专题01 反比例函数（考点清单，4个考点梳理+9种题型解读）（期末复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版

专题01 反比例函数 （4个考点梳理+9题型解读） 【清单01】反比例函数的定义 ①形如(k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数， 其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数． ②三种表达式： ； xy＝k; y＝kx－1 (k≠0)． 【清单02】反比例函数的图象和性质 ①反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. ②反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是原点. . . 【清单03】反比例函数比例系数 k 的几何意义 ①过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|. ②过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的 面积为常数 ． 【清单04】反比例函数与一次函数的综合应用 ①交点问题：求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组 成的方程组. ②图象问题：通过函数图象比较大小，图象在上方的函数值大. ③面积问题：求三角形或四边形面积时，利用割补法，选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 【考点题型一】反比例函数的定义 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）在下列函数中，是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数中，属于反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】利用反比例函数的概念求参数 【例2】（24-25九年级上·山东威海·期中）已知是反比例函数，则m的值为（   ） A．0 B． C．1 D．或1 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】若反比例函数的图像在第一、三象限内，则的值为 . 【变式2-3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知是反比例函数，则的值是 ． 【考点题型三】待定系数法求反比例函数的表达式 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【变式3-1】（24-25九年级上·江西宜春·期中）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时， (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）已知与成反比例函数关系，且当时，．求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知：，并且与成正比例，与x成反比例．当时，；时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，y的值是多少？ 【变式3-4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【考点题型四】反比例函数图象和性质 注意：判断反比例函数的增减性，要注意象限问题. 【例4】．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【变式4-1】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【变式4-2】（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．图象位于一、三象限 C．图象与坐标轴无交点 D．图象关于原点对称 【变式4-3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】反比例函数比例系数 k 的几何意义 【例5】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为1，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-4】（24-25九年级上·山东威海·期中）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】反比例函数与一次函数的图象问题 【例六】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24八年级下·四川内江·期中）已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，反比例函数与正比例函数的图象交于A（m，4），B两点，当时，x的取值范围是（    ） A．－2≤x＜0或x≥2 B．－2≤x＜0或x＞－2 C．x＜－2或x≥2 D．x≤－2或0≤x≤2 【考点题型七】反比例函数与一次函数的交点问题 【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求上述正比例函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，写出的取值范围． 【变式7-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【变式7-2】（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【变式7-3】（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【考点题型八】反比例函数与一次函数的综合问题 【例8】（2024·广东深圳·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知在轴上存在一点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 【考点题型九】反比例函数的实际应用 【例9】（24-25九年级上·山东济南·期中）为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，与成正比例，燃烧完后与成反比例．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过 后教室内的空气才能达到安全要求． 【变式9-1】（24-25九年级上·广西来宾·期中）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【变式9-2】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【变式9-3】学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升℃，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温℃与通电时间（min）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．水温从升高到，需要min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午9:30喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为min 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 反比例函数 （4个考点梳理+9题型解读） 【清单01】反比例函数的定义 ①形如(k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数， 其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数． ②三种表达式： ； xy＝k; y＝kx－1 (k≠0)． 【清单02】反比例函数的图象和性质 ①反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. ②反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是原点. . . 【清单03】反比例函数比例系数 k 的几何意义 ①过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|. ②过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的 面积为常数 ． 【清单04】反比例函数与一次函数的综合应用 ①交点问题：求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组 成的方程组. ②图象问题：通过函数图象比较大小，图象在上方的函数值大. ③面积问题：求三角形或四边形面积时，利用割补法，选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 【考点题型一】反比例函数的定义 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）在下列函数中，是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是关于的反比例函数，不符合题意； B、是关于的反比例函数，不符合题意； C、是关于的反比例函数，不符合题意； D、是关于的反比例函数，符合题意； 故选D． 【变式1-1】（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数中，属于反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的识别，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、是一次函数，不是反比例函数，不符合题意； D、是二次函数，不是反比例函数，不符合题意； 故选B． 【变式1-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，熟知形如（k为常数，）的函数叫反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； B、，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； C、，不符合（k为常数，）的形式，不是反比例函数，故选项符合题意； D、∵， ∴，符合（k为常数，）的形式，是反比例函数，故选项不符合题意； 故选：C 【考点题型二】利用反比例函数的概念求参数 【例2】（24-25九年级上·山东威海·期中）已知是反比例函数，则m的值为（   ） A．0 B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，是反比例函数的图象上两点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．将根据题意可得：，求出，即可求． 【详解】解：，是反比例函数的图象上两点， 或 解得：或或， ， ， ， 故选：C． 【变式2-2】若反比例函数的图像在第一、三象限内，则的值为 . 【答案】4 【分析】根据反比例函数的定义建立关于m的一元二次方程，再根据反比例函数的性质解答． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴m2-17=-1， 解得，m2=16， ∴m=±4， 当m=4时，2m-5＞0，图象位于一、三象限； 当m=-4时，2m-5＜0，图象位于二、四象限； ∴m=4. 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义和性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 【变式2-3】（2024九年级上·全国·专题练习）已知是反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据反比例函数的定义求参数的值，根据反比例反函数的定义，得到，且，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：，且， 解得：； 故答案为：． 【考点题型三】待定系数法求反比例函数的表达式 【例3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知与x成反比例，且当时，，求y与x的函数表达式． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据与x成反比例，设，代入当时，，求解即可． 【详解】解：设． 根据题意，得， 解得：， ∴， ∴y与x的函数表达式为． 【变式3-1】（24-25九年级上·江西宜春·期中）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时， (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．解决本题的关键把相应的点的坐标代入函数解析式中得到关于、的方程组，解方程组确定函数关系式． 根据正比例和反比例函数的定义设表达式分别为设，，根据可得，再利用待定系数法求、的值即可得出函数表达式； 将代入中所得的函数表达式求值即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， 根据题意可得：， 解得：， ； （2）解：当时， ． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西安康·阶段练习）已知与成反比例函数关系，且当时，．求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求反比例函数的函数值； （1）设，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系，且当时，． ∴设，则 ∴ ∴与之间的函数关系式为； （2）当时， 【变式3-3】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知：，并且与成正比例，与x成反比例．当时，；时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，y的值是多少？ 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）把代入解析式求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵与x成反比例， ∴设， ∵， ∴， ∵当时，；时，， ∴， 解得：， ∴y关于x的函数解析式是：， 即； （2）解：当时，． 【变式3-4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点在反比例函数上的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上的特征，根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 【考点题型四】反比例函数图象和性质 注意：判断反比例函数的增减性，要注意象限问题. 【例4】．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式4-1】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图反比例函数的图象经过点，若，则x的范围是（  ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】找到纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值即可． 本题考查的是给定函数的取值范围确定自变量的取值，可直接由函数图象得出． 【详解】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为； 在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为． 故选：C． 【变式4-2】（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．图象位于一、三象限 C．图象与坐标轴无交点 D．图象关于原点对称 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、反比例函数的，图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故原说法错误，符合题意； B、反比例函数的，图象分布在第一、三象限，故原说法正确，不符合题意； C、反比例函数中，图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点对称，正确，不符合题意． 故选：A． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知点都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可判断反比例函数经过的象限以及在每个象限内的增减性，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上，， ∴， 故选：A． 【考点题型五】反比例函数比例系数 k 的几何意义 【例5】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知函数的图象经过直角三角形的斜边的中点，且与直角边相交于点．若的坐标为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．根据中点求出点D坐标，得到反比例函数解析式，根据k值的几何意义解答即可． 【详解】解：∵D是的中点，且的坐标为， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 故选：C． 【变式5-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线与轴平行且与反比例函数与的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，连接、，得，进而根据反比例函数的几何意义，即可求解．解题的关键是掌握反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：如图所示，连接、，设交轴于点， ∵轴，且与反比例函数与的图象分别交于点和点， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，证明，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出x的值，即可求出k． 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键． 【变式5-3】（24-25九年级上·重庆九龙坡·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为1，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限求出k的值即可． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得，的面积， 即， 解得，， 由于函数图象位于第一、三象限， ∴， 故选：B． 【变式5-4】（24-25九年级上·山东威海·期中）双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点A作y轴的平行线交于点B．若，则的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了反比例系数k的几何意义，解答本题的关键是熟练掌握反比例系数k的几何意义：从反比例函数图象上一点向坐标轴作垂线段，再与这一点与原点的连线段与坐标轴围成的三角形的面积不变，均等于． 先根据反比例系数k的几何意义得到，，再结合从而得到结果． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点C ∵轴 ∴轴 设的解析式为 ∵点B在双曲线上 ∴ ∵点A在双曲线上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的解析式是． 故选：D． 【考点题型六】反比例函数与一次函数的图象问题 【例六】（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）正比例函数与反比例函数（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，正比例函数图象与性质．解题的关键是先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据正比例函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及正比例函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：当时， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，故A，C选项错误； 当，则， ∴反比例函数在二四象限，正比例函数经过一、三象限，故B选项正确，D选项错误， 故选：B． 【变式6-1】（23-24八年级下·四川内江·期中）已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于明确系数与函数图象的关系．当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限；当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限，进而得出答案． 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致， 故选：D． 【变式6-2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 【变式6-3】如图，反比例函数与正比例函数的图象交于A（m，4），B两点，当时，x的取值范围是（    ） A．－2≤x＜0或x≥2 B．－2≤x＜0或x＞－2 C．x＜－2或x≥2 D．x≤－2或0≤x≤2 【答案】A 【分析】将A坐标代入正比例函数y=-2x求出m的值，将A（-2，4）代入反比例解析式求k的值，根据A、B关于O点对称即可确定出B坐标，再根据图象和交点坐标找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时x的范围即可． 【详解】将A（m，4）代入正比例函数得：4=-2m， 解得m=-2， ∴A（-2，4）， ∵反比例函数的图象经过A（-2，4）， ∴k=-2×4=-8， 则反比例解析式为， ∵A、B关于O点对称 ∴B（2，-4）； 由图象得：当时，x的取值范围为-2≤x＜0或x≥2． 故选：A． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【考点题型七】反比例函数与一次函数的交点问题 【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，已知正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求上述正比例函数和反比例函数的解析式； (2)根据图像，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，写出的取值范围． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识，并数形结合． （1）分别代入和 中，求出、，即可求解； （2）根据图像求解即可． 【详解】（1）解：分别代入和 中， 得到：，， 解得：，， 正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）由图可知，在第一象限内，当反比例函数值大于正比例函数值时，． 【变式7-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 【变式7-2】（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【变式7-3】（2023·广西桂林·二模）如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解：点、关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 【考点题型八】反比例函数与一次函数的综合问题 【例8】（2024·广东深圳·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知． 【详解】过点A作于点E，于点F， ， ， 轴， ， ， 设，则，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， ． 【变式8-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知在轴上存在一点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定． 首先根据点在反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的解析式求出点的坐标，根据点、的坐标求出一次函数的解析式； 因为是直角三角形，所以如果以点，，为顶点的三角形与相似，则也是个直角三角形，所以要分两种情况，一种情况是过点作轴，此时；另一种情况是过点作交轴于点，此时． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 反比例函数的解析式是， 把点代入反比例函数的解析式， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 把点、代入一次函数中， 得到：，解得：， 一次函数的解析式是； （2）解：当时，可得：， 点的坐标是， 当时，可得， 解得：， 点的坐标是， ， 如下图所示，过点作轴，此时， 此时点的坐标为， 如下图所示，过点作交轴于点，此时， 点的坐标是，点的坐标是， ， 设点的坐标是，则， 则有， ， 解得：， 即， ， 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 【变式8-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)连接，，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数中的三角形面积问题，根据数形结合思想求解是解题的关键． （1）根据待定系数法求得反比例函数，再求得B点的坐标，最后再根据待定系数法求得一次函数； （2）根据，只需根据一次函数求得的长度，即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴，． ∴，， 则， 解得：， ∴一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． （2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C， 令，则，解得：， ∴点C的坐标为， ∴． 【考点题型九】反比例函数的实际应用 【例9】（24-25九年级上·山东济南·期中）为预防流感，某学校对教室进行“药熏消毒”．消毒期间，室内每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系如图所示．已知在药物燃烧阶段，与成正比例，燃烧完后与成反比例．现测得药物燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用．那么从消毒开始，经过 后教室内的空气才能达到安全要求． 【答案】40 【分析】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，设药物燃烧后与之间的解析式为，把点代入即可，把代入反比例函数解析式，求出相应的 ． 【详解】解：设药物燃烧后与之间的解析式为， 把点代入得， 解得：， ∴关于的函数关系式为：， 当时，由得：， 所以分钟后教室内的空气才能达到安全要求， 故答案为：． 【变式9-1】（24-25九年级上·广西来宾·期中）心理学家研究发现，一般情况下，一节课分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示（其中、分别为线段，为双曲线的一部分）： (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】(1)第分钟注意力更集中 (2)经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得和的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （2）分别求出注意力指数为时的两个时间，再将两时间之差和比较，大于则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：设线段所在的直线的解析式为， 把代入得，，解得， ． 设、所在双曲线的解析式为， 把代入得，， 当时，， 当时，，    答：第分钟注意力更集中． （2）令， ， 令， ， ， 答：经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【变式9-2】（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)反比例函数， (2)弹簧秤的示数为 (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为4N． （3）解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【变式9-3】学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升℃，加热到即停止加热，水温开始下降，此时水温℃与通电时间（min）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（    ）    A．水温从升高到，需要min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．早晨8点接通电源从开始加热，可以保证当天上午9:30喝到不超过的水 D．在单次加热—降温的过程中，水温不低于的时间为min 【答案】D 【分析】该题为反比例函数与一次函数的实际应用的典型题目-浓度、温度问题，先利用待定系数法求函数的解析式，再利用解析式求得对应信息． 【详解】A.∵开机加热时水温每分钟上升℃ ∴水温从升高到，需要的时间为min 故A选项不符合题意． B.由题意可得点在反比例函数的图象上 设反比例函数的解析式为 将点代入，可得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是 故B选项不符合题意． C.令，则 ∴ 即饮水机每经过min，要重新从开始加热一次 从8点至9点30分，经过的时间为min，min 而水温加热到，需要的时间为min 故9点30分时，饮水机第三次从开始加热了min， 令，则 即9点30分时，饮水机的水温为℃ 故C选项不符合题意． D.水温从升高到所需要的时间为min 令，则 解得 ∴水温不低于的时间为 min 故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，数形结合是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$