精品解析：黑龙江省牡丹江市2024-2025学年九年级上学期阶段练习数学试卷（二）

2024-2025学年度第一学期九年级综合练习（二） 数学 考生注意： 1．考试时间90分钟； 2．全卷共分三道大题，总分120分； 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 数学中的对称之美无处不在，下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案，如果不考虑图案下面的文字说明，那么这四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，D是等腰内一点，是斜边，如果将绕点A逆时针方向旋转到的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的珠，如果口袋中只装有2个黄球且摸出黄球的概率为，那么袋中其他颜色的球共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如图，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 二次函数有最小值，则m等于（） A. 1 B. C. D. 6. 如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，，相交于点F，若，且，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 7. 如图，为的直径，弦垂直于点E，，则弦的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数，反比例函数在同一直角坐标系的图象，若y1与y2交于点A(4，yA)，则下列命题中，假命题是(　　) A. 当x＞4时， B. 当时， C. 当时，0＜x＜4 D. 当时，x＜0 9. 如图，中，，CD是角平分线，则的面积与面积的比值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④． 正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 如图，矩形ABCD中,点E是边AD的中点,BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF面积比等于____． 12. 已知是反比例函数图象上的两个点，当时，，那么一次函数的图象不经过___________象限． 13. 已知二次函数的图象过点，图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为___________． 14. 半径为1，弦，弦__________． 15. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，若矩形的面积为，则的值为___________． 16. 如图，弹性小球从出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为点，第二次碰到正方形的边时的点为点第次碰到正方形的边时的点为点，则的坐标是___________． 17. 在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为，，当是关于点A的位似图形，且与的相似比为，则点的坐标为___________． 18. 如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H，给出以下结论：①；②；③；④其中正确的是___________． 三、解答题（满分66分） 19. 解决下面问题 （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 如图，，且点E在的延长线上． （1）求证：； （2）已知，求的长． 21. 在矩形纸片中，，点P在上，若将沿折叠，使点A落在矩形对角线上的点处，画出图形并直接写出线段的长． 22. 为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是______； （2）图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整； （3）若城区九年级学生有18000人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______； （4）测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率． 23. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ． （1）求这两个函数的解析式． （2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积． 24. 由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点A的直线，于点B． 问题探究： （1）如图（1），求证；（提示：过点C作于点C，与交于点E） （2）当绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，，，满足什么样关系式，请直接写出你的猜想； （3）在绕点A旋转过程中，当，时，则___________，___________． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出点A，C，D的坐标； （2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标； （3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期九年级综合练习（二） 数学 考生注意： 1．考试时间90分钟； 2．全卷共分三道大题，总分120分； 3．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 数学中的对称之美无处不在，下列是小明看到的他所在小区的垃圾桶上的四幅垃圾分类标志图案，如果不考虑图案下面的文字说明，那么这四幅图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得到答案． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； C、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握其定义，并正确识别是解题关键． 2. 如图，D是等腰内一点，是斜边，如果将绕点A逆时针方向旋转到的位置，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，旋转角，，然后由等边对等角及三角形的内角和定理可得，于是得解． 【详解】解：将绕点A逆时针方向旋转到的位置， 旋转角，， ， 故选：． 3. 在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的珠，如果口袋中只装有2个黄球且摸出黄球的概率为，那么袋中其他颜色的球共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟记公式是关键．根据黄球的概率列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中其他颜色的球共有x个，则， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以袋中其他颜色的球共有2个． 故选∶B． 4. 如图，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数与反比例函数的交点问题可得，解方程组即可求得点坐标，过点作轴于点，由点坐标即可得出与的长，然后利用勾股定理即可求出的长，进而可得的长，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：依题意可知： 点的坐标满足方程组， 解得：， ， 如图，过点作轴于点， ， ， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，垂线的性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合是解题的关键． 5. 二次函数有最小值，则m等于（） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最大值（最小值）公式是解题的关键．根据二次函数的最值公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴，且， 解得． 故选：A． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，点E在上，，相交于点F，若，且，则的长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质可得出且，再证，得，结合可得出，再利用相似三角形的性质，代入求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，   ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，为的直径，弦垂直于点E，，则弦的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，含的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 根据弦垂直于点E，，得，，根据为的直径， 得，得，得，得． 【详解】∵于点E，， ∴，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图是二次函数，反比例函数在同一直角坐标系的图象，若y1与y2交于点A(4，yA)，则下列命题中，假命题是(　　) A. 当x＞4时， B. 当时， C. 当时，0＜x＜4 D. 当时，x＜0 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形、利用数形结合思想解答． 【详解】由函数图象可知，当x＞4时，y1＞y2，A是真命题； 当x＜-1时，y1＞y2，C是真命题； 当y1＜y2时，0＜x＜4，C是真命题； y1＞y2时，x＜0或x＞4，D是假命题； 故选D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 9. 如图，中，，CD是角平分线，则的面积与面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题首先根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质．先求得 ，然后根据角平分线可得证明，设根据等腰三角形的性质，则则 . 根据相似三角形的性质求得的值即可． 【详解】解：设， ∵中， ， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即 ， 则 解得(负值舍去)， 则， ∴的面积与面积的比值是 ， 故选：C． 10. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④． 正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④． 【详解】∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1， ∴3＜x2＜4，①正确， ∵ = 1， ∴b=- 2а， ∴3a＋2b= 3a-4a= -a， ∵a＞0， ∴3a+2b<0，②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0， ∴a－b＋c<0， ∴a＋c<b， ∵a＞0， ∴b=-2a<0， ∴a＋c<0， ∴b2 -4ac > a+ c， ∴b2＞a＋c＋4ac，③正确； ∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方， ∴a＞0，c<0， ∴a>c， ∵a-b＋c<0，b=-2a， ∴3a+c<0， ∴c<-3a， ∴b=–2a， ∴b＞c，以④错误； 故选B 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性． 二、填空题（每小题3分，满分24分） 11. 如图，矩形ABCD中,点E是边AD的中点,BE交对角线AC于点F，则△AFE与△BCF面积比等于____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为四边形ABCD是矩形，所以AD//BC,AD=BC,又点E是边AD的中点，所以AE=BC, △AFE∽△BCF,所以相似比是，所以△AFE与△BCF的面积比=． 考点：1．矩形的性质2．相似三角形的判定与性质． 12. 已知是反比例函数图象上的两个点，当时，，那么一次函数的图象不经过___________象限． 【答案】第二 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定k的符号． 首先根据时，，确定反比例函数中的符号，然后再确定一次函数的图象所在象限． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴不经过第二象限， 故答案为：第二． 13. 已知二次函数的图象过点，图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】考查了二次函数的性质、图象平移规律以及解析式的求解方法，熟练掌握二次函数的性质及图图象平移规律是解题的关键； 由图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，可得抛物线的顶点为，用顶点式表示出二次函数的关系式，把代入即可求得所求的二次函数解析式． 【详解】解：∵图象向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点， ∴抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象过点， ∴， ∴此二次函数的解析式为或． 14. 半径为1，弦，弦__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解决本题的关键是分类讨论思想的应用．分在的两侧和在的同侧两种情况求解即可． 【详解】如图，当在的两侧时， 作于点B，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴； 如图，当在的同侧时， 作于点B，则， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：或． 15. 如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点，若矩形的面积为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接矩形的对角线，则与交于点，由矩形的性质可知，点也是的中点，设点坐标为，设点坐标为，由中点坐标可得，，由于反比例函数的图象经过点，因而可得，于是得解． 【详解】解：如图，连接矩形的对角线，则与交于点， 由矩形的性质可知，点也是的中点， 设点坐标为，设点坐标为， 点是的中点， ， ， 反比例函数的图象经过点， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的性质，矩形的性质，中点坐标等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数与几何综合是解题的关键． 16. 如图，弹性小球从出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为点，第二次碰到正方形的边时的点为点第次碰到正方形的边时的点为点，则的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是点的坐标、坐标与图形变化-对称，根据轴对称的性质分别写出点的坐标为、 点的坐标、点的坐标、点的坐标，从中找出规律，根据规律解答，正确找出点的坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】由题意得， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ……，观察可得，每次一循环出现， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，A、B两点坐标分别为，，当是关于点A的位似图形，且与的相似比为，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了作图-位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解本题的关键．分两种情况讨论，当在的下方时，作轴于点，轴于点，证明，求得，，据此求解即可；当在的上方时，同理可求解． 【详解】解：当在的下方时，作轴于点，轴于点， ∴， ∵A、B两点坐标分别为，， ∴，，， ∴， ∵与的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 当在的上方时，作轴于点，轴于点， ， 同理，，， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为：或． 18. 如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点E，F，连接，，与相交于点H，给出以下结论：①；②；③；④其中正确的是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由正方形的性质得出，，由等边三角形的性质得出，，进而得出，即可判断选项①；由等腰三角形的性质得出，由正方形对角线的性质得出，得，得出，由平行线的性质得出，得出，即可判断选项②；由三角形内角和定理求出，再求解的三个内角，即可判断选项③；由，，得出，由相似三角形的性质即可判断选项④；从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，，，，， ∴，，， ∴，， ∴结论①正确； ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴结论②正确； ∵，， ∴，， ∴不相似；结论③错误； ∴， ∴， ∴， ∵°，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论④正确； ∴正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 三、解答题（满分66分） 19. 解决下面问题 （1）解方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、分式的混合运算及化简求值： （1）先移项，再利用公式法解方程； （2）先根据分式的运算法则化简，再解求出a的值，最后代入求值． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：原式 ． ， ， 或， 解得． ， ． 原式． 20. 如图，，且点E在的延长线上． （1）求证：； （2）已知，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定．解题的关键在于找出相等的角． （1）利用有两对角相等的两三角形相似即可证明：； （2）由相似三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中 ， ． ． ∵ ． 【小问2详解】 ， ． ， ． ． 21. 在矩形纸片中，，点P在上，若将沿折叠，使点A落在矩形对角线上的点处，画出图形并直接写出线段的长． 【答案】图见解析，或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 点分别落在矩形对角线上，分别作图即可． 【详解】解：当点落在矩形对角线上时，如图， ∵， ∴， 根据折叠的性质， ， ∴， 设，则， ∵ ∴， 解得， ∴； 当点落在矩形对角线上时，如图， 根据折叠的性质可知于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 为了解中考体育科目训练情况，从城区九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是______； （2）图1中的度数是______，并把图2条形统计图补充完整； （3）若城区九年级学生有18000人，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______； （4）测试老师想从4位同学（分别记为甲、乙、丙、丁）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率． 【答案】（1）40人 （2）54°； 故补全条形统计图如下： （3）3600人 （4） 【解析】 【分析】（1）利用B级的人数除其所占百分比即可求解； （2）利用A级人数除总人数，得出其所占比例，再乘360°即得出的大小；利用C级的人数所占百分比乘抽样测试的总人数即可求出C级的人数，从而可补全统计图； （3）求出不及格的人数所占比例，再乘九年级学生总数即可求解； （4）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，找到符合题意的情况，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 12÷30%=40（人） ∴本次抽样测试的学生人数是40人， 故答案为：40； 【小问2详解】 ． 故答案为：54°； C级的人数为（人）， 故补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （人） ∴估计不及格的人数为3600人， 故答案为：3600人； 【小问4详解】 根据题意列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 甲、乙 乙、丙 乙、丁 丙 甲、丙 乙、丙 丙、丁 丁 甲、丁 乙、丁 丙、丁 由表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲的有6种， ∴P(选中甲) ＝＝． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率．根据条形统计图和扇形统计图得到必要的信息和数据是解题关键． 23. 如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线 与直线在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO= ． （1）求这两个函数的解析式． （2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积． 【答案】（1）y=﹣；y=﹣x+2（2）4 【解析】 【分析】（1）根据 S△ABO=，即，所以 ，又因为图像在二四象限，所以xy=﹣3即 k=-3，求出反比例函数解析式，再将 k=-3代入 ，求出一次函数解析式； （2）将两个函数关系式 y=﹣和y=﹣x +2联立，解这个方程组，可求出两个交点A，C的坐标； （3）将x=0代入 y=﹣x +2中，求出D点坐标，根据△AOC的面积=△ADO的面积+△CDO的面积求解即可. 【详解】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0 则S△ABO=•|OB|•|AB|=•（﹣x）•y= ∴xy=﹣3 又∵ ∴k=﹣3 ∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x +2 （2）A、C两点坐标满足 解得 ∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1） （3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2． ∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2） 【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，反比例函数与一次函数的综合，割补法求不规则图形的面积，解答本题的关键是求出两个函数的表达式. 24. 由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知，是过点A的直线，于点B． 问题探究： （1）如图（1），求证；（提示：过点C作于点C，与交于点E） （2）当绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，，，满足什么样关系式，请直接写出你的猜想； （3）在绕点A旋转过程中，当，时，则___________，___________． 【答案】（1）见解析； （2）图（2）：；图（3）：； （3），或． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定的应用、等腰直角三角形的判定与性质等，添加恰当的辅助线证明三角形全等是解题的关键； （1）过点C作于点C，与交于点E，证，则为等腰直角三角形得，根据，即可得出结论； （2）过点C作于点C，与交于点E，证明，则为等腰直角三角形，据此即可得到，根据即可证得; （3）分两种情况，证明是等腰直角三角形，求得的长，在直角中，利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得答案， 【小问1详解】 如图，过点C作于点C，与交于点E， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中 ， ，， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图（2）：．理由如下： 过点C作于点C，与交于点E， ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 如图（3）：． 理由如下： 过点C作于点C，与交于点E， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 在绕点A旋转的过程中，，有两种情况： 第一种情况： 如图①的位置，， 过点D作于点H． ∵，，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴， ∵， ∴， ∴等腰直角三角形． ∵，， ∴． ∵，， ∴，． ∴； 第二种情况：如图②的位置，， 过点C作交于点E，过点D作交延长线于点H，与相交于点O， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形． ∵，，， ∴． ∵，，， ∴，， ∴． 综上所述：的长为2，的长为或． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出点A，C，D的坐标； （2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标； （3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（﹣3，0），C（0，3），D（﹣1，4）；（2）E（，0）；（3）P（2，﹣5）或（1，0）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标； （2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标； （3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论． 试题解析：（1）当中y=0时，有，解得：=﹣3，=1，∵A在B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0）． 当中x=0时，则y=3，∴C（0，3）． ∵=，∴顶点D（﹣1，4）． （2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示． ∵C（0，3），∴C′（0，﹣3）． 设直线C′D的解析式为y=kx+b，则有：，解得：，∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3，当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=，∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（，0）． （3）设直线AC的解析式为y=ax+c，则有：，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+3． 假设存在，设点F（m，m+3），△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3），∵点P在抛物线上，∴，解得：m1=﹣3（舍去），m2=2，此时点P的坐标为（2，﹣5）； ②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0） ∵点P在抛物线上，∴，解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1，此时点P的坐标为（1，0）； ③当∠APF=90°时，P（m，0），∵点P在抛物线上，∴，解得：m5=﹣3（舍去），m6=1，此时点P的坐标为（1，0）． 综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）． 考点：二次函数综合题；最值问题；存在型；分类讨论；综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $