辽宁舰约有 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）在中，根据计算即可． （2）在中，根据计算即可． 【详解】（1）由题意：，，，． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：C处距离辽宁舰约有． （2）在中， ∵， ∴． 答：D处距离辽宁舰约有． 71．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． (1)求点P到地面的高度； (2)当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 【答案】(1)点到地面的高度为； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，求得进而可得,据此求解可得答案． 【详解】（1）解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； （2）解：由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴． 题型十 三角形综合应用 72．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）四边形中，，，连接，，点P是折线上的一个动点，点M在边上，且，连接，点A关于直线的对称点是点，连接． 【特例探究一】 （1）如图1，当时，求的值； 【特例探究二】 （2）当时，求的长； 【特例探究三】 （3）当点P到的距离为1时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）延长交于点，勾股定理求出的长，翻折，平行线的性质，得到，，进而推出，得到，求解即可． （2）当时，，则；设交与点N，先由求得，由线段差可得；再由求得即可解答； （3）分P点在上和上两种情况；当P点在上时，过点作于点，在和中，利用的正弦值求得，再在中求即可；当P点在上时，过点P作交的延长线于点Q，延长交的延长线于点H，先由求得和，再由求得，在求得即可； 【详解】解：（1）延长交于点， ∵，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如下图所示，当时，设交与点N， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； （3）如下图所示，当P点在上时，过点作于点，则，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如下图所示，当P在上时，则，过点P作交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；综合性较强，难度大，根据题意画出相应图形，并结合相似三角形的性质来求线段长是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 锐角三角函数综合 题型一 特殊角的三角函数值 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）sin45°的值等于（ ） A． B． C． D．1 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）点关于原点对称的点的坐标是（      ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则旗杆的高为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为 ． 7．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）一天某时刻，太阳光与地面成的角，一棵小树在地面上的投影为9米，则这棵小树高 米． 8．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（ ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，和都是锐角，且，，则的形状是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 题型二 解直角三角形 10．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在等腰中，，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·辽宁·期末）如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）2023年9月29日开通沈阳地铁四号线，如图是某站地铁扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．小明乘扶梯从扶梯底端A以米/秒的速度用时39秒到达扶梯顶端B，则小明上升的铅直高度为 米． 18．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算 ． 19．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形的边上有一点P，，．且以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则的值（    ） A． B． C． D． 题型三 网格中求三角函数值 20．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是（　　）    A．2 B． C．1 D． 22．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，将ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（    ） A． B． C．2 D． 题型四 反比例函数与三角函数 23．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是18，，则 ． 24．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上，第二象限内的点在反比例函数的图象上，且，，则 ．    题型五 三角函数的计算 25．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）（1）解方程： （2）计算 26．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）计算： (1)． (2)． 27．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）（1）解方程：． （2）计算：． 28．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）计算 (1)计算：． (2)解方程：； 29．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）计算：． 30．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）解方程：． （2）计算：． 31．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）（1） （2）先化简，再求值：，其中，． 32．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2)． 33．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）完成下列各题： (1)解方程：； (2)计算：． 34．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1) (2) 35．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 36．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）（1）解方程：． （2）计算： 37．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 38．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）计算 (1)解方程： (2) 39．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 40．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1)； (2)． 41．（23-24九年级上·辽宁·期末）计算 (1)计算： (2)解方程： 42．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）把方程，化成一般形式． 43．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）计算 (1)计算：； (2)解方程：． 44．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）解方程：； （2）计算：． 45．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）（1） （2）先化简，再求值：，其中 46．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 47．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 题型六 三角函数的综合应用 48．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某公司入口处有一斜坡AB，坡角为12°，AB的长为3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为hcm，深度均为30cm，设台阶的起点为C． （1）求AC的长度； （2）求每级台阶的高度h． （参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126．结果都精确到0.1cm）    49．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档与的长分别为，，且它们互相垂直，，，如图（2）．（结果精确到．参考数据：，，，，）    (1)求车架档的长； (2)求车链横档的长． 题型七 构造直角三角形+矩形模型 50．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）    51．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）眼睛是人类感官中最重要的器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍的距离为40cm，与水平方向夹角为，小林在书桌上方的身长为52cm，且垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离．（参考数据：，，）    52．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．    (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 53．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（参考数据：，，，，，）    54．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，） (1)求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）； (2)求水平横管的长度（结果精确到0.1米）． 55．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图是其侧面示意图．已知支架长为米，且垂直于地面，悬托架米，点E固定在伞面上，且伞面直径米．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化．自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 14点 15点 16点 太阳高度角（度） 60 45 30 参考数据：，. 解决问题 （1） 确定影子长度 小明打算在这天16点露营休息，请帮小明求出此时影子GH的长度． （2） 探究影子长度 若某一时刻测得BD＝1.9米，请求出此时影子GH的长度． 56．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点A，支架交于点G，支架平行地面，篮筐与支架在同一直线上，米，米．． (1)求：支架点D到立柱的距离； (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 57．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 58．（23-24九年级上·辽宁·期末）电力公司在高山上建设如图1所示的输电铁塔，其示意图如图2所示，铁塔A沿着坡面到山脚的距离，铁塔B沿着坡面到山脚的距离，坡面与山脚水平线的夹角，坡面与山脚水平线的夹角． (1)求铁塔A到山脚水平线的距离； (2)若从铁塔A看铁塔B的俯角为10°，求铁塔A与铁塔B的距离的长（结果精确到1m）．（参考数据：，，，，，，） 59．（23-24九年级上·辽宁辽阳·期末）某体育馆的篮球架是可升降的，其侧面示意图如图2，，，为长度固定的支架，支架在，，处与立柱连接（垂直于地面，垂足为），在，处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，，测得时，点离地面的高度为．某幼儿园要在此体育馆举行趣味篮球赛，将点调至离地面的高度在之间方符合要求．现工作人员借用调节伸缩臂，将由调节为，试问工作人员调完后是否符合要求？若符合，请求出此时点离地面的高度；若不符合，请说明理由．（参考数据：，，） 60．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量教学楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30米，点A处的俯角为，距楼顶C点10米，点C处的俯角为，其中点A，B，C，P在同一平面内，若每层教学楼的高度为3.5米，楼顶加盖2米，求该教学楼的层数．（结果保留整数，参考数据：，，）    61．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图1是一种折叠椅示意图，忽略其支架等器件的宽度，支架与座板均用线段表示，得到它的侧面的简化结构图，如图2所示．若座板平行于地面，前支架与后支架分别与交于点E，D，量得，，，． (1)求椅子座板距离地面的高度； (2)求两支架着地点B，F之间的距离．（精确到） （参考数据：，，，，，） 题型八 构造母子型模型 62．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图为某景区五个景点，，，，的平面示意图，，在的正东方向，在的正北方向，，在的北偏西30°方向上，在的西北方向上，，相距，在的中点处． （1）求景点，之间的距离； （2）求景点，之间的距离．（结果保留根号） 63．（23-24九年级上·辽宁·期末）锦州古塔，也叫锦州辽塔，建于辽道宗清宁三年（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建．在一次数学综合实践活动中，李老师布置了一个任务：请根据所学知识设计一种方案，测量锦州古塔的高．         (1)【实践探究】某小组通过思考，绘制了如图2所示的测量示意图，即在水平地面上的点处测得塔顶端的仰角为，点到点的距离米，即可得出高的高度，请写出解答过程（结果用和表示）． (2)【问题解决】但在实践中发现：由于无法直接到达塔底端的点，因此无法直接测量，该小组对测量方案进行了如下修改：如图3，从水平地面的点向前走到点处，在处测得塔顶端的仰角为，即可通过计算求得塔高，若测得的，，米，请你利用所测数据计算塔高．（计算结果精确到1米，参考数据：，，，） 64．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．） (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由． 65．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，光从空气斜射入水中，入射光线射到水池的水面B点后折射光线射到池底点D处，入射角，折射角；入射光线射到水池的水面C点后折射光线射到池底点E处，入射角，折射角．，、为法线．入射光线、和折射光线、及法线、都在同一平面内，点A到直线的距离为6米．    (1)求的长；（结果保留根号） (2)如果米，求水池的深．（参考数据：取1.41，取1.73，取0.37，取0.93，取0.4，取0.65，取0.76，取0.85） 66．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上．（，，）    (1)求的度数； (2)已知在灯塔P的周围30海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？ 67．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明利用课余时间测量教学楼的高度．他在C点测得A点的仰角为，他又向前走了，测得A点关于E点的仰角为．已知小胖身高为，求教学楼的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 68．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）大连市中山公园原址为一个叫做刘家屯的小山头，年沙俄强占旅大期间，将这里改为绿地.日占时期改为圣德公园，圣德公园多次作为我地下党的接头地点，传递了许多抗日情报.大连解放后的年月，大连市政府为纪念孙中山先生，改名中山公园，并历经多年修建了个小亭，其中敬闲亭位于山头最高处． “勿忘国耻，怀念先烈，吾辈自强”.某中学超越小组的同学们，带着测量工具来到中山公园，为测量敬闲亭设计了如下方案，请你根据以下材料，完成项目任务． 项目 测量敬闲亭的高度及底面圆的半径 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 说明：点H为亭底面圆圆心，在处分别测得亭顶端的仰角为、，，测角仪高度，测角仪所在位置与亭底部边缘距离，点在同一条直线上． 参考数据： ，，，，，，最后结果保留. 项目任务 （） 求敬闲亭的高度的长． （） 求敬闲亭底面圆的半径的长． 题型九 构造背靠背模型 69．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检……，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度为120米，此时测得试验田一侧边界点C处俯角为，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为，且点C，O，D在同一条直线上，求点C与点D的距离．（参考数据：，结果保留整数） 70．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，辽宁舰在我国海域巡航，某时位于我国海域的A处，发现一艘国外军舰位于辽宁舰的北偏东方向，距离辽宁舰的B处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于辽宁舰正东方向的C处，国外军舰已进入我国海域边缘，此时，辽宁舰向国外军舰发出警示，国外军舰收到警示后，沿正南方向继续航行，到达辽宁舰的南偏东方向的D处． (1)求C处距离辽宁舰有多远； (2)求D处距离辽宁舰有多远（结果精确到）． （参考数据：，，；，，） 71．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：）． (1)求点P到地面的高度； (2)当挖掘机挖到地面上的点Q时，，求． 题型十 三角形综合应用 72．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）四边形中，，，连接，，点P是折线上的一个动点，点M在边上，且，连接，点A关于直线的对称点是点，连接． 【特例探究一】 （1）如图1，当时，求的值； 【特例探究二】 （2）当时，求的长； 【特例探究三】 （3）当点P到的距离为1时，求的值． 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