专题03 锐角三角函数（重点+难点，江苏精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题03 锐角三角函数（重点+难点） 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，则的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）小明想测量一棵树的高度，在点A处测得树顶端的仰角为30°，向树方向前进8m到点B处，又测得树顶端的仰角为45°．则树的高度为（    ） A．m B．m C．()m D．()m 6．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，圆经过点、、，点在第一象限内，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏南京·二模）如图，五边形内接于，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（22-23九年级上·福建宁德·期末）在中，，，若将三边都扩大3倍得到，则 10．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）若，则锐角α的大小为 ． 11．（21-22九年级上·江苏淮安·期末）比较大小：sin50° sin60°（填“＞”或“＜”）． 12．（23-24九年级上·江苏常州·期末）将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为 ． 13．（2023九年级上·江苏·专题练习）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为 ． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 15．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，正六边形边长为1，若连接对角线，则的长为 ．    16．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与延长线相交于点，，垂足为，，，则直径 ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）计算 (1) (2) 18．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：如图，是的高，．求． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，，垂足为点．求的长和的余弦值． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知及边上一点C． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使得圆心O在射线上，且经过A、C两点，交射线于点B； ②在射线上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线的距离相等； (2)在（1）的条件下，若，， 直接写出的长= ． 21．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 22．（2024·江苏苏州·二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度． 23．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，是的直径，是一条弦，D是弧的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 24．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形是正方形，边长为6，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积．（结果保留） 25．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点D为边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作，射线交边于点E，过点A作，交射线于点F，连接． (1)求证：； (2)探索：点D在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 26．（2024·江苏宿迁·模拟预测）（1）【操作发现】 如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示． ①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由． ②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度． （2）【类比探究】 如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则面积的最大值为_____． 27．（2024·江苏盐城·三模）如图，二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接． (1)点的坐标分别为 ( ， )， ( ， ) (2)如图，连接与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当 时， ①求点的坐标； ②点是上的一个动点（点不与重合），连接，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，则的取值范围是_________． 一、单选题 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点D是的中点，点E在上．当时，长为 ．    4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，的平分线交于点，交于点．若的直径为6，，则的长为 ． 三、解答题 5．（2024·江苏苏州·一模）图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点． (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点满足，求此时点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标； (4)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 6．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25九年级上·江苏常州·期中）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度（），再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作（，顺，）；若逆时针旋转， 记作（，逆，）． 例如：如图，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作（B，逆，） (1)如图，已知为直角三角形，，，点在圆上，请利用尺规画出圆上的点经过（，逆，）后的图形，并判断该图形与直线的位置关系 （填“相切”、 “相交”或“相离”）． (2)如图，经过（，逆，）得到， 经过（， 顺，）得到， 连接，．求证：． (3)如图，在中，，，．若经过（）中的变换得到的四边形是正方形，则 ； ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 锐角三角函数（重点+难点） 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出答案． 【解析】解：． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确记忆三角函数的定义是解题关键． 先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得． 【解析】解：如图所示， ∵，，， ∴， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，则的长为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．过A作于H，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求得的长，再利用正切函数的定义求得，据此求解即可． 【解析】解：过A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点A、B、O都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理． 过点B作于点，连接并延长，过点O作交延长线于点，根据勾股定理可求出，，设，再由勾股定理可求出x的值，即可得正弦值． 【解析】解：如图，过点B作于点，连接并延长，过点O作交延长线于点， 在中， ，，， 由勾股定理可知：， 同理，在中，由勾股定理可知：， 设， 在中，由勾股定理可知：； 同理，在中，，， ， ， ， 解得，即， ， ， 故选：D． 5．（22-23九年级下·江苏无锡·阶段练习）小明想测量一棵树的高度，在点A处测得树顶端的仰角为30°，向树方向前进8m到点B处，又测得树顶端的仰角为45°．则树的高度为（    ） A．m B．m C．()m D．()m 【答案】D 【分析】设，然后由解直角三角形表示出，，然后列出方程进行计算，即可求出答案． 【解析】解：如图，设，则 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴树的高度为米； 故选：D 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握题意，熟练利用解直角三角形进行解题． 6．（22-23九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，圆经过点、、，点在第一象限内，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，先根据圆周角定理得到，再根据特殊角的三角函数值求解即可．连接，根据，可得出及的长，再由锐角三角函数的定义求出的度数，根据圆周角定理即可得出结论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【解析】连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（2024·江苏南京·二模）如图，五边形内接于，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，解直角三角形．连接，由，求出，判定，推出，由圆内接四边形的性质推出，即可求出． 【解析】解：连接，如图， ，， ， ， ， ∴， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，用函数思想确定的表达式是解题的关键．设，则，则，在中，，则，由，即可求解． 【解析】解：过点作于点，设交于点，过点作于点， ，，， ，，， 则， 设，则， 则， 在中，， 则， 则， 故的最小值为， 故选：A 二、填空题 9．（22-23九年级上·福建宁德·期末）在中，，，若将三边都扩大3倍得到，则 【答案】/0.6 【分析】根据正弦函数的定义求解即可． 【解析】解：根据题意得， 若将三边都扩大3倍得到， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查正弦函数的定义，理解正弦函数的定义是解题关键． 10．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）若，则锐角α的大小为 ． 【答案】/45度 【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可得出答案． 【解析】解：， ， ， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 11．（21-22九年级上·江苏淮安·期末）比较大小：sin50° sin60°（填“＞”或“＜”）． 【答案】＜ 【分析】根据锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【解析】解：∵50°＜60°，而锐角正弦值随着角度的增大而增大， ∴sin50°＜sin60°， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大是正确判断的前提． 12．（23-24九年级上·江苏常州·期末）将一副直角三角板如图叠放，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先设，由直角三角形的性质，可求得与的长，继而求得其比值，易证得，然后由相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案． 【解析】解：设， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， 即，， ∴， ∴， ∴与的周长比为：． 故答案为：． 13．（2023九年级上·江苏·专题练习）小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．求出三角形的面积，再求出内切圆的面积，根据其比值即可解答． 【解析】解：设三角形边长为1，则等边三角形面积为， 则， ∴， ∴圆的半径为，其面积为， 故针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为． 14．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、 于点、．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，求正切，连接，勾股定理求得，进而根据正切的定义，即可求解． 【解析】解：连接，如图所示， ∵的垂直平分线分别交边于点E、F． ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图，正六边形边长为1，若连接对角线，则的长为 ．    【答案】 【分析】题目主要考查正多边形及等腰三角形的性质，解三角形的计算，过点B作，垂足为G，然后利用多边形的性质得出，，再由等腰三角形的性质确定，，利用余弦求解即可． 【解析】解：过点B作，垂足为G，    ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与延长线相交于点，，垂足为，，，则直径 ． 【答案】9 【分析】连接，则，由切线的性质得，则，而，所以，则，所以，，于是得到问题的答案．此题重点考查切线的性质、等角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，证明是解题的关键． 【解析】解：连接，则， ， 是的切线， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， 故答案为：9． 三、解答题 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算； （1）代入特殊角三角函数值，然后计算即可； （2）代入特殊角三角函数值，然后计算即可． 【解析】（1） ； （2） ． 18．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知：如图，是的高，．求． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，先在中，利用求出的长，然后再中，运用计算是解题的关键． 【解析】在中， ， ， 在中，， ， 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，，垂足为点．求的长和的余弦值． 【答案】， 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出及的长，进而得出的长，最后根据勾股定理及余弦的定义即可得出答案． 【解析】解：，，， ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，线段的和与差，勾股定理，求角的余弦值等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数值、勾股定理及余弦的定义是解题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知及边上一点C． (1)尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法） ①作，使得圆心O在射线上，且经过A、C两点，交射线于点B； ②在射线上求作点M， 使点M到点C的距离与点M到射线的距离相等； (2)在（1）的条件下，若，， 直接写出的长= ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）①作的垂直平分线交于点．以点O为圆心为半径作，交于点B，即可； ②作的角平分线交于点，点即为所求； （2）先由勾股定理求得，从而得到，再由，得到，求得，然后证明，得到，则，即可由勾股定理求解． 【解析】（1）解：①如图所示，和点B即为所求作； ∵点O在线段垂直平分线上， ∴， ∴经过A、C两点； ②如图所示，点M即为所求作． 连接，过点M作于H， 由作图可知：是的直径， ∴， ∴ ∵，是的平分线， ∴． （2）解：如图，连接， 由作图可知：是的直径， ∴ 由勾股定理，得， ∴， ∵由作图可知： ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ 由勾股定理，得． 【点睛】本题考查基本作图：作线段垂直平分线，作角平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质．正确作出图形是解题的关键． 21．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，为的直径，与相切于点C，过点B作于点D，连接． (1)求证平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【分析】本题考查了切线的性质∶圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．勾股定理的应用 (1)连接，根据切线的性质，则，又因为，所以，又因为，得出则平分； (2)根据勾股定理可求出，根据利用相似比求出的长． 点评 【解析】（1）证明：连接， 与相切于点C 为的直径， AB为的直径 BC平分 （2）解：为的直径 ， ， ，， 22．（2024·江苏苏州·二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案； （2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可． 【解析】（1）解：过点作于，如图（2）所示：    设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，． 答：到一楼地面的高度为； （2）解：过点作于交于，过点作于交于，    则，四边形、四边形是矩形，， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 23．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，是的直径，是一条弦，D是弧的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）根据D是的中点，于点E，得到，得到即可得证； （2）根据，设，，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，，在中，利用勾股定理计算x即可． 【解析】（1）∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，是的直径， ∴， ∵， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 24．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，四边形是正方形，边长为6，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． (1)求证：． (2)若，求中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积．（结果保留） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）证即可； （2）连接，过点O作交于点，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，直角三角形的性质得出，垂径定理算出，再根据中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积求解即可． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ， ， ， ． （2）解：连接，过点O作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的性质、解直角三角形、扇形面积公式等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． 25．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，点D为边上的动点（不包括B，C两点），以点D为顶点作，射线交边于点E，过点A作，交射线于点F，连接． (1)求证：； (2)探索：点D在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值． 【答案】(1)见解析 (2)不变化， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再证，然后由相似三角形的判定即可得出结论； （2）过点A作于M，由等腰三角形的性质得，再由锐角三角函数定义得，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：不变，理由如下： 过点A作于M，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即的值不变化． 26．（2024·江苏宿迁·模拟预测）（1）【操作发现】 如图l，在矩形和矩形中，，，，小明将矩形绕点C顺时针转一定的角度，如图2所示． ①问：的值是否变化?若不变，求的值；若变化，请说明理由． ②在旋转过程中，当点B、E、F在同一条直线上时，求的长度． （2）【类比探究】 如图3，在中，，，，G为中点，点D为平面内一动点，且，将线段绕点D逆时针旋转得到，则面积的最大值为_____． 【答案】（1）①不变，，②的长为或；（2）16 【分析】（1）①利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求解即可； ②分两种情形：如图中，当点E在线段上时，如图中，当点E在的延长线上时，分别求出，可得结论； （2）如图3中，连接，过点G作于点H．解直角三角形求出，证明，推出，由题意，推出点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆，当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值，由此可得结论． 【解析】解：（1）①的值不变，理由如下： 如图2中，连接．    ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵在图1中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图中，当点E在线段上时，连接，过点C作于J．    ∵， ∴， ∴， ， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图中，当点E在的延长线上时，同法可得，    ∴， 综上所述，的长为或． （2）如图3中，连接，过点G作于点H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点G的运动轨迹是以G为圆心，为半径的圆， 当点D在的延长线上时，的面积最大，最大值， ∴的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 27．（2024·江苏盐城·三模）如图，二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，连接． (1)点的坐标分别为 ( ， )， ( ， ) (2)如图，连接与交于点，设和的面积分别为和，求的最大值； (3)连接，当 时， ①求点的坐标； ②点是上的一个动点（点不与重合），连接，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，则的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)当时，有最大值，最大值为 (3)①；② 【分析】（1）分别令即可求解； （2）根据题意计算出直线的解析式，如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点，设，且，可证，可得，即，再根据三角形的面积计算方法得，，由此结合二次函数最值的计算方法即可求解； （3）①接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点，证明两个三角形全等可得，可得点三点共线，求出直线的解析式，联立二次函数解二元一次方程组即可； ②作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，可证，可得，则有，分类讨论：当时，的值最小，即的值最小；当点与点重合时，当点与点重合时，，可得的值最大值，由此即可求解． 【解析】（1）解：已知二次函数 的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， ∴令时，，整理得，， ∴，， ∴，， 令时，， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线所在直线的解析式为， 如图所示，过点作轴交于点，则点的横坐标为，过点作轴于点，交于点，过点作与点， ∴当时，， ∴，则， ∵点是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴设，且， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：①连接，，作点关于的对称点，则，连接，作轴于点， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∵点关于的对称点为，且， ∴， ∴点三点共线， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，，，，则，，， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∵点，点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去） ∴； ②根据题意，作图如下，过点作轴于点，于点，连接，过点作轴于点，连接，作于点，    已知，，是的垂直平分线， ∴，，且， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的最小值为， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， ∵， ∴， 综上所示，的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数、二次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，点到直线垂线段最短等知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 一、单选题 1．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，正方形的边长，点为平面内一动点，且，点为上一点，，连接、，当线段的长最小时，三角形的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形面积，动点问题，圆的定义，正弦函数．由，知的轨迹是以为圆心，4为半径的，故当在线段上时，最小，过作于，可得，，根据，即得，从而可得答案． 【解析】， 的轨迹是以为圆心，4为半径的， 当在线段上时，最小，过作于，如图：   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 2．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于点O，点F是上一点，交于点E，连接交于点P，连接．则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据证明得再证明得，由可判断①正确；由得四点共圆，从而可知故可判断②正确；过点作，可得再证明可得则有故③正确；由设得过点E作于点G，求得，可求，故④错误． 【解析】解：①∵四边形是正方形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴．①的结论正确； ②∵， ∴点四点共圆， ∴，②的结论正确； ③过点O作，交于点H，如图， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∴．③的结论正确； ④∵， ∴设，则， ∴， ∴． 过点E作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，．④的结论不正确； 综上，①②③的结论正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，圆周角定理，解直角三角形，直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，充分利用正方形的性质构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键． 二、填空题 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，，，点D是的中点，点E在上．当时，长为 ．    【答案】5或3 【分析】先分别求出长，分①当时，则点E是的中点，由此可得，②当点E不是的中点时，设为，过点D作于H，证明和相似得，进而得，则，从而得，综上所述即可得出的长． 【解析】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ①当时， ∴， ∴， ②当和不平行时，设为，过点D作于H，如图所示：    则， 又∵， ∴， ∴，即： ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 综上所述：的长为5或3． 故答案为：5或3． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行运算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，的平分线交于点，交于点．若的直径为6，，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，连接，过作于，证明，可得，，，设，则，结合，可得①，由勾股定理可得②，解得：，（舍去），可得，，同理可得：，，，再证明，从而可得答案． 【解析】解：如图，连接，过作于， ∵的平分线交于点，交于点，． ∴， ∴， ∵的直径为6，， ∴，，设， ∴，，，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①， ∵， ∴②， 由①②可得：， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，锐角三角函数的应用，圆周角定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题 5．（2024·江苏苏州·一模）图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点． (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点满足，求此时点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标； (4)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)的最小值为4， 【分析】（1）利用勾股定理求出即可； （2）如图1中，过点作于点．设，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）如图2中，设交于点．利用相似三角形的性质求出，再求出，可得结论； （4）如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于．证明，推出，推出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小． 【解析】（1）解：如图1中，在中，，，， ， ； （2）解：如图1中，过点作于点． ， ， 设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图2中，设交于点． ，， ， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，； （4）解：如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于． ， ， ，， ， ， 点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为4， ，， 是等边三角形， ，即， 线段扫过的面积． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 6．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使的坐标为)或 【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）设，求出，直线函数表达式为，知，分为当点Q在直线下方时和点Q在直线上方时，分别求解即可． （3）过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于，分两种情况：当在上方时，求出顶点，可得，故，有，而，即可得，从而证明，得，得，故，即可得是等腰直角三角形，证明，有，设，则，解得，得直线函数表达式为，联法，可得；当在下方时，同理可得． 【解析】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，过点Q作轴，交于点， 在中，令得， 解得：或， ， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴设直线的函数表达式为，代入B得，解得：， ∴直线的函数表达式为， ， ， 当点Q在直线下方时：， 即，无解； 当点Q在直线上方时： ， 即，解得：或； 综上，此时，点Q的坐标为或； （3）解：存在点，使， 理由如下：过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于， 当在上方时，如图： ， ∴顶点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， ∵ 设直线函数表达式为，则， 解得， 故直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在下方时，同理可得， 可得函数表达式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，待定系数法等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 7．（24-25九年级上·江苏常州·期中）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度（），再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作（，顺，）；若逆时针旋转， 记作（，逆，）． 例如：如图，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作（B，逆，） (1)如图，已知为直角三角形，，，点在圆上，请利用尺规画出圆上的点经过（，逆，）后的图形，并判断该图形与直线的位置关系 （填“相切”、 “相交”或“相离”）． (2)如图，经过（，逆，）得到， 经过（， 顺，）得到， 连接，．求证：． (3)如图，在中，，，．若经过（）中的变换得到的四边形是正方形，则 ； ． 【答案】(1)画图见解析，相切 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）如图，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，为上任意一点，连接，以为圆心，为半径画圆，作射线与交于，连接，则圆上的点经过（，逆，）后的图形为，再进一步解答可得答案； （2）由与位似，证明，由与位似，证明，可得． （3）如图，由（2）同理可得：，，可得，，，证明，，可得，可得，可得，，求解，即，，即，进一步可得答案． 【解析】（1）解：如图，以为圆心，为半径画弧，交于，连接，为上任意一点，连接，以为圆心，为半径画圆，作射线与交于，连接， 则圆上的点经过（，逆，）后的图形为， 理由：由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴在上，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴圆上的点经过（，逆，）后的图形为． ∵， ∴与相切． （2）证明：∵与自旋转位似， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵与自旋转位似， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，取的中点，连接， 由（2）同理可得：，， ∴，，， ，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，切线的判定，圆周角定理的应用，解直角三角形的应用，位似图形的性质，相似三角形的性质，新定义运算的含义，理解题意，正确作图是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$