江苏省无锡市澄宜六校2024-2025学年高三上学期12月阶段性联合测试数学试题

澄宜六校阶段性联合测试 高三数学 参考答案 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1． 已知集合，则 A． B． C． D． 【答案】D 2． 已知i为虚数单位，复数z满足，则 A． 5 B． C． 2 D． 【答案】B 3． “直线与圆相交”是“”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 【答案】A 4． 已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列， 则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 5． 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 【答案】D 6． 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，若C上存在一点P， 使得，则椭圆C的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 7． 已知是等比数列，且，则能使不等式 成立的最大正整数n的值为 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 【答案】C 8． 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成 等差数列，则的最小值为 A． 2 B． 3 C． D． 4 【答案】B 【解析】 由题知，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又， 所以，得， 所以最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知（，，）的部分图象如图所示，则 A． B． 的最小正周期为 C． 在内有3个极值点 D． 当时，与y = cosx的图象有3个交点 【答案】ABD 10．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均为奇函数，且，则 A． 关于直线对称 B． 关于点对称 C． 的周期为4 D． 【答案】BCD 【解析】 因为为奇函数，所以， 即，所以 所以关于对称，故，A错误 同时， 又奇函数，则，所以关于对称，故B正确 关于对称，结合，所以， 所以，又， 所以， 所以 ，也即， 所以 所以是周期为4的函数，故C正确 ，， ，，， ，故，D正确 故选：BCD 11．如图，在平行四边形ABCD中，，且，BF为的中线， 将沿BF折起，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，且，则 A． EF⊥平面ABCD B． BC与DE所成的角为 C． AE与平面BEF所成角的正切值是 D． 点C到平面BDE的距离为 【答案】ACD 【解析】 因为，且，所以，． 又为的中线，所以，． 因为，所以．由题意，知，所以． 又，且，平面，所以平面，故A正确； 因为，所以或其补角即为与所成的角，连接，在中，，，， 所以由余弦定理，得． 在中，由勾股定理，得． 所以在中，，． 由余弦定理的推论，得，所以， 所以与所成的角为，故B错误； 因为，，，所以平面． 又，所以平面．所以与平面所成的角为． 中，，．所以，故C正确； 因为，且，所以．又， 所以． 因为点到平面的距离为，所以由等体积法，得点到平面的距离为，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等比数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】 13．已知函数的两个极值点为，且，则实数a的 最小值是 ． 【答案】2 14．已知向量，，，，则的取值范围是 ． 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，设数列的前n项和，求证：． 【解析】 （1）当时，，解得． …………………2分 当时， ， 即． 因为，且，所以，所以，…………………5分 所以，数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以． …………………6分 （2）由（1）知：， …………………8分 所以， …………………10分 所以 …………………12分 因为， 所以，． …………………13分 16．（本题满分15分） 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ． （1）求角C； （2）求的取值范围． 【解析】 （1）由， 结合正弦定理可得，即， …………………3分 所以，又，故； …………………5分 （2）由（1）有 由正弦定理可得： …………………7分 …………………9分 …………………11分 因为△ABC是锐角三角形，故，解得， …………………13分 则，所以，， 所以，即的取值范围为． …………………15分 17．（本题满分15分） 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，点M是椭圆 的上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴的交点 分别是P，Q，求证：线段PQ的横坐标为定值． 【解析】 （1）设椭圆焦距为2c（） 点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切 ∴， ∴ ∴椭圆C的方程为 …………………5分 （2）设直线l：，，， 联立方程，得 因为，直线l交椭圆C于A，B两点 所以， …………………7分 所以，， …………………8分 直线MA： 令y = 0 得： …………………10分 同理， …………………13分 所以，PQ中点的横坐标为． …………………15分 18．（本题满分17分） 如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，， E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l． （1）证明：l∥平面PBC． （2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角 为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求|AQ|． 【解析】 （1）因为分别为的中点， 所以，． 又平面，平面， 所以，平面． …………………2分 又平面，平面与底面的交线为，所以，． …………………4分 从而，． 而平面，平面，所以，平面． …………………6分 （2）取的中点记为，连接， 因为是边长为2的正三角形，所以，． 由（1）可知，在底面内过点A作的平行线，即平面与底面的交线． 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC = AC PD⊥AC，PD平面PAC 所以平面． 取AB的中点记为，连接，则． 因为AC⊥BC，所以DM⊥AC． 以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系（如图所示），………9分 则，，，，，， 设． 于是，，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，即是平面的一个法向量，…………………11分 所以． 又直线与平面所成角为， 于是． …………………13分 又， 而异面直线所成角为，于是． …………………15分 假设存在点满足题设，则， 即，所以． 综上所述，|AQ| = 1． …………………17分 19．（本题满分17分） 定义运算：，已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：； （3）若函数存在两个极值点，证明：． 【解析】 （1）由题意知：，， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． …………………1分 ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ， …………………3分 令，求导得， 当时，，函数递减，当时，，函数递增， 因此，． …………………5分 （2）由（1）知，，即， 当时，． …………………7分 ． ． …………………10分 （3） “函数存在两个极值点”等价于 “方程有两个不相等的正实数根” 故，解得， …………………12分 要证，即证， …………………14分 ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． …………………17分 高三数学答案 第11页 （共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 澄宜六校阶段性联合测试 高三数学 2024.12 一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1． 已知集合，则 A． B． C． D． 2． 已知i为虚数单位，复数z满足，则 A． 5 B． C． 2 D． 3． “直线与圆相交”是“”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 4． 已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列， 则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5． 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是 A． 4 B． 3 C． 2 D． 1 6． 已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P，使得 ，则椭圆C的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 7． 已知是等比数列，且，则能使不等式 成立的最大正整数n的值为 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 8． 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列， 则的最小值为 A． 2 B． 3 C． D． 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知（，，）的部分图象如图所示，则 A． B． 的最小正周期为 C． 在内有3个极值点 D． 当时，与y = cosx的图象有3个交点 10．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均 为奇函数，且，则 A． 关于直线对称 B． 关于点对称 C． 的周期为4 D． 11．如图，在平行四边形ABCD中，，且，BF为的中线，将 沿BF折起，使点C到点E的位置，连接AE，DE，CE，且，则 A． EF⊥平面ABCD B． BC与DE所成的角为 C． AE与平面BEF所成角的正切值是 D． 点C到平面BDE的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知等比数列的前n项和为，若，则 ． 13．已知函数的两个极值点为，且，则实数a的 最小值是 ． 14．已知向量，，，，则的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 已知数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，设数列的前n项和，求证：． 16．（本题满分15分） 在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ． （1）求角C； （2）求的取值范围． 17．（本题满分15分） 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，点M是椭圆C的 上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴的交点分别 是P，Q，求证：线段PQ中点的横坐标为定值． 18．（本题满分17分） 如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，， E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l． （1）证明：l∥平面PBC． （2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF 所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求|AQ|． 19．（本题满分17分） 定义运算：，已知函数． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）证明：； （3）若函数存在两个极值点，证明：． 高三数学 第11页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $$