专题02 不等式与复数（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（北京专用）

专题02 不等式和复数 目录 01 模拟基础练 2 题型一：利用基本不等式比较大小 2 题型二：利用基本不等式求最值 6 题型三：复数的基本考点 10 题型四：复数的高级考点 13 题型一：利用基本不等式比较大小 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确； 对于B中，例如，此时，所以B不正确； 对于C中，由函数在上为单调递减函数， 因为，所以，可得，所以C正确； 对于D中，例如，此时，所以D不正确. 故选：C. 2．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B，，则，故B错误， 对于C，由于，故在单调递减，故，因此， 由于，所以，故，C正确， 对于D, ,则，故D错误， 故选：C 3．设，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例即可判断ABD，利用作差法即可判断C. 【详解】当时，，故AD错误； 当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，因为，所以且， 则， 所以，故C正确. 故选：C. 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取特殊值即可判断A、C、D选项，因式分解即可判断B选项. 【详解】对于A，令，显然，错误； 对于B，， 又不能同时成立，故，正确； 对于C，取，则，错误； 对于D，取，则，错误. 故选：B. 6．若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，因为，可得，当不确定，所以A错误； 对于B中，只有当不相等时，才有成立，所以B错误； 对于C中，例如，此时满足，但，所以C错误； 对于D中，由不等式的基本性质，当时，可得成立，所以D正确. 故选：D. 7．已知，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令即可判断正误；C根据指数函数的单调性判断大小关系；D令，利用对数函数的性质判断即可. 【详解】A：，又，则，，故，即，错误； B：当时，不成立，错误； C：由，则，正确； D：由，即，当时有，错误. 故选：C 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可. 【详解】因为，， 又，，所以， 且，所以， 所以. 故选：A 9．若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于D，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC，取，即可判断. 【详解】由题意，，所以，故D正确； 当，时，，但，，，故A，B，C错误. 故选：D. 10．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质判断A，取特殊值判断BCD. 【详解】，，即，故A正确； 取，则不成立，故B错误； 取，则不成立，故C错误； 取，则，故D错误. 故选：A 题型二：利用基本不等式求最值 11．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 12．下列函数中，是偶函数且有最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数不是偶函数，判断选项A，根据函数的定义域判断选项B，判断得，从而得函数为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据，得函数为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D. 【详解】对A，二次函数的对称轴为， 不是偶函数，故A错误； 对B，函数的定义域为， 定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误； 对C，， 定义域为，所以函数是偶函数， 结合三角函数的性质易判断函数无最小值，故C错误； 对D，，定义域为， 所以函数是偶函数，因为，， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值，故D正确. 故选：D 13．已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式求得最小值． 【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立． 故选：B． 14．设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式判断充分性，根据举反例说明必要性不成立，即可得结论. 【详解】因为，，则，当且仅当时等号成立，故充分性成立； 若，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 15．已知，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】因为，，， 所以, 当且仅当时等号成立, 故选:B 16．在中，，，则的最大周长是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理变形为含的式子，利用均值不等式求解. 【详解】由余弦定理知，, 即， 故，当且仅当时等号成立 解得，又， 所以， 故周长， 故选：B 17．设，.若是与的等比中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】先根据等比中项的性质求得的值，利用“1”的变换得，展开后利用基本不等式求最小值. 【详解】由条件可知，即， 所以， 当时，即时，等号成立. 故选：C 18．已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】根据平面向量的数量积的应用，利用基本不等式即可求解． 【详解】平面向量，的夹角为， ， ， 则， 当且仅当时取等号， 故的最小值为， 故选：． 19．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值． 【详解】已知，，， 则， 当且仅当 时，即当，且，等号成立， 故的最小值为， 故选：． 20．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】∵a>0，b>0，a+b=1， ∴， 当且仅当时取“＝”号． 答案：C 题型三：复数的基本考点 21．在复平面内，点对应的复数为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算及复数对应点求参即可. 【详解】因为对应点为, 所以, 即得. 故选：D. 22．已知为纯虚数，则实数（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数代数形式的乘方运算化简，再根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为， 又为纯虚数，所以，解得. 故选：D 23．在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，再由复数除法法则即可求解. 【详解】z对应的点坐标为，所以， 所以 故选：B. 24．已知复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到，即可求出结果. 【详解】由，得到， 所以，其对应点为，位于第三象限. 故选：C. 25．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由复数概念求出参数，结合复数四则运算即可求解. 【详解】由是纯虚数可知，所以， 故选：A 26．在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的定义结合虚部的定义即可得解. 【详解】因为复数的共轭复数对应的点的坐标是，所以， 所以，即的虚部是. 故选：A. 27．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的几何意义得出，再运算化简即可. 【详解】复数对应的点的坐标是，所以，， 所以. 故选：D． 28．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算，化解复数，并结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】复数，所以复数对应的点为，为第一象限的点. 故选：A 29．已知复数，则=（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】由复数乘法以及模的运算公式即可求解. 【详解】由题意，则. 故选：D. 30．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的相关概念求解. 【详解】解：， 复数的虚部为． 故选：． 题型四：复数的高级考点 31．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的几何意义和复数的运算求出结果即可. 【详解】由题意可得， 所以， 故选：A. 32．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，进而，结合复数的乘法计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 故选：B 33．若为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 故选：D 34．复数满足，则复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数除法法则及复数的概念即可求解. 【详解】由，得， 所以复数的虚部为. 故选：D. 35．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果. 【详解】由可得. 故选：C 36．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】直接利用复数的除法运算，结合复数的几何意义即可. 【详解】复数， 则其在复平面所对应的点为，故其在第四象限， 故选：D. 37．复数的模（　　） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】首先根据体题意得到，再求模长即可. 【详解】， 所以. 故选：D 38．若（其中i为虚数单位），，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入中，进行分母有理化，再代入求模公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A. 39．在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先求出复数z，即可求出答案. 【详解】，复数z对应的点为 则复数z对应的点位于第四象限 故选：D. 40．已知复数满足，则复数的模为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出复数后可求其模，从而可得正确的选项. 【详解】，故， 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 7 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式和复数 目录 01 模拟基础练 2 题型一：利用基本不等式比较大小 2 题型二：利用基本不等式求最值 6 题型三：复数的基本考点 10 题型四：复数的高级考点 13 题型一：利用基本不等式比较大小 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．设，且，则（    ） A． B． C． D． 3．设，其中，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则（    ） A． B． C． D． 9．若实数、满足，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 10．若，则（    ） A． B． C． D． 题型二：利用基本不等式求最值 11．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 12．下列函数中，是偶函数且有最小值的是（    ） A． B． C． D． 13．已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 14．设，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．在中，，，则的最大周长是（） A． B． C． D． 17．设，.若是与的等比中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 18．已知平面向量，的夹角为，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 19．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型三：复数的基本考点 21．在复平面内，点对应的复数为，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 22．已知为纯虚数，则实数（   ） A．0 B．1 C． D． 23．在复平面，复数z对应的点坐标为，则（    ） A．i B．-i C． D． 24．已知复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 25．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 26．在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 27．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 28．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 29．已知复数，则=（   ） A． B．5 C．3 D． 30．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 题型四：复数的高级考点 31．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 32．已知，其中为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 33．若为虚数单位，复数，则（    ） A． B． C． D． 34．复数满足，则复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 35．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 36．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 37．复数的模（　　） A． B．2 C． D．1 38．若（其中i为虚数单位），，则（    ）． A． B． C． D． 39．在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 40．已知复数满足，则复数的模为（    ） A． B．2 C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 / 20 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$