5.1.2弧度制教学设计-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

教案标题：弧度制 【教学目标】 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 【教学重点】 弧度与角度之间的换算 【教学难点】 弧长公式、扇形面积公式的应用 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习 【教学手段】 计算机、投影仪． 【核心素养】 数学抽象、数学运算． 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 思考1　在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？ 答　 1度. 思考2　长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？ 答　若长度等于半径长的弧所对的圆心角为60°，用弧度制度量该角为1弧度. 二、归纳探索，形成概念 1.角度制和弧度制 角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 弧度制 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 2.角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的 绝对值是|α|＝. 思考　角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？ 答　 利用1°＝rad和1 rad＝()°进行弧度与角度的换算. 3.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝rad≈0.017_45 rad 1 rad＝°≈57.30° 4.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系. 度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π 扇形的弧长及面积公式 思考　扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则 α为度数 α为弧度数 扇形的弧长 l＝ l＝αR 扇形的面积 S＝ S＝lR＝αR2 三、掌握知识，适当延展 类型一　角度与弧度的互化 例1　将下列角度与弧度进行互化. (1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－. 解 (1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－. (3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°. 反思与感悟　(1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值. 跟踪训练1　(1)把112°30′化成弧度； (2)把－化成度. 解　(1)112°30′＝°＝×＝. (2)－＝－°＝－75°. 类型二　利用弧度制表示终边相同的角 例2　把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°；　(2)；　(3)－4. 解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角. (2)∵＝2π＋， ∴与终边相同，是第四象限角. (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角. 反思与感悟　用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练2　设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角. 解　(1)∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋， α2＝750°＝＝＝2×2π＋. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限. (2)β1＝π＝×180°＝108°， 设θ＝108°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°， 得k＝－2，或k＝－1. 故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－＝－60°， 设θ＝－60°＋k·360°(k∈Z)， 则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤－60°＋k·360°<0°， 得k＝－1或k＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°和－60°. 类型三　扇形的弧长及面积公式的应用 例3　已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值. 解　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r. ∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r ＝－2＋. ∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<， ∴当r＝时，Smax＝. 此时，l＝a－2·＝， ∴α＝＝2. 故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为. 反思与感悟　(1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个. (2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数. 跟踪训练3　一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解　设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝lR， 得1＝(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2， 即扇形的圆心角为2 rad. 四、归纳小结，提高认识 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用 “180°＝π rad”这一关系式． 易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数． 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度. 学科网（北京）股份有限公司 $$