同角三角函数基本关系式及诱导公式 限时训练--2025届高三数学二轮复习

同角三角函数基本关系式及诱导公式 一、单项选择题 1．(★)(2023·扬州模拟)sin 1 050°等于(　　) A. B. － C. D. － 2．(★)(2023·昆明模拟)已知sin(3π＋α)＝，且α在第三象限，则cos α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 3．(★)(2024·徐州模拟)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 4．(★)(2024·泸州模拟)直线2x＋y－3＝0的倾斜角是θ，则的值是(　　) A．－3 B．－1 C．－ D．1 5．(★★)(2024·上海模拟)若实数α满足cos α＝tan α，则＋cos4α的值为(　　) A．2 B. C. D．1 6．(★★)如图所示，在半径为1的扇形AOB中(O为原点)，A(1,0)，∠AOB＝，点P(x，y)是上任意一点(含端点)，则xy＋x＋y的最大值为(　　) A.－ B．1 C.＋ D.＋ 二、多项选择题 7．(★)＋的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 8．(★)(2023·金华一中模拟)已知 sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　) A. sin θcos θ＝－ B. sin θ－cos θ＝ C. sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－ 三、填空题 9．(★)(2023·衡阳模拟)已知sin＝cos，则tan的值为________． 10．(★)(2024·合肥模拟)已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则＝________. 四、解答题 11．(★)已知3sin2α－4sin αcos α＋1＝0. (1)求tan α的值； (2)求的值． 12．(★★)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同角三角函数基本关系式及诱导公式 一、单项选择题 1．(★)(2023·扬州模拟)sin 1 050°等于(　　) A. B. － C. D. － 答案　B 解析　sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－. 2．(★)(2023·昆明模拟)已知sin(3π＋α)＝，且α在第三象限，则cos α等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　因为sin(3π＋α)＝－sin α＝，所以sin α＝－. 因为α在第三象限，所以cos α＝－＝－. 3．(★)(2024·徐州模拟)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　因为tan θ＝，所以＝，即4sin2θ＝cos2θ，即5sin2θ＝1，所以sin2θ＝， 因为θ∈，所以sin θ＝，cos θ＝， 故sin θ－cos θ＝－＝－. 4．(★)(2024·泸州模拟)直线2x＋y－3＝0的倾斜角是θ，则的值是(　　) A．－3 B．－1 C．－ D．1 答案　C 解析　由直线2x＋y－3＝0，可得直线的斜率为－2，所以tan θ＝－2， 又由＝＝＝＝－. 5．(★★)(2024·上海模拟)若实数α满足cos α＝tan α，则＋cos4α的值为(　　) A．2 B. C. D．1 答案　A 解析　由cos α＝tan α＝，则cos2α＝sin α， 又cos2α＋sin2α＝1，得＋cos4α＝＋sin2α＝＋sin2α ＝1＋sin α＋sin2α＝1＋cos2α＋sin2α＝2. 6．(★★)如图所示，在半径为1的扇形AOB中(O为原点)，A(1,0)，∠AOB＝，点P(x，y)是上任意一点(含端点)，则xy＋x＋y的最大值为(　　) A.－ B．1 C.＋ D.＋ 答案　D 解析　由题意知，x＝cos α，y＝sin α，0≤α≤， 则xy＋x＋y＝sin αcos α＋sin α＋cos α， 设t＝sin α＋cos α，两边平方得t2＝1＋2sin αcos α，即sin αcos α＝， 则xy＋x＋y＝sin αcos α＋sin α＋cos α ＝＋t＝(t＋1)2－1， t＝sin α＋cos α＝sin， ∵0≤α≤， ∴≤α＋≤， ∴≤t≤. ∴当t＝时，xy＋x＋y取得最大值＋. 二、多项选择题 7．(★)＋的值可能为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　BD 解析　令f(x)＝＋＝＋， 当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，则f(x)＝3； 当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，则f(x)＝1； 当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，则f(x)＝－3； 当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，则f(x)＝－1. 8．(★)(2023·金华一中模拟)已知 sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　) A. sin θcos θ＝－ B. sin θ－cos θ＝ C. sin θ－cos θ＝ D．tan θ＝－ 答案　ACD 解析　对于A，因为sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 即sin θcos θ＝－，所以A正确； 对于B，C，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－<0， 所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝，所以B错误，C正确； 对于D，联立 解得所以tan θ＝－，所以D正确． 三、填空题 9．(★)(2023·衡阳模拟)已知sin＝cos，则tan的值为________． 答案　 解析　由sin＝cos可得sin＝cos⇒sin＝cos⇒tan＝. 10．(★)(2024·合肥模拟)已知sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角，则＝________. 答案　－ 解析　因为sin α＝，cos α＝－，且α为第二象限角， 则解得m<－2或m>， 因为sin2α＋cos2α＝2＋2＝＝1， 整理可得2m2－7m＋3＝0，即(2m－1)(m－3)＝0，解得m＝(舍去)或m＝3， 所以sin α＝＝，cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝×＝－， 因此 ＝＝－1＋＝－1－＝－. 四、解答题 11．(★)已知3sin2α－4sin αcos α＋1＝0. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解　(1)方法一　因为sin2α＋cos2α＝1,3sin2α－4sin αcos α＋1＝0， 所以＋1＝0， 分子分母同时除以cos2α， 得＋1＝0， 即(2tan α－1)2＝0， 解得tan α＝. 方法二　因为3sin2α－4sin αcos α＋1＝0， 所以4sin2α－4sin αcos α＋cos2α＝0， 即(2sin α－cos α)2＝0，所以2sin α－cos α＝0， 所以tan α＝. (2)因为tan α＝，所以＝＝＝. 12．(★★)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－，求的值． 解　由已知，得sin x＋cos x＝， 两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－. 因为(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝， 由－π<x<0知，sin x<0， 又2sin xcos x＝－<0， 所以cos x>0，所以sin x－cos x<0， 故sin x－cos x＝－. 所以＝ ＝ ＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$