精品解析：内蒙古赤峰市阿鲁科尔沁旗天山第一中学2025届高三上学期10月月考数学试卷

2022级高三10月月考试题 一、单选题 1. 若集合，则集合的真子集共有（ ） A. 7个 B. 8个 C. 15个 D. 16个 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若，是方程的两根，则，的等差中项为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 若实数a，b，c满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上的大致图像为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左，右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. （多选）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为6 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 幂函数在上为减函数，则的值为2 D. 若不等式的解集为或，则 11. 定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数的所有零点之和为5 D. 三、填空题 12. 函数在处的切线方程为_____________. 13. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是______. 14. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是______.. 四、解答题 15. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 16. 已知数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在的最大值和最小值． 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 18. 如图，在正四棱柱中，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小． 19. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：线段的中点在直线上； （3）过点作轴的平行线，与直线的交点为，证明：点在以线段为直径的圆上． 20. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022级高三10月月考试题 一、单选题 1. 若集合，则集合的真子集共有（ ） A. 7个 B. 8个 C. 15个 D. 16个 【答案】C 【解析】 【分析】由集合中元素个数，列式计算即得真子集个数. 【详解】集合中有4个元素，所以集合的真子集共有个. 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足， 即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3. 若，是方程的两根，则，的等差中项为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用韦达定理及等差中项计算即可. 【详解】因为, 所以的等差中项为. 故选：C. 4. 若实数a，b，c满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可逐一求解. 【详解】对于A, 由于，，故，故A错误， 对于B, 由于，,则，故B错误， 对于C，由于，则，故C错误， 对于D，由于，则，，则，故D正确. 故选：D 5. 用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设矩形的长为m，表示出宽，写出面积的表达式，再利用基本不等式求积的最值即可. 【详解】设矩形的长为m，由题意，宽为，所以该菜园的面积为，则由基本不等式得，当且仅当时取等号，所以该菜园面积的最大值为. 故选：A 6. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答. 【详解】对于A，函数定义域是，不是偶函数，A错误； 对于B，当时，函数在上单调递减，B错误. 对于C，函数在上单调递减，C错误； 对于D，函数定义域为R，， 故是偶函数， 当时，在上单调递增，D正确； 故选：D 7. 函数在区间上的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性排除A，D，根据，函数值的正负可选出选项. 【详解】由题可得是偶函数，排除A,D两个选项， 当时，，， 当时，，， 所以当时，仅有一个零点. 故选：C 【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项. 8. 设椭圆的左，右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称以及垂直可证四边形是矩形，再结合椭圆的定义，以及勾股定理求出，由及矩形性质列式求出离心率. 【详解】由点关于原点对称，得线段互相平分，则四边形为平行四边形， 由，得，则是矩形，，， 设，由，得， 由，得，整理得， 而 所以的离心率． 故选：C 二、多选题 9. （多选）下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的知识求得正确答案. 【详解】函数是一一对应或多对一对应关系，所以AD选项错误，BC选项正确. 故选：BC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小值为6 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 幂函数在上为减函数，则的值为2 D. 若不等式的解集为或，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，运用对勾函数的性质即可判断，对B利用抽象函数定义域求法即可判断，对C利用幂函数的特点和单调性即可判断，对D利用一元二次不等式的解集和韦达定理即可判断. 【详解】对于A，令，则 ， 是对勾函数，且在内单调递增， 当时，， 所以的最小值为 ，故A错误； 对于B，，，则函数的定义域为，故B正确； 对于C， ，且，解得 ，故C错误； 对于D，依题意，方程 的两个解是 或 ，并且， 由韦达定理： ， ， ，D正确； 故选：BD. 11. 定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 函数的所有零点之和为5 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用赋值法判断A；推出函数周期求函数值，判断B；将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，判断C；结合函数单调性判断D. 【详解】对于A，由于，令，则，A正确； 对于B，为偶函数，即，结合， 得，即，故， 故4为函数的周期，由时，得， 故，B正确； 对于C，由于，故函数的图象关于点对称， 又为偶函数，则的图象也关于点对称， 结合4为函数的周期，当时，， 作出函数的图象如图， 设，则该函数图象关于点对称，且函数在R上单调递增， 结合的图象可知，二者有3个交点，且交点横坐标之和为3， 即函数的所有零点之和为3，C错误； 对于D，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，故， 即，当且仅当时等号成立，故得，则； 同理可证得，当且仅当时等号成立， 则， 由于在上单调递增，故，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了函数性质的应用，涉及到函数对称性；周期性以及奇偶性，解答时要判断出函数相关性质，数形结合，另外要结合导数知识进行解答. 三、填空题 12. 函数在处的切线方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得导函数及切点坐标，由点斜式方程的求法即可得切线方程. 【详解】，当时切点为， 且，则由导数几何意义可知 由点斜式可得，即， 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 13. 若函数在上是单调函数，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先由题可判断在R上单调递增，后由在上单调递增，在上单调递增，可得答案. 【详解】由函数在上为单调函数， 当时，函数， 此时函数在区间上单调递增， 易知函数在上为单调递增函数， 则在上单调递增，在上单调递增，， 即. 故答案为： 14. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是______.. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与对数函数的图象作出函数图象，利用数形结合及对勾函数的性质计算即可. 【详解】作函数的图象如下图所示： 由图象可知，方程有四个不同的解，且， 需满足， 则由二次函数的对称性可知，， 由对数函数的图象及性质可知，，，， 则，， ∴，， 而函数在递减，在上递增， 当时，，当或4时，，故其取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：函数零点求参问题通常利用数形结合思想，及常用结论：对于方程有两根，且该两根之积为定值1，化简，再根据参数范围及对勾函数的性质计算即可. 四、解答题 15. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 16. 已知数． （1）求的最小正周期和对称轴方程； （2）求在的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为，， （2）的最小值，最大值. 【解析】 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简，由周期公式即可求得最小正周期；利用整体法求得对称轴方程， （2）先求出的范围，再由正弦函数的性质求最值． 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为． 令，，解得，， 所以函数图象的对称轴方程为，， 【小问2详解】 当时，，则，进而可得， 当时，即时，取最小值，时，即时，取最大值. 17. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义得到数列为以3为公差的等差数列，进而求得其通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，数列满足，即， 由等差数列的定义，可得数列是以3为公差的等差数列， 因为，可得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1），可得， 所以数列的前项和为：. 18. 如图，在正四棱柱中，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1） 因为为的中点，所以， 而，即， 又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面，故平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明，由正棱柱的结构证明，可证平面，又平面，故平面平面． （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值，可得角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由（1）可得平面，所以为平面的一个法向量， 正方形中，， 正四棱柱中，平面，平面，则， ，平面，平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 结合图形可得，二面角的大小为． 19. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：线段的中点在直线上； （3）过点作轴的平行线，与直线的交点为，证明：点在以线段为直径的圆上． 【答案】（1） （2） 联立直线与椭圆方程， 又因为有两个交点，所以， 解得，设， 故， 又， ， 线段的中点的坐标为，， 线段的中点C在直线上； （3） 由已知得：， ， ， ， 点在以线段为直径的圆上． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率，且点在椭圆上求出可得答案； （2）联立直线与椭圆方程由求出的范围，设，利用韦达定理求出中点坐标，可得答案； （3）求出的坐标，利用可得答案． 【小问1详解】 ，又， ， 又， 椭圆方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判别式判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式；（5）代入韦达定理求解. 20. 马尔科夫链因俄国数学家安德烈・马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态无关.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.现有两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为. （1）求的值； （2）求的值（用表示）； （3）求证：的数学期望为定值. 【答案】（1）， （2） （3）因为，① ② 所以①一②，得. 又因为，所以，所以. 的可能取值是， 所以的概率分布列为 0 1 2 所以. 所以的数学期望为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，可以得到含的代数式表示，运用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式，结合题意得到、、、之间的关系，结合数学期望的运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 设第次操作后盒子中恰有2个红球的概率为，则没有红球的概率为. 由题意知， 【小问2详解】 因为. 所以. 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是寻求、 之间的关系，利用等比数列的定义进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $