重难点02 充分必要条件的综合考查-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

重难点02：充分必要条件的综合考查 一、知识点梳理 1.总方针 ①定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)． ②集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件． 2.充分必要条件涉及知识点1（平面向量） ①向量数量积的坐标表示 （1）已知两个非零向量，， （2）设，则或 （3）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． ②平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． ③三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． ④向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 3.充分必要条件涉及知识点2（空间线面） ①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》 ②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》 ③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》 ④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》 ⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《》 4.充分必要条件涉及知识点3（不等式） ①两个同号实数相加，和的符号不变，符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数，符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数，符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，符号语言：，. (1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b，(5)可加法则： (6)可乘法则：(7)可乘方性： (8)或 5.充分必要条件涉及知识点4（数列） （1）等差数列中，公差为，则 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． （2）设等比数列的公比为 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 6.充分必要条件涉及知识点5（直线与圆） 已知 且或，记忆式（） 与重合，，， 7.充分必要条件涉及知识点6（常规不等式） 1.一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上.（2）①若，解集为. ②若，解集为.③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下.①若，解集为②若，解集为 2、分式不等式 （1）（2）（3） （4） 3、绝对值不等式 （1）（2）； ； 8.充分必要条件涉及知识点7（三角函数） (1)平方关系：． (2)商数关系：； (3)奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可 (4)两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； (5)二倍角公式 ①；②； ③； (6)降次（幂）公式： 二、题型精讲精练 【题型训练-刷模拟】 1．已知向量，，则（    ） A．“”是 “”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 2．已知：，那么命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知a，，则“”是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．若：，：，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 12．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．对于任意实数，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 17．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．对于实数，“”是“”成立的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知，则“（）”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．若向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．设，则“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 25．若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02：充分必要条件的综合考查 一、知识点梳理 1.总方针 ①定义法：若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)． ②集合法：利用集合间的包含关系．例如，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若A⊆B，则p是q的充分条件(q是p的必要条件)；若AB，则p是q的充分不必要条件(q是p的必要不充分条件)；若A＝B，则p是q的充要条件． 2.充分必要条件涉及知识点1（平面向量） ①向量数量积的坐标表示 （1）已知两个非零向量，， （2）设，则或 （3）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． ②平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． ③三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． ④向量在几何中的应用 （1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件 （2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件 （3）求夹角问题，利用 （4）求线段的长度，可以利用或 3.充分必要条件涉及知识点2（空间线面） ①要证线∥面，条件为3个，其中必有《线面》 ②要证线⊥面，条件为2个，其中必有《线∥线或面∥面》 ③要证线∥线（面∥面），条件为2或3个，其中必有《两个线⊥面》 ④要证线⊥线（面⊥面），条件为2个，其中必有《⊥、∥（）》 ⑤要证线⊥线（面⊥面），条件为3个，其中必有《》 4.充分必要条件涉及知识点3（不等式） ①两个同号实数相加，和的符号不变，符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数，符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数，符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0，符号语言：，. (1)对称性：(2)传递性：(3)可加性：(c∈R) (4)可乘性：a>b，(5)可加法则： (6)可乘法则：(7)可乘方性： (8)或 5.充分必要条件涉及知识点4（数列） （1）等差数列中，公差为，则 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． （2）设等比数列的公比为 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 6.充分必要条件涉及知识点5（直线与圆） 已知 且或，记忆式（） 与重合，，， 7.充分必要条件涉及知识点6（常规不等式） 1.一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上.（2）①若，解集为. ②若，解集为.③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下.①若，解集为②若，解集为 2、分式不等式 （1）（2）（3） （4） 3、绝对值不等式 （1）（2）； ； 8.充分必要条件涉及知识点7（三角函数） (1)平方关系：． (2)商数关系：； (3)奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可 (4)两角和与差的正余弦与正切 ①； ②； ③； (5)二倍角公式 ①；②； ③； (6)降次（幂）公式： 二、题型精讲精练 【题型训练-刷模拟】 1．已知向量，，则（    ） A．“”是 “”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【分析】由向量平行和垂直的条件计算即可. 【详解】若，则，解得； 若，则，解得或； 所以ACD错误，B正确. 故选：B. 2．已知：，那么命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先解不等式，得到不等式的解，利用集合之间的关系判断充分必要性，得到结果. 【详解】，，：，运用集合的知识易知， 中是的充要条件； 中是的必要不充分条件； 中是的充分必要条件条件； 中是的既不充分也不必要条件. 故选：. 3．已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性. 【详解】取，，此时，， 满足，此时不成立； 当时，因为， 所以， 所以，所以， 即， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，对数函数的性质结合充分不必要的定义即可判断. 【详解】由，得， 则，从而. 取，满足，不满足. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 5．设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为∥，则，解得， 若，则，，两直线平行，符合题意； 若，则，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：∥，等价于. 所以“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 6．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出绝对值不等式的解，由充分、必要条件概念得解. 【详解】由，得或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 7．已知实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】实数，则， 当时，，因此， 当时，而，则， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8．已知a，，则“”是成立的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合对数运算判断即可. 【详解】若，则， 反之，取，，即成立，不能推出， 所以“”是成立的充分不必要条件. 故选：A 9．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合诱导公式及同角公式判断得解. 【详解】由，得，而，则； 当时，由，解得，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 10．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以或，解得或， 所以不等式的解集为或； 因为，所以，解得或， 所以不等式的解集为或； 因为或是或的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 11．若：，：，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】分析由能否推出，由能否推出，结合充分条件与必要条件的定义判断结论. 【详解】因为由可推出， 所以，故是的充分条件， 由不能推出， 所以，不是的必要条件， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 12．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义研究条件的充分性和必要性. 【详解】若，假设，则由可知，矛盾，所以，这表明条件是必要的； 对，有，，这表明条件不是充分的. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 13．对于任意实数，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】赋值法可知“”是“”的不充分条件，由，所以，从而可得，可得结论. 【详解】当时，满足成立，但不满足成立， 所以“”是“”的不充分条件， 因为，所以，又，所以， 所以“”是“”的必要条件, 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据以及倍角公式，结合充要条件分析判断即可. 【详解】因为， 则，等价于， 等价于， 所以 “”是“”的充要条件. 故选：C. 15．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】由，可得，所以， 因为在上单调递增，又， 由，可得，所以，所以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 16．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 17．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质分析即可求得． 【详解】若，则由不等式的性质知，，故充分性成立； 若，则，即，解得或，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 18．对于实数，“”是“”成立的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】去绝对值符号后由分式不等式的解法求出即可； 【详解】不等式等价于或， 当时，即，即，解得且； 当时，即，即，解得且； 所以不等式的解集为且， 所以“”是“”成立的必要而不充分条件， 故选：B. 19．已知，则“（）”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】， 故选：C． 20．若向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先证明充分性，然后构造反例说明条件不是必要的. 【详解】当时，，所以，故条件是必要的. 当时，有，但此时，故，所以条件不是充分的. 故选：B. 21．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 22．已知直线和直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意先求出时的的值，然后根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题设，可得，解得或. 当时，，此时，当时，，此时， 所以“”不能推出“”；“”能推出“”， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 23．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 24．设，则“”是“或”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】一方面：或； 另一方面：或，但此时不满足； 所以“”是“或”的充分不必要条件. 故选：B. 25．若，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由面面垂直的判定定理得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立， ，，则或，必要性不成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$