福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高二上学期阶段一考试数学试题

2024—2025学年第一学期长乐一中阶段一考试 高中二年数学科试卷 考试时间：10月11日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 向量，，且，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B. 若，则存在唯一的实数，使 C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为 D. 若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 5. 已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A. ； B. ； C. ； D. ； 8. 边长为1的正方体中，E，F分别是，中点，M是靠近B的四等分点，P在正方体内部或表面，，则的最大值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 过点与直线平行的直线是 C. 直线到直线的距离为 D. 若直线：，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在四面体中，若，则四点共面 B. 若是四面体的底面三角形的重心，则 C. 已知平行六面体的棱长均为，且，则对角线 D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在单位正交基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 11. 长方体，，则下列说法中正确的是（ ） A. 长方体外接球的表面积等于 B. 是线段上的一动点，则的最小值等于3 C. 点到平面的距离等于 D. 二面角的正切值等于2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是________． 13. 已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为______． 14. 已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点为，，，求： （1）边AC上的中线所在直线的方程； （2）边AC上的高所在直线的方程； （3）边AC的垂直平分线的方程. 16. 如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 设直线l的方程为 （1）求证：不论a为何值，直线必过定点M； （2）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． （3）若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值． 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 19. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱；刍甍为茅草屋顶”，现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2． （1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF； （2）若二面角A—EF—B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值． 2024—2025学年第一学期长乐一中阶段一考试 高中二年数学科试卷 考试时间：10月11日 完卷时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】±6 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【16题答案】 【答案】（1） 证明； 如图，设，连接，，， 由题意知，四边形为正方形，∴， 在中，， 在中，，∴， ∵是的中点，∴， ∵，且平面，∴平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1）当不论a为何值，直线恒过定点； （2）直线l的方程为或. （3）6 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；②2 【19题答案】 【答案】（1） 取线段CF中点，连接OH、GH，如图， 由图1可知，四边形EBCF是矩形，，所以O是线段CE的中点， ∴且， 又且， ∴且 ∴四边形AOHG是平行四边形，则 由于平面，平面， ∴平面GCF． （2）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2024-一2025学年第一学期长乐一中阶段一考试 高中二年数学科答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [o] [0] [0] [o] [o] [0] [1] [1] 1] [1] [1] [1] [1] 可回 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2] [2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 回蹈 [4] [4] [4] [4] [4] [4] 47 [4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] (6) 正确填涂■缺考标记 ▣ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8l [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(1~8为单选题；9~11为多选题) 1[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][Cc][D] 填空题 12 13. 14. 解答题 15 囚囚■ 16 A C D C B B 囚囚■ ■ ■ ■ 18. D C A B 1 B I I 囚■囚 G 19 A A G E B B 图1 图2 C 囚■囚 口 请勿在此区域作答或 者做任何标记 ■