特训07 第5-6章 解答题 期末阶段复习（基础+重点+热点，十五大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训07 第5-6章 解答题 期末阶段复习（基础+重点+热点，十五大题型） 目录： 题型1：图表数据题 题型2：求x或y的范围 题型3：二次函数平移、旋转问题 题型4：面积问题 题型5：二次函数的实际应用—拱桥问题 题型6：二次函数的实际应用—利润问题 题型7：二次函数的几何应用（含动点问题） 题型8：二次函数的代数应用（含参型） 题型9：相似三角形的判定与性质 题型10：相似三角形在特殊平行四边形的应用 题型11：相似三角形有关作图题 题型12：图形的位似 题型13：相似三角形在圆中的应用 题型14：相似三角形的实际应用 题型15：相似三角形有关的动点问题 题型1：图表数据题 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … (1)求该二次函数的表达式； (2)若点，在这个函数的图像上，则 ．（填“＞”“＜”或“=”） 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为 ． 题型2：求x或y的范围 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图象，解答问题：当时，的取值范围是______． 4．（22-23九年级上·江苏南京·期末）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，y的取值范围是_________． （2）当时，直接写出x的取值范围． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象经过点．求： (1)该二次函数的表达式； (2)函数图象的顶点坐标； (3)当自变量x满足时，函数值y的取值范围为______． 题型3：二次函数平移、旋转问题 6．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为. (1)求二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围是 ； (3)将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点. 7．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)时，x的取值范围是______； (3)若，则y的取值范围是______； (4)把所画的图象如何平移，可以得到函数的图象？请写出一种平移方案． 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围 ． (3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ． 题型4：面积问题 9．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，二次函数的图像交轴正半轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，，已知． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）直线与抛物线相交于点． (1)求a，b的值； (2)求另一个交点B的坐标； (3)求的面积． 11．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是直线． (1)求a，b的值； (2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为，过点B作x轴的垂线交直线于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E，在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使以B，C，D，E为顶点的四边形面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型5：二次函数的实际应用—拱桥问题 12．（23-24九年级上·江苏常州·期末）赵州桥又名安济桥，建于隋代大业年间(公元605年-618年)，由著名匠师李春建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，若把它的桥拱近似看成一条抛物线，它的跨度约为38米，平时桥拱最高点离水面3米(如图①)讯期来临，河水没过两边的桥洞，需要从桥洞泄水，此时桥拱最高点离水面只有2米(如图②)，问桥下水面宽为多少？(根据题意建立平面直角坐标系解决问题，结果保留根号) 题型6：二次函数的实际应用—利润问题 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件，降价幅度不超过10元．那么每件应降价多少元，可获得最大利润？最大利润是多少？ 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种商品，成本为20元/件，经过调查发现，商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单价（元） 40 60 80 日销售量（件） 80 60 40 (1)求与的关系式； (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（，且x为整数）元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出______个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 题型7：二次函数的几何应用（含动点问题） 16．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，学校计划围一个矩形花园，它的一边是墙（长度大于10m），其余三边利用长为10m的围栏，试确定其余三边的长度，使其分别满足下列条件： (1)花园的面积为12m2； (2)花园的面积最大． 17．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 18．（22-23九年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)试写出的面积与之间的函数表达式； (2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 19．（23-24九年级上·江苏南通·期末）在边长为的正方形上，剪去四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（四个顶点正好重合于上底面的一点）；已知在上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设． (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积； (2)某广告商要求包装盒表面（不含下底面）面积最大，试问应取何值？ 题型8：二次函数的代数应用（含参型） 20．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)该函数图象必过两个定点，它们的坐标分别为 、 ； (3)当时，，直接写出a的取值范围． 21．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图像经过，两点． (1)求b的值； (2)求证该二次函数的图像与x轴的总有两个公共点； (3)设该函数图像与x轴的两个公共点分别为、．当时，直接写出a的取值范围． 题型9：相似三角形的判定与性质 22．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使． (1)说明． (2)，，求线段AC的长． 23．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，过点作，交于点．求证： (1)； (2)． 24．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，，D是线段上一点． (1)求证； (2)求证． 25．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，点E，F在边上，连接，. (1)求证； (2)若，，，则 . 26．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的边和为腰向外作等腰直角和等腰直角，连接． (1)求证：； (2)直接写出的值． 27．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，和均是等腰直角三角形，，点E在线段上，相交于点F，连接，作，垂足为点H，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型10：相似三角形在特殊平行四边形的应用 28．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）在边长为1的正方形中，点E在边上（不与点A、D重合），射线与射线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 29．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． (1)求证； (2)若，求的长． 30．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，交于点G．    (1)若，求证； (2)若E，F分别是，的中点，则的值为______． 31．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，正方形的边长为4，点为上的动点，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)四边形的面积能否为，若能，求出此时的长，若不能，请说明理由． 题型11：相似三角形有关作图题 32．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段的端点都是格点．画出它的一个三等分点M． 要求：①用两种不同方法画图；②画图工具仅限无刻度直尺． 33．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）小明同学在学习过《对称图形---圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成． 问题背景：已知点是四边形中边上一点，请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点. 问题1.如图，，； 问题2.如图，，； 问题3.如图，，． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 题型12：图形的位似 34．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中就是格点三角形，请建立平面直角坐标系，使点A的坐标为． (1)把以点O为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△A1B1C1（与在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是，，）； (2)利用本题方格纸标出外接圆的圆心P，P点坐标是 ； (3)在（2）中的条件下，中劣弧的长度为 ． 35．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为、、（正方形网格图中每个小正方形边长为1个单位长度） (1)以原点为位似中心，在第四象限画出，使得与位似且位似比； (2)面积等于______． (3)若内有一点，则位似后的对应点坐标是______． 题型13：相似三角形在圆中的应用 36．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的内接三角形，为的直径，点D在的延长线上，连接，满足． (1)证明：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 37．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的内接三角形，是的中点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 38．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，直径与弦互相垂直，垂足为E，以为邻边作矩形，其对角线的延长线交于点G．    (1)求证． (2)若，， ①求的长； ②求的半径． 题型14：相似三角形的实际应用 39．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，已知此时高的竹竿在水平地面上的影子长，那么这棵大树高度是多少？ 40．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 题型15：相似三角形有关的动点问题 41．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与相似？ 42．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，点P、Q同时出发，运动时间为秒，是的外接圆．    (1)当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； (2)在点P从点A向点B运动过程中，当与直线相切时，求的t值； (3)连接，交于点N，如图，当时，求t的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07 第5-6章 解答题 期末阶段复习（基础+重点+热点，十五大题型） 目录： 题型1：图表数据题 题型2：求x或y的范围 题型3：二次函数平移、旋转问题 题型4：面积问题 题型5：二次函数的实际应用—拱桥问题 题型6：二次函数的实际应用—利润问题 题型7：二次函数的几何应用（含动点问题） 题型8：二次函数的代数应用（含参型） 题型9：相似三角形的判定与性质 题型10：相似三角形在特殊平行四边形的应用 题型11：相似三角形有关作图题 题型12：图形的位似 题型13：相似三角形在圆中的应用 题型14：相似三角形的实际应用 题型15：相似三角形有关的动点问题 题型1：图表数据题 1．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 5 2 1 2 … (1)求该二次函数的表达式； (2)若点，在这个函数的图像上，则 ．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】(1) (2)＞ 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，图表法表示函数，函数的增减性． （1）根据题意，列方程组求解即可． （2）根据，抛物线开口向上，对称轴为直线，计算距离，比较判断即可． 【解析】（1）设抛物线解析式为， 根据题意，得， 解得， 故解析式为． （2）∵ ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远的点的函数值越大， ∵， ∴， 故答案为：＞． 2．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 … (1)求该二次函数的表达式； (2)将该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，翻折的性质． （1）先由表格得出抛物线的顶点，再求出顶点式，再化为一般式； （2）先求出翻折后的顶点坐标，再根据翻折的性质求解． 【解析】（1）由表格得：抛物线的顶点为， 设函数关系式为， ∵该二次函数过，则， 解得：， ， 该二次函数的表达式为； （2）由（1）得抛物线的顶点为， 点关于直线的对称点为， 该函数图象沿直线翻折，所得图象的函数表达式为． 故答案为：． 题型2：求x或y的范围 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的表达式； (2)结合图象，解答问题：当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题关键是结合图像进行解题． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察函数图象，即可得出结论． 【解析】（1）将，代入中得： ，解得：， ∴该二次函数的表达式为． （2）如图：抛物线开口向上， 当时，； 当时，； ∴观察图象得，当时，． 4．（22-23九年级上·江苏南京·期末）画出函数的图象，根据图象，解决下列问题： （1）当时，y的取值范围是_________． （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】图见解析，（1）．（2）． 【分析】根据函数解析式求得与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，顶点坐标，对称轴，根据五点法画出二次函数图象， （1）根据函数图象直接求解； （2）根据函数图象直接求解． 【解析】令，则， 解得：， ∴抛物线与轴的交点为，， 令，解得：， ∴抛物线与轴的交点为， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线 关于对称轴对称的点为， 函数的图象，如图所示， （1）根据函数图象可知，当时，． 故答案为：． （2）当时，． 【点睛】本题考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 5．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数的图象经过点．求： (1)该二次函数的表达式； (2)函数图象的顶点坐标； (3)当自变量x满足时，函数值y的取值范围为______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将代入二次函数求得m的值，即可求出二次函数表达式； （2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求出顶点坐标； （3）直接求出当自变量x满足时，函数值y的取值范围． 【解析】（1）将代入二次函数得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）， 所以抛物线的顶点坐标为； （3）当自变量x满足时，函数值y的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 题型3：二次函数平移、旋转问题 6．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为. (1)求二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围是 ； (3)将该二次函数图像向下平移 个单位长度恰好经过点. 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数，二次函数的性质，二次函数的平移， （1）设二次函数的解析式为，将代入，即可解答； （2）将代入函数解析式，再结合图形，即可解答； （3）设二次函数的图象向下平移个单位，根据顶点式平移的性质可得二次函数的解析式，再将代入，解方程，求得的值，即可解答， 熟练掌握二次函数的平移口诀：“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【解析】（1）解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入，可得， 解得， 二次函数的解析式为，即； （2）解：将代入函数解析式， 可得， 将代入函数解析式， 可得， 根据题意可得，当时，有最小值为 当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：设向下平移个单位， 可得， 把代入， 可得， 解得， 故答案为：18． 7．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)时，x的取值范围是______； (3)若，则y的取值范围是______； (4)把所画的图象如何平移，可以得到函数的图象？请写出一种平移方案． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) (4)向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位单位（方法不唯一） 【分析】（1）化成顶点式，得到顶点坐标，根据对称性，列表描点连线即可； （2）根据图象即得时，或； （3）根据点与点对称，顶点为，时，，得到当时，，得到当时，； （4）利用平移的性质“左加右减，上加下减”即可求得． 【解析】（1） 列表：给出x一些值求出对应的y值，增入表中， x …… 0 1 2 3 4 5 …… y …… 8 3 0 0 3 8 ……2 描点、连线：以表中每一对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，而后用平滑的曲线把各点顺次连接起来，就得到函数的部分图象； （2）由图知，二次函数图象开口向上，交x轴于点和点， ∴当时，或； 故答案为：或； （3）∵二次函数图象对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵点与点对称，时，， ∴当时，， ∴当时，； 故答案为：； （4）∵函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象， ∴函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象（方法不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握描点法画二次函数图象，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数与方程与不等式的关系，二次函数图象平移，是解决问题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线经过点． (1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围 ． (3)若将此抛物线绕其顶点旋转180°，直接写出旋转后抛物线的表达式为 ． 【答案】(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． （1）把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解； （3）根据顶点旋转可直接得出答案． 【解析】（1）把代入得： ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）， 抛物线开口向下，有最大值4， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是． （3）抛物线，线绕其顶点旋转，得出． 题型4：面积问题 9．（23-24九年级上·江苏淮安·期末）如图，二次函数的图像交轴正半轴于，两点（点在点的左边），交轴于点，连接，，已知． (1)求二次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求解二次函数表达式，二次函数与x轴交点坐标，求三角形面积； （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先由求出，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∵二次函数的图像经过点 ∴， 解得：， ∴该二次函数的表达式是； （2）∵二次函数的图像与轴交于A，B两点， ∴， 解得，， ∴二次函数与轴的两个交点的坐标为，． ∴的面积． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）直线与抛物线相交于点． (1)求a，b的值； (2)求另一个交点B的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)3 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题． （1）把点代入，求出b的值，再把点，代入求出a的值，即可； （2）联立两函数解析式，即可求解； （3）设直线与y轴交于点C，则点，根据，即可求解． 【解析】（1）解：把点代入，得： ， ∴点， 把点代入，得： ，解得：； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为， 联立得：，解得：或， ∴另一个交点B的坐标为； （3）解：如图，设直线与y轴交于点C，则点， ∴， ∴． 11．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是直线． (1)求a，b的值； (2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为，过点B作x轴的垂线交直线于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E，在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使以B，C，D，E为顶点的四边形面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、二次函数和图形面积综合，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）求出点．分三种情况分别进行求解即可． 【解析】（1）解：∵抛物线经过点，对称轴是直线． ∴， 解得， （2）由（1）得抛物线为． 当时，； 当时，． ∴点． 设对应的函数表达式为， 把代入得 ， 对应的函数表达式为， ∴点． ①当时，如图①，过点D作于点F，则． 此时． 由． 解得． ②当时，点B与D重合，四点B、C、D、E不构成四边形． ③当时，如图②，过点D作于点H，则． 此时． ． 解得（舍），（舍）． 综上所述，． 题型5：二次函数的实际应用—拱桥问题 12．（23-24九年级上·江苏常州·期末）赵州桥又名安济桥，建于隋代大业年间(公元605年-618年)，由著名匠师李春建造，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，若把它的桥拱近似看成一条抛物线，它的跨度约为38米，平时桥拱最高点离水面3米(如图①)讯期来临，河水没过两边的桥洞，需要从桥洞泄水，此时桥拱最高点离水面只有2米(如图②)，问桥下水面宽为多少？(根据题意建立平面直角坐标系解决问题，结果保留根号) 【答案】水面宽为米 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值． 【解析】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为：， ∵函数图象过点， ∴，得， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴水面的宽度是：（米）， 题型6：二次函数的实际应用—利润问题 13．（23-24九年级上·江苏南京·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件，降价幅度不超过10元．那么每件应降价多少元，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】每件降价10元可获得最大利润，最大利润是2380元． 【分析】本题考查二次函数的应用，根据利润单件利润销售量列出函数关系式，配方为顶点式，根据函数的增减性解题即可． 【解析】解：设每件应降价x元，可获利润y元， 根据题意得，． ∵， ∴抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大． ∴当时，y有最大值为2380元 ∴每件降价10元可获得最大利润，最大利润是2380元． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种商品，成本为20元/件，经过调查发现，商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单价（元） 40 60 80 日销售量（件） 80 60 40 (1)求与的关系式； (2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润． 【答案】(1) (2)该商品获得的最大日利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法解一次函数的解析式，二次函数的实际应用，利用二次函数的图像性质求最值，解题的关键是理解题意找到题目中的数量关系，并熟练掌握待定系数法解一次函数和二次函数的图象与性质． （1）利用待定系数法解题即可； （2）根据利润单价成本销量，列出函数关系式，并根据题意求出的取值范围，然后根据二次函数的性质求出此区间的增减性，进而求出的最大值即可． 【解析】（1）解：设函数的表达式为，将、代入得： ，解得， ∴y与x的关系式为； （2）解：公司销售该商品获得的最大日利润为w元， 则， ∵， ∴， ∵，故抛物线开口向下， 故当时，w随x的增大而增大， ∴当（元）时，w的最大值为（元）， 故公司销售该商品获得的最大日利润为元． 15．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（，且x为整数）元． (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出______个台灯（用含x的代数式表示）； (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？ (3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 【答案】(1) (2)台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个 (3)台灯售价定为59元时，每月销售利润最大． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程和函数关系． （1）根据售价上涨元后，销售量减少个，列代数式即可； （2）根据售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，列一元二次方程，求解即可； （3）设销售利润为元，求得与的函数关系，再根据二次函数的性质，求解即可． 【解析】（1）售价上涨元后，销售量减少个，此时的销售量为个， 故答案为：； （2）由题意可得：， 化简得：， 解得：或， ， ，，， 即台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个； （3）设每月的销售利润为， 根据题意得：， ，取整， 当时，有最大值，最大值为11890， 此时售价为：（元， 答：台灯售价定为59元时，每月销售利润最大． 题型7：二次函数的几何应用（含动点问题） 16．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，学校计划围一个矩形花园，它的一边是墙（长度大于10m），其余三边利用长为10m的围栏，试确定其余三边的长度，使其分别满足下列条件： (1)花园的面积为12m2； (2)花园的面积最大． 【答案】(1)其余三边的长度分别为或 (2)其余三边的长度分别为时，花园的面积最大 【分析】本题主要考查了二次函数的应用 （1）根据题意，设出矩形三边长度，再根据面积等于12，即可列出方程求得； （2）求花园面积最大就是转化为二次函数求最大值，再通过配方即可求得． 【解析】（1）解：设其余三边的长度分别为． 由题意，得． 解得． 答：其余三边的长度分别为或． （2）解：设其余三边的长度分别为．花园的面积为． 由题意，得． 整理，得． ∴当时，y有最大值． 答：其余三边的长度分别为时，花园的面积最大． 17．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． (1)若两点的距离为时，求的值？ (2)当为何值时，的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1)或2 (2)当为时，的面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次函数的实际应用，一元二次方程的应用： （1）分别用t的代数式表示出线段的长度，利用勾股定理列出方程即可求解； （2）设的面积为，利用（1）中的方法，利用三角形的面积公式列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解． 【解析】（1）解：依题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵两点的距离为， ∴， 解得：或2； （2）解：设的面积为，根据题意得： ， ∴当时，S取得最大值，最大值为9， 即当为时，的面积最大，最大面积为． 18．（22-23九年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． (1)试写出的面积与之间的函数表达式； (2)当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大值是． 【分析】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出，的长是解题关键． （1）利用两点运动的速度表示出，的长，进而表示出的面积即可； （2）利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【解析】（1）由题意得：，， ； ； （2）， 当时，的面积最大，最大值是． 19．（23-24九年级上·江苏南通·期末）在边长为的正方形上，剪去四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（四个顶点正好重合于上底面的一点）；已知在上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设． (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积； (2)某广告商要求包装盒表面（不含下底面）面积最大，试问应取何值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，将实际问题转化成函数问题是解答本题的关键． （1）根据已知得出这个正方体的底面边长，，再利用，求出即可得出这个包装盒的体积； （2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可． 【解析】（1）根据题意，设，折成的包装盒恰好是个正方体， ∴这个正方体的底面边长，则， ∴， 正方形纸片边长为， ， 解得：， 则正方体的底面边长， ； 答：这个包装盒的体积是； （2）设包装盒的底面边长为，高为，则，， ∴表面积， ， 当时，取得最大值． 题型8：二次函数的代数应用（含参型） 20．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)该函数图象必过两个定点，它们的坐标分别为 、 ； (3)当时，，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或． 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可解决问题． （2）函数图象过定点，即表示与的取值无关，据此即可解决问题． （3）利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【解析】（1）证明：由题知， ， 因为， 所以， 故该函数的图象与轴总有两个公共点； （2）解：因为， 又因为函数图象必过两个定点， 即与的取值无关， 所以， 解得或4， 所以定点的坐标为和． 故答案为：，； （3）解：因为抛物线过定点和， 若，时， 此时抛物线都在轴下方，满足． 若，时， 当时的函数值小于4， 即， 解得， 所以． 综上所述，或． 21．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图像经过，两点． (1)求b的值； (2)求证该二次函数的图像与x轴的总有两个公共点； (3)设该函数图像与x轴的两个公共点分别为、．当时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查二次函数的性质，包括解析式的求解，根与系数的关系，与轴的交点，以及图形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键， 【解析】（1）解：将点，代入二次函数中，得 两式相减得， ∴． （2）将点，代入二次函数中，得， 将代入方程中，得， ∴ ∴ ∴恒成立， ∴二次函数的图象与轴总有两个公共点． （3）由题得是方程的两个根， ∴根与系数的关系， ∴， 当时，，则，得， 当时，，则，得， 综上所述：的取值范围为：或． 题型9：相似三角形的判定与性质 22．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使． (1)说明． (2)，，求线段AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2）由相似得比例，即可求出的长． 【解析】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 23．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，过点作，交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握利用两组对应角相等的三角形是相似三角形是解题的关键． （1）利用平行线的性质推导，，从而得证； （2）利用推导，再证明推导从而得证． 【解析】（1），， ，， ； （2）， ， ，且， ， ， ． 24．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，，D是线段上一点． (1)求证； (2)求证． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，，再由等量代换得出，然后利用相似三角形的判定即可证明； （2）根据相似三角形得性质得出，，再由等量代换及邻补角即可证明． 【解析】（1）证明：∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 25．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形中，点E，F在边上，连接，. (1)求证； (2)若，，，则 . 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）根据得，结合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”可证； （2）证即可求解； 【解析】（1）证明：∵ ∴ 即： ∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则 故答案为： 26．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的边和为腰向外作等腰直角和等腰直角，连接． (1)求证：； (2)直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质． （）利用等腰直角三角形的性质证明； （）依据所得条件，证明，通过相似三角形的性质即可求解； 【解析】（1）∵，是等腰直角三角形， ∴ ，， ∴ ； （2）由（）得：， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴． 27．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，和均是等腰直角三角形，，点E在线段上，相交于点F，连接，作，垂足为点H，交于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质得，进而可得；根据即可求证； （2）根据勾股定理可求出，即可得，根据即可求解． 【解析】（1）证明：∵和均是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵于点H， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 题型10：相似三角形在特殊平行四边形的应用 28．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）在边长为1的正方形中，点E在边上（不与点A、D重合），射线与射线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质： （1）证明，可得，即可求证； （2）证明，可得，即可求解． 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，     ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 29．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． (1)求证； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质和相似三角形的判定和性质的综合应用．熟练掌握菱形和相似三角形的性质及判定是解题关键． （1）根据菱形的性质和直角三角形相似的判定方法即可证出结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例求出结果． 【解析】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， 于点F， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 30．（22-23九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，交于点G．    (1)若，求证； (2)若E，F分别是，的中点，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据矩形的性质证明，通过三角形内角和定理即解得． （2）作，证明，根据形似比求得，再证明，即可解得． 【解析】（1）∵在矩形中， ，． ∴． ∴． ∵． ∴， ∴． 即． （2）作， ∵， ∴ ∴， 又∵E是的中点， ∴， ∴， 又∵F是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：4．    【点睛】此题考查了三角相似，解题的关键熟悉三角形相似的证明及相似比的应用． 31．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，正方形的边长为4，点为上的动点，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)四边形的面积能否为，若能，求出此时的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)不能；理由见解析 【分析】（1）要证，就需找出两组对应相等的角，已知两个三角形中一组对应角为直角，而和都是的余角，因此这两个角也相等，据此可得出两三角形相似； （2）由，根据相似三角形的对应边成比例，可表示出的长，又由梯形面积为，列出方程即可解决问题； 【解析】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）解：正方形边长为4， 设， ， ， ， ， ， 梯形面积为， ， 整理得：， △， 梯形的面积不能为． 【点睛】本题考查相似综合题、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程，根据相似三角形得出与所求的条件相关的线段成比例是解题的关键． 题型11：相似三角形有关作图题 32．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在方格纸中，线段的端点都是格点．画出它的一个三等分点M． 要求：①用两种不同方法画图；②画图工具仅限无刻度直尺． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图、相似三角形的判定和性质．根据相似三角形的判定和性质，即可求解． 【解析】解：如图，点M即为所求． 方法一： 方法二： 方法三： 方法四： 33．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）小明同学在学习过《对称图形---圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成． 问题背景：已知点是四边形中边上一点，请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点. 问题1.如图，，； 问题2.如图，，； 问题3.如图，，． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接交于，连接，于是得到； （2）作的垂直平分线交于，以点为圆心，为半径作圆，交于点，于是得到； （3）作的垂直平分线，过点作的垂线交于点，以为顶点，为角的一条边，作，交的垂直平分线于一点，以为圆心，以为半径作圆，与的交点即为所求作的点． 【解析】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，即为所求． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了尺规作图，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键． 题型12：图形的位似 34．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中就是格点三角形，请建立平面直角坐标系，使点A的坐标为． (1)把以点O为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△A1B1C1（与在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是，，）； (2)利用本题方格纸标出外接圆的圆心P，P点坐标是 ； (3)在（2）中的条件下，中劣弧的长度为 ． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，； (3)． 【分析】本题考查了作图-位似变换、弧长公式、外心的概念：解集此题的关键是清楚位似的概念以及外心的概念． （1）把点、、的横纵坐标分别乘得到点，，的坐标，然后依次连接各点即可； （2）利用网格特点可知，为等腰直角三角形，则为外接圆的直径，其中点为圆心，即可求解； （3）由（1）知，利用圆周角定理得到，然后利用弧长公式计算劣弧的长度． 【解析】（1）解：如图，为所求； （2）如图，点为所作， 由图可知，，， 则， ∴为等腰直角三角形，则为外接圆的直径，其中点为圆心， 由图可知，， 故答案为：； （3）由（1）可知，，， ∴劣弧的长度． 35．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为、、（正方形网格图中每个小正方形边长为1个单位长度） (1)以原点为位似中心，在第四象限画出，使得与位似且位似比； (2)面积等于______． (3)若内有一点，则位似后的对应点坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以得到点的坐标，然后描点、连线即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）把点的横纵坐标都乘以即可得到点的坐标． 【解析】（1）解：∵、、， ∴、、， ∴如图所示， （2）解：面积； （3）解：∵点， ∴点坐标是． 故答案为：． 题型13：相似三角形在圆中的应用 36．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的内接三角形，为的直径，点D在的延长线上，连接，满足． (1)证明：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】（1）本题考查切线的判定，证明即可； （2）本题考查圆和相似三角形的相关知识，通过证明，根据相似边成比例和勾股定理建立方程，解方程求出的值，再根据勾股定理求出直径，即可求得答案． 【解析】（1）解：∵为的直径， ∴，    ∴， ∵， ∴，    ∴，即， 又为半径， ∴为的切线． （2）解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 解方程得：，（舍去）， ∴， ∴ ∴ ∴的半径为． 37．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的内接三角形，是的中点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据是的中点，得出，得出，又因为即可得出结论． （2）由（1）得出对应线段成比例得出，已知，得出，所以即可得出结论． 【解析】（1）∵是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 38．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，直径与弦互相垂直，垂足为E，以为邻边作矩形，其对角线的延长线交于点G．    (1)求证． (2)若，， ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②的半径为 【分析】（1）连接，设与交于点H．根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论； （2）①证明，则，由垂径定理得到．可得到．即可得到答案； ②先求出．证明．利用相似三角形的性质即可得到．则，即可得到答案； 【解析】（1）证明：连接，设与交于点H．    ∵四边形是矩形， ∴，，，． ∴，． ∴． 又在中，， ∴． （2）①解：∵，， ∴． ∴． ∵在中，直径， ∴． ∴． ∴． ②解：∵， ∴． 又， ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴， 即的半径为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质并数形结合是解题的关键． 题型14：相似三角形的实际应用 39．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为，已知此时高的竹竿在水平地面上的影子长，那么这棵大树高度是多少？ 【答案】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在院墙的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【解析】解：如图所示，过作于， 则，． 同一时刻物高和影长成正比， ， ， ， 答：这棵大树高为． 【点睛】考查了相似三角形的应用，注意；影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据：同一时刻物高与影长成比例进行计算． 40．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）瑞光塔是位于苏州盘门内的一座宋代古塔，被评为全国重点文物保护单位，,具有很强的历史文化价值．立达数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据计算真身宝塔的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，，则，，证明，则，即，可求，同理，则，即，可求，由，可得，计算求解即可． 【解析】解：由题意知，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴真身宝塔的高度为米． 题型15：相似三角形有关的动点问题 41．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动． (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？ (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？ (3)几秒钟后，与相似？ 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3)或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设x秒后，的面积为，表示出，，，根据三角形面积公式表示出的面积，令其等于即可求解； （2）由勾股定理得：，即可求解； （3）根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【解析】（1）解：设经过秒以后，面积为（） 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）． （2）解：设经过秒后，的长度等于， 由，得， 解得：（舍去），． 答：2秒后，的长度为． （3）解：当时， 即，解得 当时， ， 即， 解得， 或． 42．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，点P、Q同时出发，运动时间为秒，是的外接圆．    (1)当时，的半径是 ，与直线的位置关系是 ； (2)在点P从点A向点B运动过程中，当与直线相切时，求的t值； (3)连接，交于点N，如图，当时，求t的值． 【答案】(1)，相离 (2) (3) 【分析】（）过点作于，交于，由得到的直径是，求出即可得到的半径，证明得到，进而得到，即可判断与直线的位置关系； （）当与相切时，设切点为，连接并延长交于，根据得到方程，解方程即可求解； （）过作，交的延长线于点，连接，证明，得到，由得到方程，解方程即可求解． 【解析】（1）解：如图，过点作于，交于，    ∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离， 故答案为：，相离； （2）解：如图，当与相切时，设切点为，连接并延长交于，则，，，    ∵，， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直线和圆的位置关系，勾股定理、中位线的判定和性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$