专题6.2 线段的比较与运算（3大知识点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.2 线段的比较与运算（3大知识点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】线段大小比较 （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 【知识点2】线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 【要点提示】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【知识点3】线段的基本性质 两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如下图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 【要点提示】（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 知识点与题型目录 【考点1】线段和与差的有关计算 【题型1】尺规作图与求线段和与差.............................................2 【题型2】点在线段长求线段的和与差...........................................3 【题型3】动点中的线段和与差（分类讨论）.....................................3 【考点2】线段中点的有关计算 【题型4】线段中点的有关计算.................................................3 【题型5】线段n等分点的有关计算.............................................4 【题型6】线段之间的数量关系.................................................5 【题型7】与线段有关的动点问题...............................................5 【考点3】两点之间距离 【题型8】两点之间线段最短...................................................6 【题型9】两点间的距离.......................................................7 【考点4】直通中考与拓展延伸 【题型10】直通中考..........................................................8 【题型11】拓展延伸..........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】尺规作图与求线段和与差 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级上·山东青岛·期末）用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：线段； 求作：线段． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【题型2】点在线段长求线段的和与差 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，求的长．    【变式1】（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）线段，延长到，使，再延长到，使，则线段的长为 ． 【题型3】动点中的线段和与差（分类讨论） 【例3】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，，点是线段上一点，且，点C从点A出发，以的速度向点B运动．同时点D从点P出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为． (1)当时，___________，__________，此时线段，，之间的数量关系是___________． (2)当点C在线段上运动时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)当点C在线段上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【变式1】（24-25七年级上·河北承德·期中）已知点C是线段上一点（点C与点A，B不重合），在三条线段中，如果其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，那么称点C为钱段的“巧点”．如果线段，点C为线段的“巧点”，那么线段的长度不可能的是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【题型4】线段中点的有关计算 【例4】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 【变式1】（2024七年级上·辽宁·专题练习）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20 C．10 D．20或4 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，线段，点，分别是，的中点，则的长为 ． 【题型5】线段n等分点的有关计算 【例5】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【题型6】线段之间的数量关系 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）数学课上，老师提出下面问题：如图，点是线段上一点，点分别是线段的中点，当时，求线段的长度． (1)下面是小明的解答过程，请你补充完整； 解答过程 因为点分别是线段的中点， 所以① ______．② ①+②得， ． (2)小明进行题后反思，提出新的问题：如果点运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化？请你画出示意图，并说明理由． 【变式1】（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和为13，线段的长度与线段的长度都是正整数，则线段的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知线段，在的延长线上取一点C，使，在的反向延长线上取一点D，使，M为的中点，则 ． 【题型7】与线段有关的动点问题 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【变式2】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【题型8】两点之间线段最短 【例8】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知直线l和直线外三点A、B、C，请按下列要求画图． (1)画射线； (2)画直线； (3)在直线l上找一点P，使得的值最小． 【变式1】（23-24七年级上·四川成都·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（16-17七年级·吉林松原·期末）用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 【题型9】两点间的距离 【例9】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为． (1)若， ①运动后，求的长． ②当D在线段运动上时，探究与的数量关系． ， ，， ， ， 与的数量关系为 ． (2)如果时，，直接写出的值． 【变式1】（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知线段，线段，线段在线段上由点A向点B从左向右移动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设线段，记图中所有线段的长度之和为S，则 ．（用含a，x的代数式表示）    【题型10】直通中考 【例1】（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 【例2】（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【例2】（21-22七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 线段的比较与运算（3大知识点11类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】线段大小比较 （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 【知识点2】线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 【要点提示】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【知识点3】线段的基本性质 两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如下图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 【要点提示】（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 知识点与题型目录 【考点1】线段和与差的有关计算 【题型1】尺规作图与求线段和与差.............................................2 【题型2】点在线段长求线段的和与差...........................................3 【题型3】动点中的线段和与差（分类讨论）.....................................4 【考点2】线段中点的有关计算 【题型4】线段中点的有关计算.................................................6 【题型5】线段n等分点的有关计算.............................................9 【题型6】线段之间的数量关系................................................11 【题型7】与线段有关的动点问题..............................................13 【考点3】两点之间距离 【题型8】两点之间线段最短..................................................17 【题型9】两点间的距离......................................................19 【考点4】直通中考与拓展延伸 【题型10】直通中考.........................................................21 【题型11】拓展延伸.........................................................22 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】尺规作图与求线段和与差 【例1】（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 解：由作图知：， 故选：D． 【变式1】（22-23七年级上·山东青岛·期末）用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：线段； 求作：线段． 【分析】本题考查了作图—复杂作图，熟练掌握基本作图方法是解题关键．以A为端点画一条射线，以A为圆心，线段的长度为半径画圆交射线于点C，再以C为圆心，线段为半径画圆交射线于点D，再以D为圆心，线段为半径画圆交射线于点E，然后以E为圆心，线段为半径画圆交线段于点B，则线段即为所求． 解：线段即为所求． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知线段，，．小明利用尺规作图画出线段，则线段（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了尺规作图—作一条线段等于已知线段．根据作图可得，即可求解． 解：根据题意得：． 故选：C 【题型2】点在线段长求线段的和与差 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段之间的和差关系，进行求解即可． 解：因为， 所以． 因为， 所以． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁·期末）在直线上顺次取三点、、，使线段，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差运算，根据在直线上顺次取三点、、，得出，再代数计算，即可作答． 解：在直线上顺次取三点、、， ， ，， ， 故选：D． 【变式2】（2024七年级上·山东·专题练习）线段，延长到，使，再延长到，使，则线段的长为 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了线段的和差，根据已知分别求出，的长，即可得出线段的长． 解：如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】动点中的线段和与差（分类讨论） 【例3】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）如图，，点是线段上一点，且，点C从点A出发，以的速度向点B运动．同时点D从点P出发，以的速度沿射线运动，设运动的时间为． (1)当时，___________，__________，此时线段，，之间的数量关系是___________． (2)当点C在线段上运动时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)当点C在线段上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)，，； (2)，见解析；(3). 【分析】本题考查整式的加减，射线，线段的和差，熟练掌握整式的加减法则是解题的关键． （1）根据题意分别求得，长度，找数量关系即可求解； （2）根据题意可知，根据，即可求解； （3）当点C在线段上运动时，分别求出，，的长度，找数量关系即可求解． 解:（1）当时， ； ， 此时，； 故答案为：，， （2）猜想：； 证明：当点C在线段上运动时， 根据题意可知：，， ， ， 即； （3）猜想； 证明：点C在线段上运动时， ， ， ， ， 则． 【变式1】（24-25七年级上·河北承德·期中）已知点C是线段上一点（点C与点A，B不重合），在三条线段中，如果其中一条线段的长度是另一条线段长度的2倍，那么称点C为钱段的“巧点”．如果线段，点C为线段的“巧点”，那么线段的长度不可能的是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查两点间的距离，关键在于对“巧点”的理解，注意分类讨论． 由题意可得与的数量关系，根据的长度求解的长即可． 解：由“巧点”的定义可得或或， ∴或或， 又∵， ∴或4或6． 故线段的长度不可能的是10. 故选D． 【变式2】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 【题型4】线段中点的有关计算 【例4】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点B在直线上，点M，N分别是线段的中点． (1)如图①，点B在线段上，，求的长； (2)如图②，点B在线段的延长线上，，点C为直线上一点，，求的长． 【答案】(1); (2)3或10。 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据中点的定义，推出，即可得解； （2）根据中点的定义和线段的和差关系求出的长，分点在点P的右侧，点C在点A，P之间，点C在点A的左侧，三种情况进行讨论求解即可． 解:（1）由题意，得，， 所以． 因为， 所以． （2）由题意，得，， 所以， 所以． 当点C在点P的右侧时，，即，解得； 当点C在点A，P之间时，，不符合题意； 当点C在点A的左侧时，，即，解得， 所以． 综上所述，CP的长为3或10． 【变式1】（2024七年级上·辽宁·专题练习）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20 C．10 D．20或4 【答案】D 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知线段，线段，点，分别是，的中点，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算．先根据线段和差关系得到，再根据线段中点的定义得到，进一步计算即可求得的长． 解：∵线段，线段， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 【题型5】线段n等分点的有关计算 【例5】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 解:（1）点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）， ， ∴ ． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据“奇妙点”的定义即可求解．本题主要考查了新定义，以及线段的数量关系，正确理解题意是解答本题的关键． 解：线段的个三等分点与线段的中点都是线段的“奇妙点”，同理，在线段延长线和反向延长线也分别有个“奇妙点”． 线段的“奇妙点”的个数是个． 故选：C． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 【题型6】线段之间的数量关系 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）数学课上，老师提出下面问题：如图，点是线段上一点，点分别是线段的中点，当时，求线段的长度． (1)下面是小明的解答过程，请你补充完整； 解答过程 因为点分别是线段的中点， 所以① ______．② ①+②得， ． (2)小明进行题后反思，提出新的问题：如果点运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化？请你画出示意图，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)不会，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）点是线段的中点，结合，即可得的长度； （2）在线段的延长线上，此时，可求解是否变化． 解:（1）因为点分别是线段的中点， 所以① ② ①+②得， ． 故答案为：；；； （2）不会．理由如下： 因为点分别是线段的中点， 所以， 所以， 所以如果点运动到线段的延长线上，的长度不会发生变化． 【变式1】（23-24六年级下·山东泰安·期末）如图，是线段上的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和为13，线段的长度与线段的长度都是正整数，则线段的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了比较线段长短的知识，有一定难度，解题的关键是根据题意列出方程式，并探讨解的合理性．设，，则，再根据图中所有线段的长度之和为13，即可列出等式，再根据线段的长度与线段的长度都是正整数，即可求出答案． 解：设，，则， ， 即：， 得：． 因为线段的长度与线段的长度都是正整数， ∴当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 当时，，不合题意； 所以可知，， 即线段的长度为2． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·河南郑州·期末）已知线段，在的延长线上取一点C，使，在的反向延长线上取一点D，使，M为的中点，则 ． 【答案】5 【分析】根据题题意画出图形，求出，，即可得到答案．此题考查了线段之间的数量关系、线段中点的相关计算，准确推导线段之间的数量关系是解题的关键． 解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴，， ∴. 故答案为：5． 【题型7】与线段有关的动点问题 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据线段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键． （1）根据线段，C为的中点即可得AC的长； （2）依题意得：，然后分三种情况讨论如下：①当点C为的中点时，②当点P为的中点时，③当点Q为的中点时，再根据每一种情况画出图形，利用线段中点的定义列出方程求出x即可． 解:（1）线段，C为的中点， ． （2）存在． 依题意得：， 由（1）可知：， 分三种情况讨论如下： ①当点C为的中点时：则，如图1所示： ，， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②当点P为的中点时，则，如图1所示： ， ， ， ， 解得：； ③当Q为的中点时，则，如图2所示： ，， ， 解得：． 综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 【变式1】（22-23七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；             ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                 ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确； 故选：D 【变式2】（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯DE三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯DE移动.图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置.开关绕点O顺时针旋转180°后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4.已知，，则 mm. 【答案】24 【分析】结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点拨】题目主要考查线段间的数量关系，理解题意，结合图形求解是解题关键． 【题型8】两点之间线段最短 【例8】（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图，已知直线l和直线外三点A、B、C，请按下列要求画图． (1)画射线； (2)画直线； (3)在直线l上找一点P，使得的值最小． 【分析】本题考查作图—射线，作图—直线，两点之间线段最短．掌握射线、直线的定义，两点之间线段最短是解题关键． （1）根据射线的定义画出射线即可； （2）根据直线的定义画出直线即可； （3）根据两点之间线段最短，连接交直线于点P，此时最小． 本题考查射线，直线的定义，两点之间线段最短． 解:（1）如图，射线即为所作； （2）如图，直线即为所作； （3）如图，点P即为所作． 【变式1】（23-24七年级上·四川成都·期末）观察图形，下列有四种说法：①经过一点可以作无数条直线；②射线和射线是同一条射线；③三条直线两两相交，有3个交点；④．其中正确的个数为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据经过一点可以作无数条直线对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根据过3点的直线的条数对③进行判断；通过两点之间线段最短对④进行判断． 解：①经过一点可以作无数条直线，此说法正确； ②射线和射线是同一条射线，都是以为端点，同一方向的射线，此说法正确； ③三条直线两两相交时，可能有1个交点，也可能有三个交点，故题意说法错误； ④由两点之间线段最短可得，所以此说法正确； 所以共有3个正确． 故选：C． 【变式2】（16-17七年级·吉林松原·期末）用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，如图，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行作答即可． 解：依题意，能解释这一现象的数学道理是：两点之间，线段最短； 故答案为：两点之间，线段最短． 【题型9】两点间的距离 【例9】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为． (1)若， ①运动后，求的长． ②当D在线段运动上时，探究与的数量关系． ， ，， ， ， 与的数量关系为 ． (2)如果时，，直接写出的值． 【答案】(1)①；②4，， (2)9或11 【分析】本题考查两点间的距离，涉及列代数式，分类讨论的思想． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案．②用t表示出、、的长度即可得出； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 解:（1）①由题意可知：，， ∵，， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，，， 当点D在C的右边时，如图所示： 由于， ∴， ∴， ， 当点D在C的左边时，如图所示： ∴， ∴， 综上所述，或11． 【变式1】（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．考虑到、、三点之间的位置关系的多种可能，即点在点与之间或点在点的右侧两种情况进行分类讨论． 解：①如图1所示，当点在点与之间时， 线段，， ． 是线段的中点， ， ②当点在点的右侧时， ， 是线段的中点， ． 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）已知线段，线段，线段在线段上由点A向点B从左向右移动（点C不与点A重合，点D不与点B重合），若设线段，记图中所有线段的长度之和为S，则 ．（用含a，x的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，关键是正确计算所有线段的长度之和．，可得的含的代数式表示． 解：， 则， 故答案为：． 【题型10】直通中考 【例1】（2021·江苏泰州·中考真题）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　） A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 C．点C在A、B两点之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】分别对每种情况进行讨论，看a的值是否满足条件再进行判断． 解：①当点A在B、C两点之间，则满足， 即， 解得：，符合题意，故选项A正确； ②点B在A、C两点之间，则满足， 即， 解得：，不符合题意，故选项B错误； ③点C在A、B两点之间，则满足， 即， 解得：a无解，不符合题意，故选项C错误； 故选项D错误； 故选：A． 【点拨】本题主要考查了线段的和与差及一元一次方程的解法，分类讨论并列出对应的式子是解本题的关键． 【例2】（2021·内蒙古·中考真题）已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可． 解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2, ∴AD=AC=1    如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6, ∴AD=AC=3    故选C． 【点拨】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长． (2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2)；(3)能重合，；(4). 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到 ；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即． （2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 解：（1）根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当 时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，， ∴即． （2）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵， ∴， ∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点． ∴， ∴， 解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴． 解得：； 故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得， 解得：． 当时，线段与线段的长度相等． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【例2】（21-22七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；②; (2); (3) 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 解：（1），； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$