专题01 空间向量的运算及坐标表示（10大题型+思维导图+知识清单+课后提升练）（寒假复习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

专题01 空间向量的运算及坐标表示 【人教A版】 【知识清单1 空间向量的概念】 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【知识清单2 空间向量的线性运算】 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【知识清单3 共线向量定理与共面向量定理】 1．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【知识清单4 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【知识清单5 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 【知识清单6 空间向量的正交分解】 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【知识清单7 用空间向量基本定理解决相关问题】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【知识点8 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【知识点9 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【知识点10 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题】 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【变式1.1】（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【变式1.2】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【变式1.3】（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列命题中，假命题是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【题型2 空间向量的线性运算】 【例2】（25-26高二上·河南新乡·月考）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（25-26高二上·河南周口·月考）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2.2】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.3】（25-26高二上·湖北武汉·月考）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 空间向量共线、共面的判定及应用】 【例3】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ）. A． B．1 C． D．6 【变式3.2】（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3.3】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【题型4 求空间向量的数量积及其最值】 【例4】（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【变式4-1】（25-26高二上·山西临汾·月考）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式4-2】（25-26高二上·广东汕头·月考）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【变式4-3】（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 空间向量数量积的应用】 【例5】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式5-1】（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 【变式5-3】（25-26高二上·宁夏银川·月考）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【题型6 空间向量基底概念及辨析】 【例6】（25-26高二上·河南信阳·期中）下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式6-3】（25-26高二上·广西南宁·月考）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 空间向量基本定理及其应用】 【例7】（25-26高二上·广东揭阳·月考）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【题型8 空间向量运算的坐标表示】 【例8】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8.1】（25-26高二上·山东·期中）在平行六面体中，已知点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【变式8.3】（25-26高二上·广东韶关·期中）已知空间向量，，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型9 用坐标法求解平行、垂直问题】 【例9】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 【变式9-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【变式9-3】（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【题型10 空间向量的模长、夹角的坐标表示】 【例10】（25-26高二上·辽宁·期末）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【变式10-1】（25-26高二上·吉林·期中）已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二上·河南平顶山·月考）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【变式10-3】（25-26高二上·吉林长春·月考）已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南新乡·月考）如图，空间四边形OABC中，，，，D是棱BC的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，若三个向量共面，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 5．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·四川成都·月考）设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 7．（25-26高二上·青海·月考）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26高二上·四川达州·期中）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西渭南·期中）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 10．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 11．（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且 ，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西延安·月考）已知向量，，且，则 ． 13．（25-26高二上·青海·月考）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则 .    14．（25-26高二上·山西·月考）如图，在三棱锥中，，则 ． 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·期末）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 16．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 17．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 18．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 19．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算及坐标表示 【人教A版】 【知识清单1 空间向量的概念】 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【知识清单2 空间向量的线性运算】 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【知识清单3 共线向量定理与共面向量定理】 1．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. (3)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 2．共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)共面向量定理的用途： ①证明四点共面； ②证明线面平行. 【常用结论】 1.三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2.四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【知识清单4 空间向量的夹角与数量积】 1．空间向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． (2)范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质 ①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 3．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 4．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 5．空间向量数量积的应用 (1)利用公式和，可以解决空间中有关距离或长度的问题； (2)利用公式＝可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题. 【知识清单5 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合 相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含 有，不能含有其他形式的向量． 【知识清单6 空间向量的正交分解】 1．空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． (2)向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【知识清单7 用空间向量基本定理解决相关问题】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【知识点8 空间直角坐标系】 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【注】：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【知识点9 空间向量的坐标运算】 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【知识点10 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题】 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【题型1 空间向量的有关概念】 【例1】（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【解题思路】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【解答过程】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C. 【变式1.1】（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 【变式1.2】（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【解题思路】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【解答过程】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 【变式1.3】（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列命题中，假命题是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【解题思路】根据向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】选项A：由空间向量的定义知，空间向量具有大小和方向， 所以任意两个空间向量不能比较大小，故A为真命题； 选项B：两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立， 两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故B为真命题； 选项C：长度为0的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于0，故C为真命题； 选项D：共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题； 故选：D. 【题型2 空间向量的线性运算】 【例2】（25-26高二上·河南新乡·月考）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量线性运算计算即可. 【解答过程】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 【变式2.1】（25-26高二上·河南周口·月考）已知四棱锥底面是平行四边形，且，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合空间向量的线性运算计算即可求解． 【解答过程】因为是平行四边形，且， 则 ．显然A正确. 故选：A． 【变式2.2】（25-26高二上·广东东莞·期中）如图，已知平行六面体，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【解答过程】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 【变式2.3】（25-26高二上·湖北武汉·月考）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的线性运算即可求解. 【解答过程】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 【题型3 空间向量共线、共面的判定及应用】 【例3】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【解答过程】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 【变式3.1】（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ）. A． B．1 C． D．6 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用向量的共面定理及推论，得到，即可求解. 【解答过程】由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即， 可得， 因为，即， 所以，解得. 故选：C. 【变式3.2】（25-26高二上·天津武清·月考）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【变式3.3】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【解答过程】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 【题型4 求空间向量的数量积及其最值】 【例4】（25-26高二上·湖南·月考）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【解题思路】根据正方体的性质，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【解答过程】在棱长为2的正方体中， 易知， 因为与的夹角为， 所以与的夹角为 . 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二上·山西临汾·月考）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【解答过程】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·广东汕头·月考）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【答案】C 【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【解答过程】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，，由空间向量的线性运算和数量积运算计算， 再由正方体的性质求得的范围即可求解. 【解答过程】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径， 所以，，， 因为 ， 又因为点是正方体表面上的一个动点， 所以当为正方体顶点时，有最大值为； 当为内切球与正方体的切点时，有最小值为， 即，，所以， 故选：B. 【题型5 空间向量数量积的应用】 【例5】（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 【变式5-1】（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【解答过程】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, . (1)求; (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】利用空间向量的数量积公式计算即可. 【解答过程】（1）由已知可得， 所以； （2）由， 所以和夹角的余弦值为. 【变式5-3】（25-26高二上·宁夏银川·月考）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【解答过程】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 【题型6 空间向量基底概念及辨析】 【例6】（25-26高二上·河南信阳·期中）下列可使非零向量，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间基底的定义及空间向量共面定量一一判断即可. 【解答过程】由空间基底的定义可知只有非零向量不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A：因为，所以非零向量、、共面，故不能作为一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以、、， 所以非零向量、、不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C：令、、，满足， 但是，所以、、共面，故不能作为一组基底，故C错误； 对于D：因为，所以，所以、、共面，故不能作为一组基底，故D错误； 故选：B. 【变式6-1】（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【解答过程】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，若三向量不能构成空间向量的一组基底，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解题思路】根据空间向量共面求解即可. 【解答过程】若三向量不能构成空间向量的一组基底，则共面， 即存在唯一一组实数，使得， 可得，解得， 故选：A. 【变式6-3】（25-26高二上·广西南宁·月考）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【解答过程】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以为共面向量， 所以不能作为基底，故A错误； 选项B，若共面， 则存在实数使得， 因为不共面，所以，解得， 所以存在实数使得， 即共面，所以不能作为基底，故B错误； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以共面， 所以不能作为基底，故C错误； 选项D，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量， 所以能作为基底，故D正确. 故选：D. 【题型7 空间向量基本定理及其应用】 【例7】（25-26高二上·广东揭阳·月考）如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间向量基本定理得到答案. 【解答过程】，为中点， 故. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【解答过程】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 故选：B. 【变式7-2】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解即可. 【解答过程】如图，连接， 是的中点， ， ， ， ． 故选：B． 【变式7-3】（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的基本定理将用、、表示出来，可得出、、的值，即可得解. 【解答过程】连接，如下图所示：    因为为的中点，所以， 因为点在上，且，则， 所以， 易知、、不共面，故，，所以. 故选：A. 【题型8 空间向量运算的坐标表示】 【例8】（25-26高二上·山东济宁·期中）已知点，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】利用空间向量数量积的坐标运算即可. 【解答过程】由点，，，可得， 所以， 故选:D. 【变式8.1】（25-26高二上·山东·期中）在平行六面体中，已知点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据向量的线性运算法则，可得，代入坐标，即可得答案. 【解答过程】由题意 所以. 故选：A. 【变式8.2】（25-26高二上·广西来宾·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．7 B． C．9 D． 【答案】B 【解题思路】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【解答过程】因为，，， 所以，则. 故选：B. 【变式8.3】（25-26高二上·广东韶关·期中）已知空间向量，，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量坐标的线性运算可判断AB，根据数量积的坐标运算可判断CD. 【解答过程】因为，， 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C错误，D正确. 故选:D. 【题型9 用坐标法求解平行、垂直问题】 【例9】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【解答过程】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 【变式9-1】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知向量，，.若向量，则实数的值是（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】根据向量加法的坐标运算求出，利用向量平行的性质建立等式求解. 【解答过程】. 因为，所以存在实数，使得，即. 所以，解得. 故选：A. 【变式9-2】（24-25高二上·广东深圳·期中）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【解答过程】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 【变式9-3】（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【解答过程】（1）由，得； （2）由（1）得，而 ， 因此，所以； （3）由（1）知，， 由，得 ， 所以. 【题型10 空间向量的模长、夹角的坐标表示】 【例10】（25-26高二上·辽宁·期末）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【解答过程】由，∥，得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 【变式10-1】（25-26高二上·吉林·期中）已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【解答过程】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 【变式10-2】（24-25高二上·河南平顶山·月考）已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【解答过程】（1），， ，， . （2）设与的夹角为，则，     ，，     ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 【变式10-3】（25-26高二上·吉林长春·月考）已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量数量积的定义及坐标表示，求出向量的模和向量的数量积，进而求出向量夹角的余弦值. （2）根据向量减法的坐标表示，和向量模的坐标表示，再根据二次函数最值情况，求出结果即可. 【解答过程】（1）由题意得， 则. （2）由题意得， 则， ，则，当时取等号， 即时，取得最小值. 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】应用向量线性关系的坐标运算求. 【解答过程】由，则，所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·河南新乡·月考）如图，空间四边形OABC中，，，，D是棱BC的中点，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算法则，计算化简，即可得答案. 【解答过程】 ． 故选：D. 3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，若三个向量共面，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用空间向量共面定理求解即可. 【解答过程】因为，且三向量共面，可知存在，使得， 即，则，解得. 故选：B. 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【解答过程】因为， 所以,， 则,所以, 故选：B. 5．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 6．（25-26高二上·四川成都·月考）设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的垂直和平行关系得到方程，求出，求得，利用坐标求其模即可. 【解答过程】由⊥，可得，解得， ，故可设，即， 则，解得，即， 则， 故. 故选：B. 7．（25-26高二上·青海·月考）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，与不能构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据空间基底的判定条件，逐一判断已知向量是否与选项中的向量共面，从而确定是否构成空间基底． 【解答过程】假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故A错误； ， 与共面，不能构成空间的一个基底，故B正确； 假设， 则， 与矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故C错误； 假设， 则，，矛盾， 故与，不共面，可以构成空间的一个基底，故D错误． 故选：B． 8．（25-26高二上·四川达州·期中）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】借助平面向量线性运算及空间中四点共面性质可得，再利用基本不等式“1”的活用计算即可得解. 【解答过程】因为，则， 所以， ， 当且仅当“”即“”时取“”， 故的最小值为 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西渭南·期中）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 【答案】BD 【解题思路】A：根据直线可能平行或重合作出判断；B：由单位向量的模长均为作出判断；C：根据数量积小于，向量夹角为钝角或作出判断；D：根据空间向量的定义直接判断. 【解答过程】A：若空间向量共线，则向量所在直线平行或重合，故A错误； B：若与是空间单位向量，则，故B正确； C：若，则与的夹角为钝角或，故C错误； D：由空间中任意两个向量共面，可知D正确； 故选：BD. 10．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解题思路】根据向量的加法法则，计算即可判断A的正误；根据两向量平行的坐标关系，可判断B的正误；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C的正误；根据夹角为锐角，可得，且与不共线，根据数量积公式，分析计算，可判断D的正误. 【解答过程】选项A：由题意，解得，故A正确； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：在上的投影向量为， 所以，即， 判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得，由与不共线，得 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且 ，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【解题思路】以为一组基底，对于A：根据空间向量的线性运算求解即可；对于B：根据，利用数量积的运算即可求解；对于C：先求，利用向量的夹角公式即可判断；对于D：先求，再利用数量积的运算求得即可判断. 【解答过程】由题意可知：，，， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以长为，故B正确； 对于选项C：因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于选项D：因为， 且， 则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·陕西延安·月考）已知向量，，且，则 ． 【答案】1 【解题思路】根据向量共线的充要条件列方程组求解. 【解答过程】因为，，且， 所以存在实数，使得，即， 所以，解得，所以. 故答案为：1. 13．（25-26高二上·青海·月考）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则 .    【答案】 【解题思路】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【解答过程】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山西·月考）如图，在三棱锥中，，则 ． 【答案】 【解题思路】由空间向量数量积的定义和运算性质即可求解. 【解答过程】设，因为， 所以， 则． 所以，即． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·期末）已知平行六面体，化简下列向量表达式 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）结合图形，根据空间向量的线性运算依次化简求解即可. 【解答过程】（1）由题意得. （2）由题意得. （3）由题意得. 16．（25-26高二上·陕西汉中·月考）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）根据给定条件，求出的坐标，再利用空间向量夹角的坐标表示求解. （2）求出与的坐标，再利用空间向量垂直关系的坐标表示列式求解. 【解答过程】（1）由，得， 则，，， 因此，而， 则，所以与的夹角为. （2）依题意，，，由与互相垂直， 得，即， 所以. 17．（25-26高二上·浙江·期中）如图，已知四面体的所有棱长都等于2，分别是棱的中点.    (1)求与； (2)求的长. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用中位线定理得到和，再结合空间向量数量积的定义求解即可. （2）利用空间向量的线性运算得到，再结合空间向量数量积的定义求解即可. 【解答过程】（1）因为分别是棱的中点， 所以是的中位线，则， 得到， 同理可得，而四面体的所有棱长都等于2， 得到，故. （2）因为分别是棱的中点， 所以 ， 而， 同理可得， 可得 ，故. 18．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【解答过程】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 19．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $