精品解析：辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校双语校区初中部2024-2025学年 上学期 九年级 数学学科 独立练习（12月月考）

2024-2025学年度上学期 初三年级 数学学科 周末练习 一．选择题（共10小题，30分） 1. 已知直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出点与点的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，直线经过原点， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选B． 2. 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为．分别往这四个容器中注入的水，分别用（单位：）和（单位：）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示与的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，圆柱的体积，由题意知，，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴，即y与x成反比例关系． 故选：C． 3. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入 得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴根据函数图象可得：当时，， 故选：D． 4. 如图，4个大小相同的小正方形拼成“”型模具，其中小正方形的顶点A，B，C在坐标轴上，点为小正方形与轴的交点，顶点在反比例函数的图象上，若，则的值为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．作轴于点N，过点C作于点M，先求得每个小正方形的边长，再求得，，利用相似三角形的性质结合勾股定理求得点E的坐标，据此求解即可． 【详解】解：作轴于点N，过点C作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设“L”型模具中小正方形的边长为m， 则， 解得：负值舍去， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理得：， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征；根据反比例函数的图象与性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴在每一个象限中，y随x的增大而增大， ∵，点在第二象限， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴， 故选：A． 6. 关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】二次函数， 该函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项 B 正确，不符合题意； 当时，，即该函数图象与轴交于点，故选项C错误，符合题意； 当时，随的增大而减小，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 7. 同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，先根据抛物线图象确定与的大小，再判断一次函数图象是否满足条件即可．熟练掌握两个函数图象与系数的关系是关键． 【详解】解：∵抛物线 ∴该抛物线的顶点坐标为， A．∵抛物线图象的顶点在轴的负半轴上， ∴， ∴直线的图象经过第二、三、四象限，故此选项不符合题意； B．∵抛物线图象的顶点在轴的正半轴上， ∴， ∴直线的图象经过第一、二、三象限，故此选项不符合题意； C．∵抛物线图象的顶点在轴的负半轴上， ∴， ∴直线的图象经过第二、三、四象限，故此选项不符合题意； D．∵抛物线图象的顶点在轴的正半轴上， ∴， ∴直线的图象经过第一、二、三象限，故此选项符合题意． 故选：D． 8. 如表为二次函数的与的一些对应值，则的一个根在 A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 比大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴交点问题，根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴的一个根在之间， 故选：B． 9. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 一元二次方程的正实数根在3和4之间 C. 点在抛物线上，当实数时， D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与轴的交点问题可对B选项进行判断；利用二次函数的增减性对C进行判断．把，和代入抛物解析式可对D选项进行判断．本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的解．也考查了二次函数的性质． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，故A选项的结论错误； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标在与之间， 抛物线与轴的另一个交点坐标在与之间， 一元二次方程的正实数根在2和3之间，故B选项的结论错误； 点，在抛物线上， 当点、都在直线的右侧时，，此时； 当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，， 此时且，即， 当时，，故C选项的结论错误． 把，代入抛物线得，， 而， ， ，故D选项的结论正确； 故选：D． 二．填空题（共5小题，15分） 11. 一次函数的图象经过点，则y随x的增大而 _____． 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质，把点代入一次函数得到关于k的一元一次方程，解之，通过k的正负情况即可得到答案． 【详解】解：把点代入一次函数得：， 解得：， ∴y的值随着x的增大而减小， 故答案为：减小． 12. 在平面直角坐标系内，有三点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，判断反比例函数的图象经过，是解题的关键． 根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第四象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】解：，，分别在三个不同的象限，点在第一象限，点在第二象限， 点一定在第四象限， 反比例函数的图象经过其中两点， 反比例函数的图象经过，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，且与反比例函数的图象相交于、两点，且点的纵坐标为，已知点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质；作轴交轴于点，作轴交轴于点，作轴交于点，证明，求出，同理证明，求出，得到点坐标即可解决问题． 【详解】解：作轴交轴于点，作轴交轴于点，作轴交于点， 四边形是菱形， ，， ， 又轴， ， ， ，， ， 又， ， ， 点的纵坐标为，， ， ， 同理可证，， ， 点的坐标为， ， 故答案为：． 14. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，利用关于轴对称的点坐标特点，横坐标不变，纵坐标变成相反数从而得出，，，然后代入代数式计算即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线与抛物线关于轴对称， 又， ∴函数的解析式为：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15. 若时，函数的最大值为17，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质,函数的图像开口向上，对称轴为直线，当时，当时，又因为时函数的最大值为，求解即可． 【详解】解：函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵时，函数的最大值为， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共7小题，75分） 16. 如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI （1）求点A、B的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求m的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与三角形面积的综合应用； （1）分别令，，即可求解； （2）当时求出的纵坐标，由三角形的面积，即可求解； （3）求出的面积，由，即可求解； 掌握一次函数与坐标轴的交点的求法，并熟练利用三角形面积求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，； 【小问2详解】 解：当时， ， ； 【小问3详解】 解：由题意得 ， ， ， ， 解得：或， 故m的值为或． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）是第一象限内直线上方反比例函数图像上一点，过点作轴于点，交于点，连接，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质等知识点， （1）将代入，可得点A坐标，将代入，即可得解； （2）过作轴于，由四边形为矩形，可得，由横坐标与相同，为3，代入可得，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【小问1详解】 将代入得，， 解得，， ∴， 设反比例函数解析式为：， 将代入得，， ∴， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 过作轴于， ， 轴，轴轴， ， 四边形为矩形， ， 纵坐标为1， ， 当时，， ∴， ， 轴，横坐标与相同，为3， ， 当时，， ， ， ， ． 18. 用函数观点看不等式，如何解不等式？ 分析：我们可以把不等号的左边看作正比例函数，右边看作反比例函数，那么这个不等式的解集就是直线在直线下方的所有点的横坐标的取值范围． 解：当时，解得，，可知函数与函数的公共点的坐标为和． 如图，直线在直线下方的所有点，就是直线在点的下方和直线在点和点之间的部分，横坐标的取值范围是或，所以不等式的解集为或． （1）模仿上述方法，解不等式：； （2）填空：如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合； （1）仿照题意求出函数和函数的交点坐标，再找到函数的函数图象在函数的图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围即可得到答案； （2）分当时，当，即时，当时，当时，当时，五种情况结合函数图象讨论求解即可． 【小问1详解】 解：联立，解得或， 由函数图象可知，当函数的函数图象在函数的图象下方或二者的交点处时，自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：当时，函数的图象经过第一、三象限，函数的图象也经过第一、三象限，此时不可能满足关于的不等式的解集为； 当，即时，则关于的不等式即为，此时符合题意； 当时，函数的图象经过第一、三象限，函数的图象经过第二、四象限，此时能满足关于的不等式的解集为； 当时，则关于的不等式即为，此时符合题意； 当时，函数的图象经过第二、四象限，函数的图象也经过第二、四象限，此时不可能满足关于的不等式的解集为； 综上所述，． 19. 综合与实践 【发现问题】 当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影响与赛车行驶速度存在某种函数关系．以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据： 0 1 2 3 4 0 3 12 27 48 （1）请在图中描出上表对应的点，并用光滑的曲线连接． （2）【猜想验证】 观察图象并猜测：是的 　 函数．请你据此求出关于的函数表达式，并验证所求表达式的合理性． （3）【实际应用】 2005年某车队搭载引擎的赛车马力达到了接近1000匹，在某赛道跑出的极速．利用你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击影响是多少？ 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 二次，理由如下： 函数图象经过点， 设函数表达式为，将，代入得： ， 解得： ， 函数表达式为， 时，， 所求表达式合理； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用， （1）根据表中给出的数据，作出图象即可； （2）观察图象并猜测：是的二次函数；设函数表达式为，代入数据求解验证即可； （3）把数据代入，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 撞击影响是． 20. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），列式，去括号合并同类项，即； （2）根据总利润等于单件利润乘上销量，列式，运用二次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）， ∴， ． 【小问2详解】 解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元）， 则： 即， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 21. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，结合，设解析式为，确定a的值即可； （2）根据解析式，得到，求出于x轴的正半轴的交点坐标的横坐标即可解答即可； （3）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，得到，抛物线变形为，计算米，米，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 又，设解析式为， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据解析式，得到， 故， 解得，（舍去）， 答：运动员落水点与点C的距离米． 【小问3详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， 把代入，得到， 抛物线变形为， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 故k的范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与一元二次方程，抛物线与不等式，抛物线的生活应用，熟练掌握应用是解题的关键． 22. 如图①，已知抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）． 【答案】（1）；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）2． 【解析】 【分析】（1）把点A、B、C代入抛物线解析式利用待定系数法求解即可． （2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可． （3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解． 【详解】解：（1）∵抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）， ∴，解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2． （3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1． 又由平移的性质知，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积， 而平行四边形A′APP′的面积=1×2=2． ∴阴影部分的面积=2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期 初三年级 数学学科 周末练习 一．选择题（共10小题，30分） 1. 已知直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为．分别往这四个容器中注入的水，分别用（单位：）和（单位：）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示与的关系为（ ） A. B. C. D. 3. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，4个大小相同的小正方形拼成“”型模具，其中小正方形的顶点A，B，C在坐标轴上，点为小正方形与轴的交点，顶点在反比例函数的图象上，若，则的值为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，下列结论不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 与轴交于点 D. 当时，随的增大而减小 7. 同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如表为二次函数的与的一些对应值，则的一个根在 A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 比大 9. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 一元二次方程的正实数根在3和4之间 C. 点在抛物线上，当实数时， D. 二．填空题（共5小题，15分） 11. 一次函数的图象经过点，则y随x的增大而 _____． 12. 在平面直角坐标系内，有三点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，且与反比例函数的图象相交于、两点，且点的纵坐标为，已知点，则的值为______． 14. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的值为______． 15. 若时，函数的最大值为17，则______． 三．解答题（共7小题，75分） 16. 如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI （1）求点A、B的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求m的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）是第一象限内直线上方反比例函数图像上一点，过点作轴于点，交于点，连接，若，求的面积． 18. 用函数观点看不等式，如何解不等式？ 分析：我们可以把不等号的左边看作正比例函数，右边看作反比例函数，那么这个不等式的解集就是直线在直线下方的所有点的横坐标的取值范围． 解：当时，解得，，可知函数与函数的公共点的坐标为和． 如图，直线在直线下方的所有点，就是直线在点的下方和直线在点和点之间的部分，横坐标的取值范围是或，所以不等式的解集为或． （1）模仿上述方法，解不等式：； （2）填空：如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______． 19. 综合与实践 【发现问题】 当运动中的赛车撞到物体时，赛车所受的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量，而赛车的撞击影响与赛车行驶速度存在某种函数关系．以下是某型号赛车的行驶速度与撞击影响的试验数据： 0 1 2 3 4 0 3 12 27 48 （1）请在图中描出上表对应的点，并用光滑的曲线连接． （2）【猜想验证】 观察图象并猜测：是的 　 函数．请你据此求出关于的函数表达式，并验证所求表达式的合理性． （3）【实际应用】 2005年某车队搭载引擎的赛车马力达到了接近1000匹，在某赛道跑出的极速．利用你得到的撞击影响公式，计算此速度的撞击影响是多少？ 20. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 21. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 22. 如图①，已知抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $