专题01 空间向量及其运算（思维导图+知识串讲+八大题型+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

专题01 空间向量及其运算 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点06：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点09：空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 考点剖析 【题型一：空间向量线性运算】 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 6．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 7．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【题型二：向量共面与四点共面】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川广安·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型三：用基底表示向量】 一、单选题 1．（23-24高二上·天津·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 6．（24-25高二上·山东·期中）在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角】 一、单选题 1．（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 2．（24-25高二上·重庆江北·期中）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高二上·天津·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【题型五：空间直角坐标系】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知为在坐标平面Oyz内的射影，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）若点关于平面和轴对称的点分别为，，则（   ） A． B． C．1 D．9 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，点，点，则（    ） A． B． C．6 D．11 6．（24-25高二上·北京丰台·期中）在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（    ） A． B． C．2 D． 7．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，已知.动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止.它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【题型六：空间向量的平行、垂直运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高二上·天津西青·期中）已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．8 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间向量，，其中，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【题型七：坐标法中数量积、模长、夹角的运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知向量，，，则（    ） A．12 B．-12 C．9 D．-9 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间中三点，则（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．与夹角的正弦值是 3．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京通州·期中）若向量，，满足条件，则（   ） A． B． C．0 D．2 5．（24-25高二上·四川成都·期中）设x，，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 6．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型八：空间向量的投影向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州·期中）已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江·期中）在斜三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 3．（24-25高二上·湖北·期中）已知空间向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽·期中）已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·安徽·期中）已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 9．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·山东淄博·期中）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 12．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 二、多选题 15．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知向量，，，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 17．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．无最大值 18．（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，则下列命题中，正确的是（   ） A．向量与的夹角为 B．以为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则之间的夹角为锐角 D．若，则之间的夹角为锐角 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 考点要求 （1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. （2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2、数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 6、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 知识点05：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点06：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 ①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． ②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点07：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 3、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 4、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点08：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 ①空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． ②空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 知识点09：空间向量运算的坐标表示 1、设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 2、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 3、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 4、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 5、两点间的距离公式 已知，则 6、中点坐标公式 设点为，的中点，则. 考点剖析 【题型一：空间向量线性运算】 一、单选题 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 2．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 3．（24-25高二上·辽宁·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C 4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算得到结果. 【详解】. 故选：B. 5．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 6．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 7．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 8．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 【题型二：向量共面与四点共面】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的结论运算求解即可. 【详解】因为，且四点共面， 则，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【详解】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 3．（24-25高二上·四川广安·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由空间向量的基本定理求解即可； 【详解】由题意可得， 因为四点共面，所以存在实数使得， 即， 所以，解得， 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【详解】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 5．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量共面的性质逐项判断即可； 【详解】对于A，，所以三向量共面，故A错误； 对于B，，所以三向量共面，故B错误； 对于C，，所以三向量共面，故C错误； 对于D，假设共面，则，即， 所以，不符合题意，所以假设不成立，故D正确； 故选：D. 6．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把A到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点A到平面的距离， 因为点A是的中点，则点A到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 【题型三：用基底表示向量】 一、单选题 1．（23-24高二上·天津·期中）如图，在平行六面体中，为的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案. 【详解】由题意可得 ， 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间基底的概念逐个判断即可. 【详解】对于，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成基底，故A错误； 对于B，因为为空间的一个基底，所以这三个向量不共面，若不构成一个基底， 则有，即，所以向量，，是共面向量， 这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一个基底，故B正确； 对于C，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故C错误； 对于D，因为，所以向量，，是共面向量，因此这三个向量不能构成一个基底，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东中山·阶段练习）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，并延长交于点，连接，再根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】连接，并延长交于点，连接， 则为的中点，且， . 故选：C. 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）若是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设， 又， ，解得， 即. 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D. 5．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点,且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选:A. 6．（24-25高二上·山东·期中）在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于基向量、、的表达式 【详解】连接，因为为的重心，则，如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 所以， . 故选：D. 【题型四：空间向量基本定理求数量积、模长、夹角】 一、单选题 1．（24-25高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 2．（24-25高二上·重庆江北·期中）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理将与用基底表示出来，然后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由条件可知，， ， ， ， ，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A 3．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】基底法结合数量积的运算律和正方体的性质即可求解. 【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点， 则，， 所以. 故选：A.    4．（24-25高二上·天津·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解． 【详解】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 5．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故， 解得.即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故选：C. 【题型五：空间直角坐标系】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间直角坐标系中点坐标公式求解即得. 【详解】依题意，点，则线段的中点坐标是. 故选：B 2．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知为在坐标平面Oyz内的射影，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求得的坐标，利用两点间的距离即可求解. 【详解】因为，所以在坐标平面Oyz内的射影的坐标为， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算求解即可； 【详解】由题意可得，， ∴，， ∴． 故选：C. 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）若点关于平面和轴对称的点分别为，，则（   ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【分析】点关于面坐标平面对称则对应的坐标不变坐标变为相反数，点关于坐标轴轴对称则对应的坐标不变，变为相反数，得出点坐标，知道的值，再求和即可. 【详解】点关于平面对称的点为， 关于轴对称的点为， 所以，，故． 故选：A． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）在以为原点，为单位正交基底的空间直角坐标系中，点，点，则（    ） A． B． C．6 D．11 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标表示，列式求出即可得解. 【详解】依题意，，， ， 则，解得，所以. 故选：A 6．（24-25高二上·北京丰台·期中）在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，确定点O，P的坐标，利用空间两点间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1， 不妨设该顶点为D，以D点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则，根据正方体的对称性，可取， 故. 故选：D 7．（24-25高二上·广东江门·阶段练习）已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量共线设求出点坐标，进而表示出，，再利用向量的数量积和二次函数知识解答即可； 【详解】因点Q在直线上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为， 故选：D. 8．（24-25高二上·四川成都·期中）如图，在长方体中，已知.动点P从出发，在棱上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止.它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设运动时间为且，构建如图示空间直角坐标系，令，到面的距离恒为1且在面上的射影为，根据线面角定义求正切值. 【详解】设运动时间为，且，构建如图示空间直角坐标系，不妨令，    显然到面的距离恒为1，且在面上的射影为， 则，则， 所以. 故选：D 【题型六：空间向量的平行、垂直运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知，，且，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先求出，，再由空间向量平行关系解出即可. 【详解】由题意：，， ，则存在非零实数，使得， ，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·天津西青·期中）已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 3．（24-25高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间向量，，其中，若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量垂直得到，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】因为空间向量，，且， 所以，即. 因为， 所以，即， 当且仅当，即时取等号. 所以的最大值是. 故选：D 5．（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 【题型七：坐标法中数量积、模长、夹角的运算】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东茂名·期中）已知向量，，，则（    ） A．12 B．-12 C．9 D．-9 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算坐标公式和数量积坐标运算公式计算即得. 【详解】由题意，， 则. 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知空间中三点，则（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．与夹角的正弦值是 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，由题可得， 所以不存在实数，使得，A错误； 对于B，因为，故与同向的单位向量为，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 则，D错误. 故选：C. 3．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则，， 所以，. 故选：B. 4．（24-25高二上·北京通州·期中）若向量，，满足条件，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量减法和数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以， 又， 即， 即，解得. 故选：D. 5．（24-25高二上·四川成都·期中）设x，，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量垂直和平行满足的坐标关系可得即可根据模长公式求解. 【详解】由，可得，且， 解得故则， 故选：B 6．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【详解】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 7．（22-23高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 【题型八：空间向量的投影向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州·期中）已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】, 所以在上的投影向量为. 故选：D 2．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 3．（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 4．（23-24高二上·广东·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用空间向量基本定理及投影向量的定义求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1，，，，则，， ∵，， ∴， ∴向量在向量上的投影向量是. 故选：D． 5．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 过关检测 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江·期中）在斜三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量的线性运算即可解. 【详解】三棱柱中，. 故选：C. 2．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【分析】根据四点共面、三点共线的知识求得正确答案. 【详解】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 3．（24-25高二上·湖北·期中）已知空间向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直，数量积为0求参数的值. 【详解】因为，且， 所以. 故选：C 4．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，则在方向上的投影向量的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量模的意义求解即得. 【详解】由，得， ， 所以在方向上的投影向量的模为. 故选：B 5．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用空间向量的基底概念判断选项即可. 【详解】，A错误. 设，不共面，所以不存在使其成立，故三个向量不共面，B正确. 错误. 错误. 故选:B 6．（24-25高二上·江苏无锡·期中）在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上靠近的三等分点，若记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作图，结合图中的几何性质，利用空间向量的线性运算，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由为上靠近的三等分点，则， . 故选：B. 7．（24-25高二上·安徽·期中）已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】如图所示，设， 由题意知，且三向量两两夹角均为， ， ． 故选：B. 8．（24-25高二上·安徽·期中）已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据共面向量定理结合题意设，然后将向量的坐标代入列方程可求得结果. 【详解】由题意得，，即， 所以，解得. 故选：D. 9．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得出，再结合，，，可得出关于基底的表达式，即可得解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 10．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 11．（24-25高二上·山东淄博·期中）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且， 所以 ， 所以， 故选：D. 12．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，其中、，利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】因为、、为三个不共面的空间向量， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，，解得. 故选：C. 13．（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】变形，结合图形得到当与重合时取值最小值，求出答案. 【详解】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 14．（24-25高二上·重庆·期中）已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果. 【详解】 因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上， 且， 所以， 即的最小值为. 故选：D 二、多选题 15．（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据空间向量坐标表示得线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，由，， 得， 所以，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， 则，故D错误. 故选：BC. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知向量，，，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】BC 【分析】先应用空间向量线性运算得出，再根据空间向量模长公式计算即可求参. 【详解】，，． ，． ，解得或． 故选：BC. 17．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．无最大值 【答案】BCD 【分析】由向量共线对应坐标成比例可得A错误；由数量积为零可得B正确；由向量的模长和二次函数关系可得CD正确； 【详解】若，则，解得，故A错误； 若，则，，则，则，故B正确； ，所以最小值为，故C正确； 由C可得无最大值，故D正确； 故选：BCD. 18．（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，则下列命题中，正确的是（   ） A．向量与的夹角为 B．以为邻边的平行四边形的面积是 C．若，则之间的夹角为锐角 D．若，则之间的夹角为锐角 【答案】BD 【分析】对于A：根据空间向量的坐标运算求夹角即可；对于B：根据选项A求面积即可；对于C：举反例即可；对于D：结合数量积的符号分析判断即可. 【详解】对于A:， 则， 且，所以，故A错误； 对于B：由A可知：， 所以以为邻边的平行四边形的面积，故B正确； 对于C，若共线，则，解得， 当时，则， 可知反向，其夹角不是锐角，故C错误； 对于D，若，则， 由选项C可知：方向不会相同，故其夹角为锐角，故D正确. 故选：BD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$