精品解析：广东省汕头市潮南区陈店实验学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年度第一学期 九年级数学科阶段性练习题（二） 内容包括：第二十四章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知 的半径是，则 中最长弦长是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵ 的半径是， ∴ 中最长弦长是． 故选：C． 2. 如图所示，表示圆心角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 3. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ） A. 底角大于 B. 底角等于 C. 底角小于 D. 底角大于等于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设底角大于等于， 故选： D． 4. 如图， 为 直径，点 ， 在 上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于度，同弧或等弧所对的圆周角相等等知识，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据直径所对的圆周角等于度得 ，再根据直角三角形的两锐角互余求出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可求出的度数． 【详解】解： 为 直径， ， ， ， ， 故选：A． 5. 如图， 是 的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与 的位置关系是（ ） A. 点P在 上 B. 点P在 外 C. 点P在 内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上即可． 本题考查了两点间距离公式，点圆的位置关系，熟练掌握公式和点圆位置关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点，得，恰好等于圆的半径，从而得到点P在圆上， 故选：A． 7. 如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、坐标与图形． 由网络可得出线段 和 的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标． 【详解】解：如图，作线段 和的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为， 故选：C 8. 如图，正六边形 内接于 ，若 的面积等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形为圆、等边三角形的判定与性质，连接 、 ，由题意得出 的半径为 ，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接 、 ，     ∵ 的面积等于， ∴设 的半径为 ，则， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的边长为 ， 故选：B． 9. 如图，点 是 的内心，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心、角平分线的定义等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由题意易得分别是的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵点O是 的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 10. 已知 是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则 的面积是（ ） A. 32或16 B. 32或8 C. 8或16 D. 24或32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆，等腰三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用，分类讨论是解答本题的关键；已知 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边 的垂线 ，则 所在直线必过圆心O；在中，由勾股定理可求出 的长，进而可求出 的面积，需注意本题的 分锐角和钝角三角形两种情况． 【详解】解：如图①，过A作于D，则 必过点O，连接 ， 在中，， 由勾股定理得：，则， ； 如图②， 同（1）可求得，则， ， 综上， 的面积是32或8， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题） 11. 如图，四边形 是 的内接四边形，其中，则的度数为_________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可． 【详解】解：∵四边形 是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 12. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，圆心到水面 的距离为4米，则该圆的半径为_________． 【答案】5米## 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，作 于点E，交⊙O于点D，设圆的半径为r米，利用勾股定理构建求解即可． 【详解】解：如图，过点O作交 于点E， 交⊙O于点D，如图， ∵， ∴米， 根据题意得：米， 设圆的半径为r米， ∵， ∴米， 故答案为：5米． 13. 如图，在正方形 中，，以 为圆心，为半径作圆弧，交 的延长线于点 ，连结 ．则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算方法，将不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差成为解题的关键． 根据进行计算即可解答． 【详解】解：∵在正方形 中，， ， ，，， ， ∴ ． 故答案为． 14. 如图， 分别与 相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交 于点M，N．若，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键． 由切线长定理可得出答案． 【详解】解：，， 是 的切线，， 的周长为： ， 故答案为：． 15. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点 与动力装置 相连（大小可变），点 在轨道 上滑动，并带动磨盘绕点 转动，，．若磨盘转动过程中，则点 到 的最小距离为_______． 【答案】##60厘米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由当点 运动到时，点 到 的距离最小，结合勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，当点 运动到时，点 到 的距离最小， ， 由题意得：，，， ∴， 由勾股定理可得：， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 如图， 是 的直径，弦 交 于点 ．连接 、 ．已知． （1）求的度数； （2）若点 为的中点，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据圆周角定理求出，进而求出，再根据圆周角定理求出答案即可； （2）先根据“弧，弦，圆心角”之间的关系得，即可求出，再根据三角形外角的性质得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示，连接 ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是 的外角， ∴． 17. 如图，四边形 是 的内接四边形， 为直径， 是 切线，且 的延长线于点 ． （1）求证：平分； （2）若，，则 的半径为_____________． 【答案】（1）见解析； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接 ，根据切线的性质可得，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证，然后利用平行线的性质求出，即可解答； （2）过点O作，垂足为F，根据垂径定理可得，再利用（1）的结论可得四边形是矩形，从而可得，，然后在中，利用勾股定理求出答案． 【小问1详解】 证明：连接 ， ∵ 是 切线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：过点O作，垂足为F， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴， ∴ 的半径为5． 18. 如图， 的直径 的长为10，弦 的长为6，的平分线交 于点D，求弦 的长． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作 交 于点 ，连接，．由 是 的直径，结合 是的平分线，得，，则、 的长度可求，进而可得 的长度，根据，可求出 的长． 【详解】解：过点 作 交 于点 ，连接，． 是 的直径， ． 是的平分线， ，， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 如图， ， 是 的半径，且，弦， 分别经过 ， 的中点 ， ．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查圆的性质，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，过点 作直径，先得出，，证明，得出，进而得出，根据是 的直径，得出，进而得出答案． 【详解】证明：过点 作直径，如图， ∵ ， ， 是 的半径，， ∴， ∵点 ， 分别是 ， 的中点， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵是 的直径， ∴， ∴， ∴. 20. 如图， 为圆 的直径， 为圆上一点， 为 的中点，过 作圆 的切线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接 ． （1）求证： 是圆 的切线； （2）若，求圆 的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是圆 的切线， ∴， ∴， ∵， 为 的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又 是圆 的半径， ∴ 是圆 的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据三线合一性质得出，根据证明，可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据切线长定理求出，根据勾股定理求出，然后在 中根据勾股定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵、 是圆 的切线，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 即圆 的半径为． 21. 如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点 、、共线，与 、 都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 【答案】制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．先运用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，将两个圆锥的侧面积相减即可得到灯罩的侧面积，再运用圆的面积公式求出灯罩上底面的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布. 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以 所在直线为x轴， 的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 【答案】任务一：方案一、；方案二、 任务二：方案一、货船能顺利通过；方案二、货船不能顺利通过 【解析】 【分析】任务一：方案一，设圆心为O，连接，根据，得，结合 ，知直线 过点O，根据，得，得，得是等边三角形，得；方案二，根据顶点C坐标为，设桥拱的函数解析式为，将代入即可求解； 任务二：方案一，连接 ，设交 于I，根据矩形性质得，得，得，结合半径为10得到，得，即可判断；方案二，当H点的横坐标为5时，，即可判断． 【详解】解：任务一：方案一，设圆的圆心为O，连接． ∵， ∴． ∵ ， ∴，直线 过点O． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． 故半径为． 方案二， ∵顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为． ∵， ∴． 代入得． 解得． 故函数解析式为． 任务二： 方案一， 如图，连接 ，设交 于I． 由上知， ∵矩形中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故货船能顺利通过． 方案二， 如图，∵， ∴H横坐标为5． ∴． 故货船不能顺利通过． 【点睛】本题考查了二次函数和圆的实际应用．熟练掌握待定系数法示解析式，二次函数的图象和性质，弧弦的关系，垂径定理，等腰三角形性质，等边三角形减和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，矩形性质，是解题关键． 23. 已知四边形 内接于 ，且 于点． （1）如图1，过圆心 作于点 ． ①若 半径为5，，求的长； ②试判断 与的数量关系，并写出证明过程． （2）如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：． 【答案】（1）①3； ②，证明见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）①连接 ，则，由垂径定理得，由勾股定理即可求得的长； ②延长，与 交于点 ，连接．由三角形中位线定理得；设，则；由 可得，从而得； （2）通过面积关系，利用根式及完全平方公式运算，得到，再用两平行线间距离相等，得到 ，进而． 【小问1详解】 解：①连接 ，则， ∵于点 ， ∴， ∴． ②． 证明：延长，与 交于点 ，连接． ∵ 为直径， ∴． 在中， ∵O，H分别为 ， 的中点， ∴，即， 设，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由两边同时平方化简得： ∵（等高，面积之比等于底之比） ∴ ∴，即， ∴，，即 因为 和共底，则它们的高相等，由平行线之间的距离处处相等 ， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，垂径定理，弧、弦、圆心角及圆周角的关系，三角形中位线定理，勾股定理，完全平方公式等知识，涉及较多的知识点，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期 九年级数学科阶段性练习题（二） 内容包括：第二十四章 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知 的半径是，则 中最长弦长是 （ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，表示圆心角的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设（ ） A. 底角大于 B. 底角等于 C. 底角小于 D. 底角大于等于 4. 如图， 为 直径，点 ， 在 上，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 是 的直径，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点 ，若以原点O为圆心、5为半径画圆，则点 P与 的位置关系是（ ） A. 点P在 上 B. 点P在 外 C. 点P在 内 D. 无法确定 7. 如图，直角坐标系中，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，则点M的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形 内接于 ，若 的面积等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 9. 如图，点 是 的内心，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知 是圆内接等腰三角形，它的底边长是8，若圆的半径是5，则 的面积是（ ） A. 32或16 B. 32或8 C. 8或16 D. 24或32 二、填空题（本大题共5小题） 11. 如图，四边形 是 的内接四边形，其中，则的度数为_________． 12. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，圆心到水面 的距离为4米，则该圆的半径为_________． 13. 如图，在正方形 中，，以 为圆心， 为半径作圆弧，交 的延长线于点 ，连结 ．则图中阴影部分的面积为__________． 14. 如图， 分别与 相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交 于点M，N．若，则的周长为___________． 15. 如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置 相连（大小可变），点 在轨道 上滑动，并带动磨盘绕点 转动，，．若磨盘转动过程中，则点 到的最小距离为_______． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 如图， 是 的直径，弦 交 于点 ．连接 、 ．已知． （1）求的度数； （2）若点 为的中点，求的度数． 17. 如图，四边形 是 的内接四边形， 为直径， 是 切线，且 的延长线于点 ． （1）求证：平分； （2）若，，则 的半径为_____________． 18. 如图， 的直径 的长为10，弦 的长为6，的平分线交 于点D，求弦 的长． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 如图， ，是 的半径，且，弦， 分别经过 ，的中点 ， ．求证：． 20. 如图， 为圆 的直径， 为圆上一点， 为 的中点，过 作圆 的切线交的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，连接． （1）求证：是圆 的切线； （2）若，求圆 的半径． 21. 如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点 、、共线，与 、 都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数） 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 利用以下素材解决问题． 问题驱动 十一假期时，我校初三年级进行了“我是桥梁专家——探秘桥洞形状”的数学活动，某小组探究的一座拱桥如图1，图2是其桥拱的示意图，测得桥拱间水面宽AB端点到拱顶点C距离，拱顶离水面的距离 设计方案 方案一：圆弧型 方案二：抛物线型 任务一 设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径． 设计成抛物线型，以 所在直线为x轴， 的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式． 任务二 如图，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得，．请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两种情况的桥梁． 23. 已知四边形 内接于 ，且 于点 ． （1）如图1，过圆心 作于点． ①若 半径为5，，求的长； ②试判断 与的数量关系，并写出证明过程． （2）如图2，记，，，的面积分别为，，，，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $