2024-2025学年湘教版九年级数学上册期末综合测试（一）

2024年下期九年级数学期末综合测试（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如果反比例函数的图象满足当时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．某校对八年级300 名学生就“分组合作学习”方式的支持程度进行了调查，随机抽取了若干名学生进行调查，并制作统计图，据此统计图估计该校八年级支持“分组合作学习”方式的学生（含非常喜欢和喜欢两种情况）约为（     ） A．180名 B．210 名 C．240 名 D．270名 3．用配方法解方程时，配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知是一个平面镜，光线从点射出经上的点反射后照射到点，设入射角为，，垂足分别为点．若12，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的顶点坐标为 C．该函数有最小值，最小值为3 D．当，y随x的增大而减小 6．如图，在中，是角平分线，的交点，若，，则的值是(　　) A． B． C． D． 7．如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（   ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点B的坐标为 D． 8．若点，，在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图平行四边形中，F为中点，延长至E，使，连接交于点G，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，，是的边的三等分点，点是的中点，交于点，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，则 ． 12．如图，已知直线，直线与直线分别交于点，直线与直线、、分别交于．若，则 ． 13．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为 ． 14．如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点、、都在格点上，则的值为 ． 15．若等腰△两边的长分别是一元二次方程的两个解，则等腰△的周长为 ． 16．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 17．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交边于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P；③作射线交边于点D．若，则 ． 18．如图，的边与反比例函数 的图象分别相交于点 A，C，连接，若，且的面积为6，则k的值为      三、解答题 19．解方程：． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点，的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ． (2)以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是 。 (3)的面积是 ． 22．为了提高学生的综合素养，我校开设了多门综合实践活动课，按照类别分为：“手工制作”、“我的家家居制作”、“美食与生活”、“环保创意制作”、“安全救护训练营”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查的样本容量为___________；统计图中的_________，_________； (2)通过计算补全条形统计图； (3)我校初一共有1200名学生，请你估计我校初一喜爱“美食与生活”的学生人数． 23．2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔．某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图    测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以的速度竖直上升后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，．结果精确到1m．（参考数据：，，） (1)求无人机从点B到点C处的飞行距离； (2)求四门塔的高度． 24．在湖南嘉禾一村民，2022年承包种植橙子树亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2024年一共种植亩． (1)求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． (2)某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为元千克时，每天能售出千克，售价每降低元，每天可多售出千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为元千克，若使销售该种橙子每天获利元，则售价应降低多少元？ 25．【问题发现】 （1）若四边形是菱形，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点在菱形内部或边上时，连接、，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）若四边形是正方形，连接，点是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图2．当点在对角线上，点恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的边长． 26．如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图①，连接，，设的面积为，求的值； (3)如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形； (4)如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D A C D D B D A 1．D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键． 根据当时，y随x的增大而减小，可得反比例函数图象经过第一、三象限，由此即可求解． 【详解】解：当时，y随x的增大而减小，可得反比例函数图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 故选：D ． 2．B 【分析】此题考查了条形统计图和用样本估计总体，关键是根据题意求出抽查人数中“分组合作学习”方式所占的百分比． 用“分组合作学习”方式所占的百分比乘以该校八年级的总人数，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：（名）， 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程的步骤，掌握配方法是解题的关键．先将原方程进行移项，再通过配方得到完全平方公式，即可得到答案． 【详解】解： 故选：D． 4．A 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、求正切值等知识，先证明，得到．解得．即可求出的值． 【详解】解：由镜面反射对称可知， ， ． ， ， 解得． ．   故选：A． 5．C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，该函数有最小值，最小值为3，当，y随x的增大而增大； 综上，只有选项C说法正确； 故选C． 6．D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义；根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解． 【详解】解：，， 平分， ，， ， 过点作， 平分， ， ，即：，解得：， ， 故选D． 7．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上，可判断；根据抛物线开口向上，对称轴是直线，可得当时，的值随值的增大而增大；根据点的坐标为，可求出点到对称轴的距离，因为点与点对称，可得点的坐标；根据点的坐标是，可知时，在抛物线上对应的点在轴的下方，从而可得正确． 【详解】解：抛物线开口向上，中， 故A选项错误； 抛物线开口向上，对称轴是直线， 当时，的值随值的增大而增大， 故B选项错误； 点的坐标为，对称轴是直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离也为， 点的横坐标为， 点的坐标为， 故C选项错误； 当时，， ， 时，在抛物线上对应的点在轴的下方， ， 故D选项正确． 故选：D ． 8．B 【分析】由题意可知函数的图象在二、四象限，由三点的横坐标可知在第二象限，，在第四象限，根据反比例函数的增减性及各象限内点的坐标特点即可解答． 【详解】解：反比例函数中， 此函数的图象在二、四象限， ，， 在第二象限，，在第四象限， ，，， ，y随x的增大而增大， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查比较反比例函数值的大小，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 9．D 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．先设，则，，再用平行四边形的性质得出，进而求出，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10．A 【分析】设点为中点，连接，则，由三角形的中位线定理可得，由，是的边的三等分点可得，进而可得，即，由平行线分线段成比例定理可得，于是得解． 【详解】解：如图，设点为中点，连接， ， 点是的中点，点是的中点， ， ，是的边的三等分点， ， ， 即：， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，线段中点的有关计算，线段等分点的有关计算，等式的性质，平行线分线段成比例定理等知识点，添加适当辅助线构造三角形中位线并熟练掌握三角形的中位线定理及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 11． 【分析】本题主要考查比例的性质，根据比例式与等积式间的转化得出，据此可得答案． 【详解】解：， ， ， ， 则， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可，解题的关键是能根据定理得出比例式． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13． 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数与y轴的交点，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则得到新抛物线析式为，然后根据将代入求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后， 所得抛物线析式为：， 当时， ∴所得到的新抛物线与y轴的交点坐标为． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 15．或 【分析】此题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，先解方程，然后根据三边关系和等腰三角形的定义即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得， ， 解得：，， ∵等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解， ∴当三边为，，，能构成三角形，则等腰得周长为； 当三边为，，，能构成三角形，则等腰得周长为； 故等腰△的周长为或， 故答案为：或． 16．/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的性质，直角三角形的性质．根据作法可得平分，再根据相似三角形的性质可得，从而得到，再由直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作法可得平分， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，根据值的几何意义，得到，证明，进而求出，再根据的面积，列出方程进行求解即可. 【详解】解：过点作轴于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 A，C在反比例函数 的图象上，轴， ∴， ∴， ∴的面积， ∴； 故答案为：. 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用公式法直接求出方程的解即可； （2）先移项整理，再提取公因式得出，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； （2）解：移项，得， 原方程可化为， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 20．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， （1）把点代入，解得，即，然后由反比例函数的图象过点，可求出反比例函数解析式； （2）把点代入直线，解得，即，根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象的上方所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）根据题意和（1）（2）得到点，，，利用三角形面积公式计算即可； 确定反比例函数解析式、利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入， 得：，解得：， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）把点代入直线， 得：，解得：， ∴， 由函数图象可知：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式 的解集为或； （3）如图，设直线交轴于点， 当时，得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为． 21．(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查作图-平移变换、位似变换、三角形的面积． （1）根据平移的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （2）根据位似的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，向下平移4个单位长度得到的，      ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：； （2）解：∵与位似，且相似比为， ∴延长，，使得，，如图所示， ， ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：； （3）解：的面积， 故答案为：10． 22．(1)120；12；36 (2)见解析 (3)300人 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图信息相关联，用样本估计整体的数量． （1）从两个统计图可知A组的有18人，占调查人数的，可求出调查人数，即样本容量；进而求出a、b的值； （2）求出E组的频数即可补全条形统计图； （3）样本估计总体，样本中喜欢“美食与生活”的占，即，因此估计总体1200人的是喜欢“美食与生活”的人数． 【详解】（1）解：（人），因此样本容量为120； （人），（人）， 故答案为：120，12，36； （2）解：组频数：（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：（人）， 答：该校初一1200名学生中喜爱“美食与生活”的有300人． 23．(1)34米 (2)15米 【分析】（1）根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出； （2）延长交的延长线于点F，设，用x表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 在中，，， 则， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为； （2）解：如图②，延长交的延长线于点F， 则四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，， 则， ∴， 在中，， ∵， ∴，即， 解得：， 答：四门塔的高度约为． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．(1)该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20% (2)售价应降低6元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）设售价应降价元，销售该种橙子每天获利元，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%； （2）解：设售价应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 25．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，，然后证明即可得到答案； （2）连接，只需要证明即可得到，由此求解即可； （3）连接交于，过点作于，证明，，，然后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接交于，过点作于， 四边形是正方形，， ，，， ， 又是等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ， ，， 设，则， ， ， 解得负值舍去， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 26．(1) (2) (3)见解析 (4)存在，和 【分析】（1）根据题意先求出点、的坐标，进而利用待定系数法即可求解； （2）由题意过点作轴于，交于点，根据，则，进而根据三角形面积公式，进行计算即可求解； （3）根据点，，，得出，，，在中，根据勾股定理，在中，，，根据勾股定理逆定理得出即可； （4）根据题意分点在下方、在的延长线上取一点，使，作出，连接，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于，点在上方，延长到，使，连接并延长交轴于，作出，两种情况求出点，和点的坐标，进而利用待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵交坐标轴于，两点， 当时，，则点， 当时，， 解得，点， ∵， ∴ ，解得， ∴二次函数解析式为：； （2）过点作轴于，交于， ∵，在直线：上， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）证明：点，点，， ，，， ， 在中，根据勾股定理＝， 在中，， （）， ，即， ， 是直角三角形； （4）存在点，使．   当点在轴下方的抛物线上时： 在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于 ，，， ， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ∴， 设的解析式为：， ， 解得：，， 的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 当点在轴上方的抛物线上时： 延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点，设交抛物线于点， 轴，， ，， 同理可得，的解析式为：． ， ， ， ， 方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在． 综上所述：存在抛物线上点，使，直线的解析式为： 和． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和性质，一次函数解析式，三角形面积的最值，直线的位置关系，一元二次方程，三角形全等判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利用辅助线作出准确图形，熟练掌握所需知识是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$