重难点01 基本不等式的应用-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

重难点01：基本不等式的应用 一、知识点梳理 1.几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. 2.不等式变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3.不等式应用的步骤： ①根据实际应用题意列出有关函数关系式并变形为基本不等式的格式 ②利用上述重要不等式及不等式的变形求出最值 ③进行验证：是否满足当且仅当（不等式成立的条件） 4.利用基本不等式解决不等式应用时注意事项 ①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数 ②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；正所谓“积定和最小，和定积最大” ③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 二、题型精讲精练 【题型训练-刷模拟】 1．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（   ）后池水中药品的浓度达到最大． A． B． C． D． 2．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 3．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（   ） A．2080 B．20 C． D．400 4．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（   ） A． B． C． D． 5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．110 B．116 C．119 D．122 6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（    ）千米处，才能使两项费用之和最小. A．3 B．4 C．5 D．6 7．某生物制药公司为了节约污水处理成本，引进了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）满足函数关系式，则每吨的月平均处理成本最低为（   ） A．200元 B．220元 C．300元 D．400元 8．某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，若当贮水池一边长x时，最低总造价z最小，则（   ） A．， B．， C．， D．， 9．《几何原本》第二卷的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理和公理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且，设，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 10．要制作一个长为米，宽为米，高为1米，容积为4立方米的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 11．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．无法确定采用哪种方案划算 B．两种方案一样划算 C．采用第一种方案划算 D．采用第二种方案划算 12．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 13．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 14．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，则（    ） A．当时，的面积取得最大值 B．当时，的面积取得最大值 C．当时，的面积取得最大值 D．当时，的面积取得最大值 15．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 16．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 17．五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（    ） A． B． C．3 D．2 18．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 19．为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 20．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ） A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 21．小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（    ） A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45 22．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 23．足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽，球门宽，且球门位于底线的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线上的点处起脚射门，当最大时，点离底线的距离约为（    ） A． B． C． D． 24．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 25．某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（    ） A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01：基本不等式的应用 一、知识点梳理 1.几个重要的不等式 ① ②基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”). 特例：（同号）. 2.不等式变形： ①(沟通两和与两平方和的不等关系式) ②(沟通两积与两平方和的不等关系式) ③(沟通两积与两和的不等关系式) ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 3.不等式应用的步骤： ①根据实际应用题意列出有关函数关系式并变形为基本不等式的格式 ②利用上述重要不等式及不等式的变形求出最值 ③进行验证：是否满足当且仅当（不等式成立的条件） 4.利用基本不等式解决不等式应用时注意事项 ①“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数 ②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；正所谓“积定和最小，和定积最大” ③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 二、题型精讲精练 【题型训练-刷模拟】 1．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（   ）后池水中药品的浓度达到最大． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式取等条件可确定结果. 【详解】由，当且仅当 且，即时取等号， 因此经过后池水中药品的浓度达到最大． 故选：B． 2．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】B 【分析】设，结合题意求出，从而求出两项费用之和的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意设，仓库到车站的距离， 由于在距离车站6km处建仓库，则，即， 两项费用之和为， 当且仅当，即时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站3km. 故选：B 3．某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位km）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（   ） A．2080 B．20 C． D．400 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】依题意，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当最小时，的值为20. 故选：B 4．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客得到的黄金实际克数是t，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设天平的左臂长为，右臂长，则，售货员现将的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则， 所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立， 即，所以. 故选：A. 5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（    ） A．110 B．116 C．119 D．122 【答案】B 【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题知 当且仅当，即时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116. 故选：B. 6．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（    ）千米处，才能使两项费用之和最小. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先求得的解析式，然后利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】设，则； 设，则， 所以总费用， 当且仅当时等号成立. 故选：C 7．某生物制药公司为了节约污水处理成本，引进了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）满足函数关系式，则每吨的月平均处理成本最低为（   ） A．200元 B．220元 C．300元 D．400元 【答案】B 【分析】求出每吨的月平均处理成本表达式，再根据基本不等式求出最小值可得结果. 【详解】依题意，每吨的月平均处理成本为元， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当月处理量为100吨时，每吨的月平均处理成本最低. 故选：B 8．某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，若当贮水池一边长x时，最低总造价z最小，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，得表示出，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】依题意，由贮水池的一边长为，得贮水池的另一边长， 总造价 ，当且仅当时取等号， 所以贮水池的一边长时，总造价最低，最低值为元. 故选：C 9．《几何原本》第二卷的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理和公理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且，设，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，则，由此可求出OF的长，继而利用勾股定理求出CF的长，结合直角三角形边长的关系，即可得答案. 【详解】如图，连接，则， 由于O为AB的中点，故； 又， 则在中，， 由于，故， 故选：C. 10．要制作一个长为米，宽为米，高为1米，容积为4立方米的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 【答案】C 【分析】建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求． 【详解】长方形容器的容器为，高为， 底面面积，则总的造价为， ， 当时，取最小值160， 即该容器的最低总造价是160元， 故选：C． 11．由于燃油的价格有升也有降，现本月要加两次油，第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．从两次加油的燃油均价角度看，下列说法正确的是（    ） A．无法确定采用哪种方案划算 B．两种方案一样划算 C．采用第一种方案划算 D．采用第二种方案划算 【答案】D 【分析】设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得. 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价： ，当且仅当时取等号； 第二种方案的均价： ,因，则，故，当且仅当时取等号. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算． 故选：D． 12．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设年平均利润为，表示出，再结合基本不等式及二次函数的性质求出各段的最大值，即可得解. 【详解】依题意，设年平均利润为，则（）， 当时， 当且仅当，即时取等号； 当时，则当时取得最大值且， 又，所以当时年平均利润取得最大值. 故选：C 13．某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，当和时分别求得最大值，即可求解. 【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间. 故选：. 14．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，则（    ） A．当时，的面积取得最大值 B．当时，的面积取得最大值 C．当时，的面积取得最大值 D．当时，的面积取得最大值 【答案】D 【分析】由题意可知，，即，设，则，，再根据为直角三角形，得出关于的表达式，再用三角形面积计算公式，得出的面积关于的表达式，再利用基本不等式可得面积的最大值及相应的的值. 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 由，则，且. 设，则， 由已知， 所以， 为直角三角形， ∴， ∴，∴， ∴ . 当且仅当，即时等号成立. 此时满足， 即时的最大面积为. 故选：D. 15．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 【答案】A 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 16．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克， ，解得， ，当且仅当时，取到等号， 由于，所以. 故选：B 17．五一假期，某景点为了给游客提供便利，在广场大屏幕上滚动播放景区的实时动态信息，已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位游客眼睛离地面1.5米，则这位在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】设，表示出、，利用两角差的正切公式结合基本不等式可确定当时，可以获得观看的最佳视野. 【详解】已知如图所示： ， 设，则，， ， 所以当且仅当，即时等号成立， 因为，所以当时，可以获得观看的最佳视野. 故选：B 18．如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 19．为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中区域是休闲健身区，以为底边的等腰三角形区域是儿童活动区，P，C，D三点在圆弧上，中点恰好在圆心O，则当健身广场的面积最大时，的长度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】 先设，然后将健身广场的面积表示为的函数，再使用基本不等式和二次函数的性质确定取得最大值时的取值，最后求出此时的长度. 【详解】如图，设半圆的半径是，并设，则，由知.    由于，故四边形和四边形都是上底为，下底为，高为的梯形. 所以，健身广场的面积. 从而，健身广场的面积最大的时候，恰好就是最大的时候，而我们又有： ，第一个不等号使用了基本不等式. 等号成立当且仅当且，即且. 由于时，故等号成立当且仅当. 以上结论表明，的最大值是，且取到最大值当且仅当. 由，我们得到当健身广场的面积最大时，的长度为. 最后，由是半圆的半径，再根据题目条件，知等于200米，所以的长度为米，D选项正确. 故选：D. 20．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（    ） A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 【答案】C 【分析】设矩形场地的长为米，则，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】设矩形场地的长为米，则宽为米， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以平整这块场地所需的最少费用为元. 故选：C 21．小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（    ） A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45 【答案】A 【分析】由题意作出图形，选设观赏者与油画的水平距离为，观赏时的视角为，求出中的三边，由余弦定理求得的表达式，依题应使最大，即使最小，求出表达式的最小值以及此时的值即得. 【详解】 如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处， 点在线段延长线上，且保持与点在同一水平线上， 则即观赏时的视角. 依题意， 不妨设，则， 在中，由余弦定理， ， 因，则，当且仅当时，即时等号成立， 由可得， 则，则， 因函数在上单调递减，故得， 即最大视角为，此时观赏者距离油画的直线距离为. 故选：A. 22．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员现将的砝码放在天平的左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将的砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据杠杆原理可得，，进而可根据基本不等式求解. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，则有，，即 ，， 所以，， 又因为，所以. 故选：A 23．足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现有一个11人制的标准足球场，其底线宽，球门宽，且球门位于底线的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线上的点处起脚射门，当最大时，点离底线的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可设，，利用两角差的正切公式可得当时，取得最大时，代入数据可得结果. 【详解】设，，所以； 记可得； ， 当取最大时，取最大即可， 易知，此时取到最大值， 当且仅当时，即时，等号成立， 将代入可得. 故选：C 24．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 【答案】B 【分析】根据题意，得到，平均损耗蔬菜量之和为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设安排男社员名，女社员名， 根据题意，可得，平均损耗蔬菜量之和为， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15. 故选：B. 25．某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（    ） A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质以及求和公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为， 据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列. 则. 当且仅当，即时，取最小值38. 所以这台冰激凌机的使用年限是7年. 故选:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$