精品解析：浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

2024学年第一学期杭州S9联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 由可得是的整数倍 B. 的表达式可改写成 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 11. 如图，在平行六面体中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，向量与垂直，则实数的值为________. 13. 已知直线在轴和轴上的截距互为相反数且过点，则这条直线的方程为________. 14. 已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求过点与直线平行的直线的方程； （2）求过点与直线垂直的直线的方程. 16. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的两根，. （1）求角的度数； （2）求的长. 17. 已知空间三点，，. （1）求以，为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 18. 设直线，直线. （1）若，求，之间的距离； （2）求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程. 19. 四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期杭州S9联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】, 所以复数在复平面对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的解法求出集合A，结合补集的概念与运算即可求解. 【详解】， 又， 所以或. 故选：C 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为， 则，解得. 所以该直线的倾斜角为. 故选：D 4. 在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量加减法几何意义化简运算可得. 【详解】如图，三棱柱中，由为中点， 则 . 故选：A. 5. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】向量，，由，得，解得或， 反之，当时，共线， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用单调性对不等式进行转化，然后得到答案. 【详解】由于是偶函数，且在上递增，故原不等式等价于. 此即，解得. 故选：C. 7. 已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ． 故选：C 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距即可. 【详解】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 由可得是的整数倍 B. 的表达式可改写成 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】首先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可． 【详解】因为， 所以. A项，由，即， 函数的最小正周期，则是的整数倍， 不一定是的整数倍，故A错误； B项， ，故B正确； C项，当时，， 即函数的图象关于点不对称，故C错误； D项，当时，， 即当时，取到最小值， 则的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD． 11. 如图，在平行六面体中，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】设，根据空间向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可. 【详解】设. A：， 所以不成立，故A错误； B：， 又， 所以，故B错误； C：， 所以，故C正确； D： ，故D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，向量与垂直，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求解即可. 【详解】向量，，则，， 由向量与垂直，得，所以. 故答案为： 13. 已知直线在轴和轴上的截距互为相反数且过点，则这条直线的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】设出直线的截距，然后对截距是否为零分类讨论，即可得到答案. 【详解】设在轴和轴上的截距分别为和. 若，则过原点，从而由于还过，知其方程为，即； 若，则过两个不同点和，所以其方程为. 由于还过，知，解得，故其方程为，即. 故答案为：或. 14. 已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据几何关系得到，然后证明，最后说明时，即可得到结果. 【详解】根据的方程及，知恒过定点，根据的方程及，知恒过定点. 同时由可知两直线垂直，故，所以. 故，所以. 另一方面，当时，有，此时. 所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线. （1）求过点与直线平行的直线的方程； （2）求过点与直线垂直的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再得到方程. 【小问1详解】 由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即. 【小问2详解】 由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即. 16. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的两根，. （1）求角的度数； （2）求的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式可得角的余弦值，从而可求的大小. （2）利用余弦定理和韦达定理可求的长. 【详解】（1）由题设可得即， 而为三角形内角，故. （2）由韦达定理可得， 由余弦定理可得， 故. 17. 已知空间三点，，. （1）求以，为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据空间向量数量积的定义和坐标表示计算可得，结合三角形面积公式计算即可求解； （2）设，则，解之即可. 【小问1详解】 由，， 得，， 所以，由，得， . 【小问2详解】 设， 由或， 或. 18. 设直线，直线. （1）若，求，之间的距离； （2）求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，然后根据平行线之间的距离公式计算； （2）利用二次函数知识得到，再代入已知条件即可得到结果. 【小问1详解】 根据两直线平行，可知，解得，所以的方程是，即. 所以的距离是. 【小问2详解】 由于的横纵截距分别为和，即和，故根据题意有，， 而相应面积. 所以即要求在时的最大值， 由于，且当时， 故最大时有.将代入， 知此时的方程为，即. 19. 四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）如图，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角系，利用空间向量法求解点面距即可； （3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. 【小问3详解】 假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $