专题02 不等式与复数（讲义）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

专题02 不等式和复数 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 7 05 核心精讲·题型突破 9 题型一：利用基本不等式比较大小 9 题型二：利用基本不等式求最值 13 题型三：复数的基本考点 18 题型四：复数的高级考点 21 有关不等式和复数的北京高考试题，考查重点是不等式的性质和基本不等式及复数的四则运算，考试形式分别以一道选择题为主，分值5分．近年来试题关于《不等式》以不等式的性质为主,多与函数及其他有关最值等内容交汇,属于中档性题目，而关于《复数》以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意不等式性质及复数运算法则，复数基础性题目较多而不等式综合性题目居多.不等式主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 不等式 基本不等式的应用；不等式的性质 2024北京第9题，5分 预测2025年高考，①不等式的性质和基本不等式这部分内容主要以选择题或填空题的形式出现,这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力。 ②以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,考查代数运算的同时,主要涉及考查的概念有:复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等,考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养 复数 复数的四则运算；复数的坐标运算；共轭复数的概念及计算；复数模长的运算；复数的几何意义 2024年北京第2题，5分 2023年北京第2题，5分 2022年北京第2题，5分 2021年北京第2题，5分 2020年北京第2题，5分 2019年北京理科第1题，5分 1、利用不等式的性质比较大小 技巧总结 思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序 如：①不等式两边同时乘以非负需要保序 ②不等式两边同时非负方需要保序 ③不等式两边同时乘以负数需要反序 ④同号取倒反序 ④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性 思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐 2、基本不等式常用模型 技巧总结 形式一：，当且仅当时等号成立. 形式二：，当且仅当时等号成立. 形式三：，当且仅当时等号成立. 形式四：，当且仅当时等号成立. 3、双加配凑模型 技巧总结 模型：形如：已知，求的最值 第一步：将条件配凑成分母的形式 第二步：相乘利用基本不等式 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 技巧总结 （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 5、几个重要的不等式 技巧总结 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 6、不等式易错分析 技巧总结 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 7、复数的基础考点 技巧总结 （1）复数的概念： 形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部.若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数. （2）复数相等：且. （3）共轭复数：与共轭. （4）复数的模： 向量的模叫做复数的模，记作或，即. 2.复数的几何意义 （1）复数复平面内的点. （2）复数平面向量. 3.复数的运算 设，则 （1）加法：； （2）减法：； （3）乘法：； 8、复数的高级考点 技巧总结 1.分式快速化简 （分母相同，分子竖的加叉的减） 2.分式的模长快速求解： 1．【2024年北京第9题】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．【2024年北京第2题】已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得. 故选：C. 3．【2023年北京第2题】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 4．【2022年北京第2题】若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【详解】由题意有，故． 故选：B． 5．【2021年北京第2题】在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：. 故选：D. 6．【2020年北京第2题】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，. 故选：B. 7．【2019年北京理科第1题】已知复数z=2+i，则 A． B． C．3 D．5 【答案】D 【详解】∵ 故选D. 8．【2018年北京理科第2题】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】的共轭复数为 对应点为，在第四象限，故选D. 9．【2017年北京理科第2题】若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 【答案】B 【详解】设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B. 10．【2015年北京理科第1题】复数 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据复数乘法运算计算得：，故选A. 11．【2016年北京理科第9题】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 【答案】. 【详解】由题意得. 题型一：利用基本不等式比较大小 【典例1-1】已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 【典例1-2】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误， 取,则，无法得到，C错误， 由于，则，所以， 故选：D． 1、应用基本不等式时的三个关注点 一正数指式子中的a，b均为正数 二定值只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值 三相等即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值 2、利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能 【变式1-1】已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确； 对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确； 对于C，因为，所以， 而函数为减函数，所以，故C结论正确； 对于D，， 因为，所以， 所以，所以，故D结论错误. 故选：D. 【变式1-2】已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确； 对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误； 故选：C. 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，选项A正确； 当时，显然满足，但，选项B不正确； 当时，显然满足，但，选项C不正确； 当时，显然满足，但是，选项D不正确， 故选：A 【变式1-4】若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取满足，且，此时，A错误； 取满足，且，此时，B错误； 可得，C正确； 取满足，且，此时，D错误. 故选：C. 1．下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对A，当时，则，故A错误； 对B，当时，则，则，故B错误； 对C，当时，根据对数函数单调性知，故C错误； 对D，若，则， 当且仅当时取等号，故D正确. 故选：D. 2．设，则下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，由基本不等式得，∴ 故选：B. 题型二：利用基本不等式求最值 【典例2-1】已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，恒过点，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 故选：A 【典例2-2】已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值 (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式 【变式2-1】已知为正数，则（    ） A．有最小值，为2 B．有最小值，为 C．有最小值，为4 D．不一定有最小值 【答案】B 【详解】因为为正数，所以，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以有最小值. 故选：B 【变式2-2】在函数①，②，③，④中，以2为最小值的函数的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【详解】对于①：例如，则，可知的最小值不为2，故①错误； 对于②：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2，故②正确； 对于③：因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2，故③正确； 对于④：令，则， 可知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以的最小值不为2，故④错误； 故选：B. 【变式2-3】已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】如图： 取中点，则，， ， ∵三点共线，∴，即， ∴， 当且仅当时，取等号； 故选：B 【变式2-4】使“函数的最小值为2”为假命题的的一个值可以是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号，而，则， 由“函数的最小值为2”为假命题，所以. 故选：D 【变式2-5】当时，恒成立，则的最大值为 （    ） A．6 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【详解】因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以由题意可知，，即的最大值为. 故选：C 1．已知是函数的图象上的两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 所以. 故选：D 2．已知，的值域为 ． 【答案】 【详解】因为：（当且仅当即时取“”）. 又根据“对钩函数”的性质，可知：函数在上单调递减，在上单调递增，且，. 所以函数的值域为： 故答案为： 3．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】因为且, 所以, 当且仅当，即时取等最小值. 故答案为： 题型三：复数的基本考点 【典例3-1】在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 【典例3-2】设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 故复数在复平面内对应的点的坐标是，故C正确. 故选：C ①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足 （1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数 （2）当b≠0时，a＋bi为虚数 （3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，其计算公式 【变式3-1】复数满足，在复平面内所对应的点在第三象限，则实数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 可得：， 由于复平面内所对应的点在第三象限， 所以，解得. 故选：D. 【变式3-2】已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】表示对应的点是圆心为，半径为的圆上的点，   的几何意义表示该圆上的点和点之间的距离， 而圆心到点的距离为， 所以的最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：D. 【变式3-3】已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题易知，实部为1，虚部为-2. 故选：A 【变式3-4】已知，则 （    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】依题意，，则. 故选：C 【变式3-5】在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为， 可知复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 1．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由复数，则. 故选：D. 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以，则. 故选：B 3．已知复数满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】设（），代入得， 化简得， ， 所以时，取得最小值， 故答案为：． 题型四：复数的高级考点 【典例4-1】设复数满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由，可得， 则，则. 故选：C 【典例4-2】若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】 复数的虚部是. 故选：D. 1.分式快速化简（分母相同，分子竖的加叉的减） 2.分式的模长快速求解： 【变式4-1】，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由， 得， 故选：C. 【变式4-2】若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由，可得， 所以， 故， 故选：C 【变式4-3】复数满足，则（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【详解】方法一：因为， 所以. 故选：C 方法二：. 故选：C 1.已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 故选：A． 2．若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由题设， 则对应点为在第三象限. 故选：C 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 得. 故选：D． 4．已知复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故虚部为. 故选：A 5．已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【详解】， ∴对应的点为在第四象限. 故选:D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 34 / 34 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式和复数 目录 01考情透视·目标导航 2 02知识导图·思维引航 3 03 知识梳理·方法技巧 4 04 真题研析·精准预测 7 05 核心精讲·题型突破 9 题型一：利用基本不等式比较大小 9 题型二：利用基本不等式求最值 10 题型三：复数的基本考点 11 题型四：复数的高级考点 12 有关不等式和复数的北京高考试题，考查重点是不等式的性质和基本不等式及复数的四则运算，考试形式分别以一道选择题为主，分值5分．近年来试题关于《不等式》以不等式的性质为主,多与函数及其他有关最值等内容交汇,属于中档性题目，而关于《复数》以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意不等式性质及复数运算法则，复数基础性题目较多而不等式综合性题目居多.不等式主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 不等式 基本不等式的应用；不等式的性质 2024北京第9题，5分 预测2025年高考，①不等式的性质和基本不等式这部分内容主要以选择题或填空题的形式出现,这类题目主要考查逻辑思维能力和运算求解能力。 ②以考查复数的四则运算为主,偶尔与其他知识交汇、难度较小,考查代数运算的同时,主要涉及考查的概念有:复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等,考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养 复数 复数的四则运算；复数的坐标运算；共轭复数的概念及计算；复数模长的运算；复数的几何意义 2024年北京第2题，5分 2023年北京第2题，5分 2022年北京第2题，5分 2021年北京第2题，5分 2020年北京第2题，5分 2019年北京理科第1题，5分 1、利用不等式的性质比较大小 技巧总结 思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序 如：①不等式两边同时乘以非负需要保序 ②不等式两边同时非负方需要保序 ③不等式两边同时乘以负数需要反序 ④同号取倒反序 ④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性 思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐 2、基本不等式常用模型 技巧总结 形式一：，当且仅当时等号成立. 形式二：，当且仅当时等号成立. 形式三：，当且仅当时等号成立. 形式四：，当且仅当时等号成立. 3、双加配凑模型 技巧总结 模型：形如：已知，求的最值 第一步：将条件配凑成分母的形式 第二步：相乘利用基本不等式 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” 技巧总结 （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 注意：形如的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 5、几个重要的不等式 技巧总结 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. （3）其他变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 6、不等式易错分析 技巧总结 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 7、复数的基础考点 技巧总结 （1）复数的概念： 形如的数叫复数，其中分别是它的实部和虚部.若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数. （2）复数相等：且. （3）共轭复数：与共轭. （4）复数的模： 向量的模叫做复数的模，记作或，即. 2.复数的几何意义 （1）复数复平面内的点. （2）复数平面向量. 3.复数的运算 设，则 （1）加法：； （2）减法：； （3）乘法：； 8、复数的高级考点 技巧总结 1.分式快速化简 （分母相同，分子竖的加叉的减） 2.分式的模长快速求解： 1．【2024年北京第9题】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．【2024年北京第2题】已知，则（    ）． A． B． C． D． 3．【2023年北京第2题】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 4．【2022年北京第2题】若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 5．【2021年北京第2题】在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 6．【2020年北京第2题】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）． A． B． C． D． 7．【2019年北京理科第1题】已知复数z=2+i，则 A． B． C．3 D．5 8．【2018年北京理科第2题】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．【2017年北京理科第2题】若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A．（–∞，1） B．（–∞，–1） C．（1，+∞） D．（–1，+∞） 10．【2015年北京理科第1题】复数 A． B． C． D． 11．【2016年北京理科第9题】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 题型一：利用基本不等式比较大小 【典例1-1】已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】若，且，则（    ） A． B． C． D． 1、应用基本不等式时的三个关注点 一正数指式子中的a，b均为正数 二定值只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值 三相等即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值 2、利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能 【变式1-1】已知，则下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-2】已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1．下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．设，则下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 题型二：利用基本不等式求最值 【典例2-1】已知函数过定点M，点M在直线上且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值 (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式 【变式2-1】已知为正数，则（    ） A．有最小值，为2 B．有最小值，为 C．有最小值，为4 D．不一定有最小值 【变式2-2】在函数①，②，③，④中，以2为最小值的函数的序号为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式2-3】已知是的重心，过点作一条直线与边，分别交于点，（点，与所在边的端点均不重合），设，，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式2-4】使“函数的最小值为2”为假命题的的一个值可以是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【变式2-5】当时，恒成立，则的最大值为 （    ） A．6 B．10 C．12 D．13 1．已知是函数的图象上的两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，的值域为 ． 3．已知，，且，则的最小值为 . 题型三：复数的基本考点 【典例3-1】在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． ①复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别是它的实部和虚部，叫虚数单位，满足 （1）当且仅当b＝0时，a＋bi为实数 （2）当b≠0时，a＋bi为虚数 （3）当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数．其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，其计算公式 【变式3-1】复数满足，在复平面内所对应的点在第三象限，则实数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【变式3-4】已知，则 （    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3-5】在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 3．已知复数满足，则的最小值为 ． 题型四：复数的高级考点 【典例4-1】设复数满足，则（    ） A． B． C． D．2 【典例4-2】若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 1.分式快速化简（分母相同，分子竖的加叉的减） 2.分式的模长快速求解： 【变式4-1】，则（    ） A． B． C． D．2 【变式4-2】若，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式4-3】复数满足，则（   ） A．1 B．2 C． D．5 1.已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数z满足，则复数z的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．已知（为虚数单位），则在复平面内对应的点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 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