数列客观题 限时训练——2025届高三数学二轮复习

数列小题综合练 一、单项选择题 1．(★)(2024·湖北六校联考)若数列{an}为等差数列，且a1＝，a3＝，则sin a2 024等于(　　) A. B. C．－ D．－ 2．(★)(2024·烟台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差不为0，若a4，a5，a7构成等比数列，S11＝66，则a7等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 3．(★)已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时，有an－1an＋1＝e2n，则数列{ln an}的前20项和为(　　) A．190 B．210 C．220 D．420 4．(★)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－，a3＝－，则＋＋＋＋等于(　　) A．－44 B．－ C. D．11 5．(★★)(2024·江西鹰潭一中模拟)在等差数列{an}中，a1＝1，a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，将数列{an}与数列{Sn－1}的公共项从小到大排列得到新数列{bn}，则等于(　　) A．1 B. C. D. 6．(★★★)(2024·湖南湘东九校联考)设Tn为数列{an}的前n项积，若an＋2an＋1＝0，n∈N*，且a3－a4＝－96，当Tn取得最大值时，n等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 二、多项选择题 7．(★)(2023·南宁三中模拟)从1,2,3,4，…，2 024这些数据中选出“被3整除余2”且“被4整除余2”的数，并按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn，则下列对该数列描述正确的是(　　) A．a1＝2 B．数列为等差数列 C．数列{ln an}为等差数列 D．该数列{an}共有170项 8．(★★★)(2023·青岛第十九中模拟)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝＋＋…＋(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．an＝ B．Sn＝ C.＋＋…＋<3 D．若bn＝2n＋1an＋1，则b1＋b2＋…＋bn＝n·2n＋1 9．(★★★)已知等差数列{an}中，a1＝，公差为，bn＝tan an，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．bn＝(－1)n B．b1＋b2＋b3＋…＋bn＝ C．若cn＝anbn，则c1＋c2＋c3＋…＋cn＝π D．若dn＝bnSn，则d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝－π 10．(★★★)(2023·南京模拟)在平面四边形ABCD中，△ABD的面积是△BCD面积的2倍，数列{an}满足a1＝2，当n≥2时，恒有＝(an－1－2n－1)＋(an＋2n)，设{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．{an}为等比数列 B.为递减数列 C．{an}为等差数列 D．Sn＝(5－2n)2n＋1－10 三、填空题 11．(★★)如图所示，作边长为2的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，设第n个内切圆面积为Sn，则Si＝______________________. 12．(★★★)(2023·莆田模拟)已知数列{an}满足∀n∈N*，an∈，且a1＝，f(an＋1)＝，其中f(x)＝tan x．则tan a3＝________，若bn＝，则使得b1＋b2＋…＋bm>10成立的最小正整数m为________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数列小题综合练 一、单项选择题 1．(★)(2024·湖北六校联考)若数列{an}为等差数列，且a1＝，a3＝，则sin a2 024等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　由题意得，数列{an}为等差数列， 且a1＝，a3＝， 则d＝＝， a2 024＝a1＋2 023×＝， sin a2 024＝sin ＝sin ＝－sin ＝－. 2．(★)(2024·烟台模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差不为0，若a4，a5，a7构成等比数列，S11＝66，则a7等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　D 解析　因为Sn是等差数列{an}的前n项和， 所以S11＝11a6＝66，得a6＝6， 因为a4，a5，a7成等比数列，所以a＝a4a7， 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d(d≠0)， 则 解得a1＝－4，d＝2， 所以a7＝a1＋6d＝8. 3．(★)已知等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时，有an－1an＋1＝e2n，则数列{ln an}的前20项和为(　　) A．190 B．210 C．220 D．420 答案　B 解析　依题意得，等比数列{an}的各项都为正数，且当n≥2时，有an－1an＋1＝e2n， 所以a＝e2n，所以an＝en，当n＝1时，也符合上式，所以an＝en(n∈N*)， 所以ln an＝ln en＝n， 所以数列{ln an}的前20项和为1＋2＋…＋20＝＝210. 4．(★)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－，a3＝－，则＋＋＋＋等于(　　) A．－44 B．－ C. D．11 答案　A 解析　设T5＝＋＋＋＋， 则2T5＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋＋＝ ＝＝－88，所以T5＝－44. 5．(★★)(2024·江西鹰潭一中模拟)在等差数列{an}中，a1＝1，a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，将数列{an}与数列{Sn－1}的公共项从小到大排列得到新数列{bn}，则等于(　　) A．1 B. C. D. 答案　C 解析　因为等差数列{an}中，a1＝1，a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，设{an}的公差为d， 所以a＝a1a5，可得(1＋d)2＝1＋4d(d≠0)，解得d＝2， 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，则Sn＝＝n2，可得Sn－1＝n2－1， 由数列{2n－1}为正奇数列， 对于数列{n2－1}，当n＝2k－1(k∈N*)时，可得n2－1＝(2k－1)2－1＝4k(k－1)为偶数； 当n＝2k(k∈N*)时，可得n2－1＝4k2－1为奇数， 所以数列{an}与{Sn－1}的公共项从小到大排列得到数列{bn}的通项公式为bn＝4n2－1， 则＝ ＝＝， 所以 ＝ ＝＝. 6．(★★★)(2024·湖南湘东九校联考)设Tn为数列{an}的前n项积，若an＋2an＋1＝0，n∈N*，且a3－a4＝－96，当Tn取得最大值时，n等于(　　) A．6 B．8 C．9 D．10 答案　B 解析　由题易知，an≠0， ∵an＋2an＋1＝0， ∴＝－， 故{an}是公比为－的等比数列， ∵a3－a4＝－96， ∴a1－a1＝－96， 故a1＝－256. ∴an＝－256×n－1， ∴Tn＝(－256)n×0＋1＋2＋3＋…＋(n－1) ＝(－1)n－8n ＝， 要使Tn取得最大值，则为偶数，且取最小值， 由二次函数知识知，当n＝8或9时，取最小值，只有n＝8，使得为偶数符合要求． 二、多项选择题 7．(★)(2023·南宁三中模拟)从1,2,3,4，…，2 024这些数据中选出“被3整除余2”且“被4整除余2”的数，并按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn，则下列对该数列描述正确的是(　　) A．a1＝2 B．数列为等差数列 C．数列{ln an}为等差数列 D．该数列{an}共有170项 答案　AB 解析　将1到2 024这2 024个数中能被3整除余2且被4整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成首项为2，公差为12的等差数列， 则数列{an}的通项公式为an＝2＋12(n－1)＝12n－10，a1＝2，故A正确； 则Sn＝＝n(6n－4)， ∴＝6n－4，则数列为等差数列，故B正确； ln an＋1－ln an＝ln ，不为常数，故数列{ln an}不是等差数列，故C错误； 由2≤12n－10≤2 024知，1≤n≤169(n∈N*)，数列{an}共有169项，故D错误． 8．(★★★)(2023·青岛第十九中模拟)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝＋＋…＋(n∈N*)，Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．an＝ B．Sn＝ C.＋＋…＋<3 D．若bn＝2n＋1an＋1，则b1＋b2＋…＋bn＝n·2n＋1 答案　BCD 解析　因为an＋1＝＋＋…＋(n∈N*)， 当n＝1时，a2＝＝1， 当n≥2时，可得an＝＋＋…＋， 原式与之相减可得an＋1－an＝， 则an＋1＝an，可得＝， 所以数列从第二项开始为常数数列， 又＝，可得＝(n≥2)，即an＝(n≥2)， 所以an＝故A错误； 当n≥2时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝1＋＋＋…＋ ＝1＋(2＋3＋…＋n)＝1＋×＝， 当n＝1时，S1＝1也符合上式，故Sn＝，故B正确； ＝<＝4， 当n＝1时，＝＝1<3， 当n≥2时，＋＋…＋<1＋4 ＝1＋4<1＋4×＝3， 故C正确； 因为an＝ 所以bn＝2n＋1an＋1＝2n＋1×＝(n＋1)·2n； b1＋b2＋…＋bn＝Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)·2n 所以2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1， 两式相减可得 －Tn＝2×2＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1 ＝4＋－(n＋1)·2n＋1 ＝4＋2n＋1－4－(n＋1)·2n＋1 ＝－n·2n＋1，所以Tn＝n·2n＋1， 故D正确． 9．(★★★)已知等差数列{an}中，a1＝，公差为，bn＝tan an，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列说法正确的是(　　) A．bn＝(－1)n B．b1＋b2＋b3＋…＋bn＝ C．若cn＝anbn，则c1＋c2＋c3＋…＋cn＝π D．若dn＝bnSn，则d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝－π 答案　BCD 解析　由{an}为等差数列，a1＝，公差为， 得an＝＋(n－1)×＝(2n－1)， Sn＝na1＋d＝π. bn＝tan an＝tan ＝tan＝k∈N*， 当n＝1时，b1＝1，故A不正确； 当n为正偶数时，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝0， 当n为正奇数时，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1， 故b1＋b2＋b3＋…＋bn＝，故B正确； cn＝anbn＝k∈N*， c2k＋c2k－1＝－a2k＋a2k－1＝－. 当n为正偶数时，c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－π， 当n为正奇数时，c1＋c2＋c3＋…＋cn＝－π＋×(2n－1)＝π. 所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝π，故C正确； dn＝bnSn＝k∈N*， d2k－1＋d2k＝S2k－1－S2k＝[(2k－1)2－(2k)2]＝－(4k－1)． 所以d1＋d2＋d3＋…＋d2n＝(d1＋d2)＋(d3＋d4)＋…＋(d2n－1＋d2n) ＝－[3＋7＋…＋(4n－1)] ＝－××n＝－π，故D正确． 10．(★★★)(2023·南京模拟)在平面四边形ABCD中，△ABD的面积是△BCD面积的2倍，数列{an}满足a1＝2，当n≥2时，恒有＝(an－1－2n－1)＋(an＋2n)，设{an}的前n项和为Sn，则(　　) A．{an}为等比数列 B.为递减数列 C．{an}为等差数列 D．Sn＝(5－2n)2n＋1－10 答案　BD 解析　如图，连接AC交BD于点E，则∠AEB＝∠CED， 则 ＝ ＝＝2，即AE＝2EC， 所以＝2，所以－＝2(－)， 所以＝＋， 设＝t(t>1)， 因为当n≥2时，恒有＝(an－1－2n－1)＋(an＋2n)， 所以＝(an－1－2n－1)＋(an＋2n)， 则所以当n≥2时，恒有an＋2n＝2(an－1－2n－1)， 所以＝－2，即－＝－2， 又a1＝2，所以＝1， 所以数列是以1为首项，－2为公差的等差数列，所以为递减数列，故B正确； 所以＝1－2(n－1)＝－2n＋3， 所以an＝(－2n＋3)·2n， 因为＝＝不是常数，所以{an}不为等比数列，故A不正确； 因为an＋1－an＝(－2n＋1)·2n＋1－(－2n＋3)·2n＝(－2n－1)·2n不是常数，所以{an}不为等差数列，故C不正确； 因为Sn＝1×21＋(－1)×22＋(－3)×23＋…＋(－2n＋3)·2n， 所以2Sn＝1×22＋(－1)×23＋(－3)×24＋…＋(－2n＋3)·2n＋1， 两式相减得－Sn＝1×21－2(22＋23＋24＋…＋2n)－(－2n＋3)·2n＋1＝2－2×－(－2n＋3)·2n＋1＝10－(5－2n)·2n＋1， 所以Sn＝(5－2n)·2n＋1－10，故D正确． 三、填空题 11．(★★)如图所示，作边长为2的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，设第n个内切圆面积为Sn，则Si＝______________________. 答案　π 解析　设第n个正三角形的内切圆半径为an， 因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个正三角形的边长的， 每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的， 则×(2)2sin 60°＝3××2a1，解得a1＝1， 又a2＝a1，a3＝a2，…，an＝an－1(n≥2)， 所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列， 所以an＝1×n－1，则Sn＝πa＝π×n－1， 令Tn＝Si， 则Tn＝π， 所以Tn ＝π， 两式相减得Tn ＝π ＝π ＝π， 所以Tn＝π. 12．(★★★)(2023·莆田模拟)已知数列{an}满足∀n∈N*，an∈，且a1＝，f(an＋1)＝，其中f(x)＝tan x．则tan a3＝________，若bn＝，则使得b1＋b2＋…＋bm>10成立的最小正整数m为________． 答案　　121 解析　方法一　∵f′(x)＝(tan x)′＝′＝， ∴f′(an)＝， ∴tan a2＝f(a2)＝＝， 又a2∈，∴cos a2＝， ∴tan a3＝f(a3)＝＝， 可猜想tan an＝， 当n＝1时，tan a1＝tan ＝1成立； 假设当n＝k(k∈N*)时，tan ak＝成立， 那么当n＝k＋1时，∵tan ak＝，ak∈， ∴cos ak＝， ∴tan ak＋1＝f(ak＋1)＝＝， 综上所述，当n∈N*时，tan an＝. 方法二　∵f(x)＝tan x＝， ∴f′(x)＝＝1＋tan2x， ∵f(an＋1)＝， ∴tan an＋1＝， 即tan2an＋1－tan2an＝1， 又tan2a1＝tan2＝1， ∴数列{tan2an}是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴tan2an＝1＋(n－1)×1＝n， 又an∈， ∴tan an＝. 则tan a3＝. ∴bn＝＝－， ∴b1＋b2＋…＋bm＝－＋－＋…＋－＝－1>10， 解得m>120， ∴使得b1＋b2＋…＋bm>10成立的最小正整数m为121. 学科网（北京）股份有限公司 $$