2025年九年级中考数学专题复习二次函数存在性之平行四边形的习题

2025年中考数学专题复习二次函数 存在性之平行四边形的习题 1．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (3)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． 2．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与直线交于、两点，其中点在轴上，点坐标为，点为轴左侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)以，，，为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． (3)当点运动到直线下方某一处时，过点作，垂足为，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 4．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．       备用图 (1)求该抛物线的函数解析式． (2)在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值． (3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标系的原点，抛物线交轴于两点，交轴于点，且，． (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，点为第二象限抛物线上一点，过作轴交直线于点，点为线段上一点，过点作直线轴交抛物线于点，连接．设点的横坐标为，点的横坐标为，若四边形为平行四边形，求与的函数关系式； (3)如图，在（）的条件下，连接并延长，交轴于点，连接，点在的延长线上，延长交轴于点，连接．若，，，求线段的长． 7．如图抛物线与轴分别相交于，两点（点在点的左侧），是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上． (1)直接写出点的坐标； (2)如图（1），若点的横坐标是，点在第三象限，平行四边形的面积是13，求点的坐标； (3)如图（2），若点在抛物线上，试探究直线是否经过某一定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 8．如图，在直角坐标系中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，以为对称轴的抛物线与x轴分别交于点A、C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接，交于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与相似时点P的坐标； (3)点M是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点N，使以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 9．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．作直线，是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式． (2)当点P在直线下方时，连接，，．当时，求点P的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，当面积最大时，求出点的坐标； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标：如果不存在，请说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点A的坐标为，点B在第四象限，边与x轴交于点C，点M，R分别是线段的中点，过点M的抛物线（m，n为常数）的顶点为P． (1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________； (2)如图2，点N为中点，抛物线经过点N，E，点F在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标； (3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，求出m的取值范围． 12．如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若D为抛物线的顶点，求的面积； (3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与y轴交于点D． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知抛物线．经过，，与x轴交于另一个点C，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点Q在抛物线上的对称轴上，那么在抛物线上是否存在一点N，使得A、B、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出N点的坐标； (3)点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作交BC于点E，过点D作轴，交于点F，求的最大值； (4)在抛物线上是否存在点P，直线交x轴于点M，使与以A、B、C、M中三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左边）. (1)请直接写出A、B、C三点的坐标； (2)如图1，已知点M在抛物线上，点N在x轴上，且四边形为平行四边形，求M点的横坐标； (3)已知坐标系内有一动点，点F不在抛物线上，直线交抛物线交于另一点P，直线交抛物线交于另一点Q，连接交y轴交于点G，求G点纵坐标的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)点的横坐标为； (3)的值为． 2．(1)点的坐标为或或或； (2)，或，． 3．(1) (2)或或 (3) 4．(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 5．(1)； (2)存在，点P的坐标为，的面积最大值为； (3)存在，N点坐标为或或． 6．(1)； (2)与的函数关系式为：； (3)． 7．(1)点C坐标为 (2) (3)是，直线DF过定点 8．(1) (2)， (3)存在， 9．(1)；直线的函数表达式为， (2) (3)存在，点的坐标为()，()， 10．(1) (2) (3)或或 11．(1)； (2)点的坐标为或 (3)或或 12．(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)点P的坐标为或或． 13．(1)； (2)对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或． 14．(1) (2)存在，或或 (3) (4)存在，或 15．(1)，，； (2)，； (3)； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$