山东省德州市第一中学2024-2025学年高三上学期12月阶段性测试数学试题

1 高三年级 12 月份阶段性测试 数学试题 考试时间：120 分钟 命题人：王珏 王新 2024.12 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合  * 2 2 3 0A x x x    N ，则满足 B A 的非空集合 B 的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 2．已知 P是抛物线 2: 8C x y 上的一点，F 为C的焦点，若 11PF  ，则 P的纵坐标为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．已知平面向量    0,1 , 1,1a b    ，则向量 a  在向量 b  上的投影向量是（ ） A． 2 2, 2 2        B． 2 2, 2 2        C． 1 1, 2 2      D． 1 1, 2 2      4．已知函数    π πcos 0 3 4 f x x           的图像关于原点中心对称，则的最小值为（ ） A． 13 4 B． 9 4 C． 5 4 D． 1 4 5．若 z是方程 2 1 0x x   的一个虚数根，则 2z z （ ） A．0 B．-1 C． 3i D．-1 或 3i 6．已知直线 l： 1y kx k= + - 和曲线C： 2 2 2 2 0x y x y+ - - = 有公共点，则实数 k的取值范围为 （ ） A．[2 3,2 3]- + B．[ 3 2,1]- C． ]32,1[  D．  1,1 7．已知双曲线 C： 2 2 1 25 9 x y   的左右焦点分别是 1F ， 2F ，点 P 是 C 的右支上的一点（异于顶 点），过 2F 作 1 2FPF 的角平分线的垂线，垂足是 M，O 是原点，则 MO （ ） A．随 P 点变化而变化 B．5 C．4 D．2 8．已知定义在 R上的奇函数  f x 满足    2f x f x  ，当  1,1x  时，   3f x x ，若函数      2g x f x k x   的所有零点为  1, 2,3, ,ix i n  ，当 3 1 7 k  时，   n i ix 1 （ ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知数列 na 是首项为1，公比为3的等比数列，则（ ） A． 1n n a a      是等差数列 B． 1n na a  是等差数列 C． 3log na 是等比数列 D． 1n na a  是等比数列 10．已知 P 是双曲线 C： 2 2 1 4 x y m   上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线 PA，PB 的斜率分别为 1k ， 2k  1 2 0k k  ，若 1 2k k t  恒成立，且实数 t的最大值为 1，则下列说法正确的 是（ ） A．双曲线的方程为 2 2 1 4 x y  B．双曲线的离心率为 3 C．函数  log 1 5ay x    0, 1a a  的图象恒过双曲线 C 的一个焦点 D．设 1F ， 2F 分别是双曲线的左、右焦点，若 1 2PFF 的面积为 3，则 321   PFF 11．已知函数    sin cosf x x a x a  R 的图象关于直线 π 6 x   对称，则（ ） A．  f x 的最小正周期为2π B．  f x 在 π π, 3 3     上单调递增 C．  f x 的图象关于点 π ,0 3       对称 D．若    1 2 0f x f x  ，且  f x 在  1 2,x x 上无零点，则 1 2x x 的最小值为 2π 3 2 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。 12.已知甲： 1x  ，乙：关于 x的不等式  0 1 x a a x a      R ，若甲是乙的必要不充分条件， 则 a的取值范围是 . 13.已知正项数列 na 的前 n项积为 nT ，且满足    *3 1n n na T T n N   ，则 nT  . 14．已知等边 ABC 的边长为 3，P为 ABC 所在平面内的动点，且 | | 1PA   ，则 PB PC   的取 值范围是 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15. （13 分）过椭圆 1 416 22  yx 内一点 )1,1(M 的弦 AB (1) 若点M 恰为弦 AB的中点，求直线 AB的方程； (2) 求过点M 的弦的中点的轨迹方程。 16.（15 分）已知函数 ( ) ln ( ) xaef x x x a R x     ． （1）当 0a  时，求  f x 的单调区间； （2）当 1a  时，证明：   1f x e  17．（15 分）如图，长方形 ABCD纸片的长 AB为3 7 ，将矩形 ABCD沿折痕 ,EF GH 翻折， 使得 ,A B两点均落于DC边上的点 P，若 7,EG EPG   . (1)当sin2 sin   时，求长方形宽 AD的长度； (2)当 0, 2      时，求长方形宽 AD的最大值. 18.（17 分）已知椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的离心率 3 3 ，点  3, 2 在椭圆C上．A、 B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线 l交椭圆C于P、Q两点，满足 AP AQ ， AH PQ ， 垂足为H ． （1）求椭圆C的标准方程； （2）求 ABH△ 面积的最大值． 19．（17 分）模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测､种群数量变化和天体 运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用 nx 来表示系统在第  n n N 个时刻的状态值，且该系统 下一时刻的状态 1nx  满足  1n nx f x  ， 10 1x  ，其中   2f x ax ax   . (1)当 3a  时，若满足对 n  N ，有  1n nx f x  ，求 nx ； (2)当 1a  时，判断 nx 中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若 不存在，说明理由. (3)若 1 1 2 x  ， 1a  ，记 2 2 1n n nT x x  ，证明： 1 2 3 1 6n T T T T    