精品解析：湖南省祁阳市第一中学2024-2025学年高二上学期11月考试数学试题

2024年下学期高二年级11月考试数学试题卷 考生注意： 1、本科目试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考室号、座位号填入相应位置内. 2、客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上.考试结束时，只交答题卡，试题卷请妥善保管. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 2. 已知直线与平行，则实数的值是（ ） A. 2或 B. C. 或1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，斜率相等可求得结果. 【详解】因为直线与平行， 所以，解得，， 当时，两直线重合，舍去， 所以实数的值是. 故选：B. 3. 已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减的等差数列 B. 数列的首项为正数 C. 的最大值是20 D. 是中的项 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到该数列为等差数列，依据公差的正负可判断A，根据通项公式可求得B，根据首项以及公差可求得C，根据数列中每一项的特征可判断D. 【详解】，即，则是公差为的等差数列， 对于A，等差数列公差，所以是递减的等差数列，A选项正确； 对于B，等差数列公差，由，有，解得， 所以数列的首项为正数，B选项正确； 对于C，， 时，；时；时，， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，由可知，中的项都是偶数， 所以不是中的项，D选项错误. 故选：D. 4. 已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆的性质可分别求得的值，即可得到结果. 【详解】椭圆上的点到左焦点的最大值为，椭圆上的点到左焦点的最小值为， 联立，解得，， 根据，得，则椭圆方程是. 故选：D. 5. 如图，在正方体中，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量法求点面距离或者用等体积法可求得结果. 【详解】法1：以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， ， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的法向量为， 则点到平面的距离为； 法2：点到平面的距离与点到平面的距离相等， ， ， 解得； 所以点到平面的距离为. 故选：C. 6. 已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（ ） A. 或0 B. C. 或0 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大，此时圆心到对称轴的距离为4，根据点到直线的公式建立方程求解即可. 【详解】由题易知两圆不可能相交或相切， 如图，当过两圆圆心且与对称轴垂直又远离对称轴时，长度最大， 此时圆心到对称轴的距离为4， 所以，即，解得或. 故选：A. 7. 已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解； 【详解】 设点，，直线， 联立，化简为，， ，， ， ， ，， ，， ，，， 又，直线与横轴交点的横坐标为2， ，， 则. 故选：B. 8. 设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题： ①当时，是函数的一个对称中心； ②当时，函数在上单调递增； ③函数的值域是； ④对任意的实数，任意的正整数，恒成立. 其中是真命题的为（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集个数确定数列通项公式，求得，对于①②根据余弦函数的图象与性质判断即可，对于③根据二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值判断即可，对于④根据余弦函数的有界性及等比数列求和判断即可. 【详解】由集合的子集个数为知，，所以，， 对于①：，所以， 因为， 所以不是函数的一个对称中心，故①错误； 对于②：因为，所以，令， 则在上单调递增，所以函数在上单调递增，故②正确； 对于③：， 所以当时，取最大值，所以当时，取最小值， 即函数的值域是，故③正确； 对于④：，故④正确； 综上，真命题为②③④. 故选：D 【点睛】关键点点睛：（1）掌握余弦函数的图象与性质及复合函数的值域求解，（2）利用三角函数的有界性对不等式放缩，再结合等比数列前n项和进一步放缩判断. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则直线的方程为 B. 若点是圆上任意一点，则的最大值为 C. 若直线与圆相切于点，则 D. 若直线与圆相切，则直线的方程为或 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线过圆心，再结合直线的点斜式方程即可判断A，由的最大值为，即可判断B，由勾股定理代入计算，即可判断C，分切线的斜率存在于不存在代入计算，结合列方程计算，即可判断D. 【详解】对于A中，由圆，得圆心，半径， 若圆关于直线对称，则直线经过圆心，所以直线的斜率为， 此时直线方程为，即，所以A正确； 对于B中，由，的最大值为，所以B错误； 对于C中，若直线与圆相切于点， 则，，所以C正确； 对于D中，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即，若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，若直线与圆相切，则直线的方程为或，所以D正确. 故选：ACD 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为1，则 B. 若，则点的的纵坐标为 C. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于，两点，若，则曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式即可判断A，结合双曲线的定义以及等面积法代入计算，即可判断B，由三角形内切圆的定义以及双曲线的定义代入计算，即可判断C，由三角形的面积公式代入计算可得，然后联立切线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，设双曲线其中一条渐近线方程为， 焦点到渐近线的距离为， ，，故A正确； 对于B，双曲线定义，， 由等面积可得，，故B错误； 对于C，设内切圆的圆心为，内切圆于相切于点，，，如图所示， 则，且，，， 由于，所以， 而，所以，所以， 所以圆心总在定直线上，故C正确； 对于D，过点的切线与双曲线切于点，设，， 又均在双曲线的渐近线上，故设，， 设，则，， ， 在双曲线上取一点，因为在双曲线上， 构造， 且以及，将两式相减可得， 即， 当趋近于时（也就是求切线的情况），此时所在直线就趋近于过的切线， 令表示切线的方向向量，， 上式可化为，则是切线的法向量， 由直线的点法式可得， 整理可得， 所以过点的切线方程为：，即， 代入，化简得， 又，， 即，， ，则曲线的渐近线方程为，故D正确； 故选：ACD 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得平面平面 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角不变 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直可判断A，利用面面平行的判定定理可判断B，根据等体积法可判断C，向量法求线面角的正弦值可判断D. 【详解】平面，四边形是正方形， 以为坐标原点，，，正方向为，，轴， 可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，； 对于A，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得， 即点与重合时，，A正确； 对于B，当为的中时，平面平面， ，分别为，的中点，， 平面，平面，则平面， 取中点为，连接，， 为中点，且， 所以四边形为平行四边形，， 同理可证，，， 平面，平面，则平面， ，平面， 平面平面，B正确； 对于C，连接，，，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值2； 又点到平面的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 显然点自向处运动时，的值由0到2变化，线面夹角的正弦值变化， 所以线面夹角不是定值，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的摄影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项数列中，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据对数的运算得到等比数列，再结合等比中项可求得结果. 【详解】，可得， 所以，数列是公比为的等比数列， 因为，且，则，所以. 故答案为：. 13. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 如图所示：连接与交于点，或其补角为异面直线与所成角，根据余弦定理计算得到答案. 【详解】如图所示：连接与交于点，为中点，连接，则， 故或其补角为异面直线与所成角， ，，， 根据余弦定理：. 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先作辅助线，根据双曲线的对称性以及双曲线的定义得到边长之间的关系，再结合勾股定理可求得离心率. 【详解】延长与双曲线交于点，因为， 根据对称性知，四边形为平行四边形， ， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在中，由勾股定理得， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：求双曲线的离心率： （1）熟练掌握双曲线的定义：双曲线上一点到两焦点的距离差的绝对值为定值； （2）双曲线的对称性得到边长之间的关系是解题的关键； （3）根据勾股定理构造等式，进而求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，是平面内的一个动点，且，点为坐标原点. （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与只有一个公共点，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出点坐标，求出、坐标，根据已知条件利用向量的坐标运算即可求解； （2）写出圆的标准方程，根据两圆位置关系，分两圆内切和外切两种情况，得到方程，解方程即可求解. 【小问1详解】 设，则，， 因为，可得，即 所以动点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由圆，可得为圆， 则满足，解得，且圆心，半径， 又由圆心，半径为3， ①当两圆内切，可得，即， 整理有：，解得： ②当两圆外切，可得，即， 整理有：，解得： 且满足，所以或. 16. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项. （1）求和2的调和中项； （2）已知调和数列，，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列新定义和等差中项计算即可； （2）先由数列新定义求出公差，再由基本量法求出通项，然后裂项相消求出即可； 【小问1详解】 设和2的调和中项为，依题意得：4、、成等差数列， 所以，解得： 故和2的调和中项为； 【小问2详解】 依题意，是等差数列，设其公差为， 则， 所以， 故.则， ， . 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求平面与平面夹角的正切值. 【答案】（1）证明：连接， 底面为菱形，且，为的中点， ，为等边三角形，故， ，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据菱形的特征得到线面垂直，即可得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个面的法向量，根据夹角的余弦公式可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于点，由（1）得平面平面， 因为平面平面，平面， 平面， 由，，得，，， 又，，， 根据，得，则， ，以，分别为轴，轴，过作的平行线为轴， 建立如图空间直角坐标系， 故，，，， ，，， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 则，， 所以平面与平面夹角的正切值为. 18. 已知椭圆的右焦点，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）或； （ii）设的中点为，则为的垂直平分线， 而，， 故，故， 故的直线方程为：， 令，则，故，， 而在椭圆上，故， 整理得，该方程无解，所以不存在满足条件的点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义及性质可求得结果； （2）（i）先考虑斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，求出弦长，再根据三角形的面积可求出结果；（ii）根据菱形对角线互相垂直平分可构造出等式，即可求得结果. 【小问1详解】 由题可知，左焦点， ，， ，， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 （i）由题设，斜率不存在时，，不符题意， 设方程为，，，， 由， ，， ， 原点到直线的距离， ， 解得：直线方程为：或； （ii）略 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程； （2）射线的方程，如果双曲线经“伸缩变换”后得到双曲线，若射线与双曲线、分别交于两点、，且，求双曲线的方程； （3）对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得，若，，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中给的新定义可求得结果； （2）先根据伸缩变换得到双曲线方程，再联立方程求得两点坐标，根据两点间的距离公式可求得结果； （3）先根据变换得到表达式，根据累乘法可求得结果. 【小问1详解】 由条件得，得； 【小问2详解】 、关于原点“伸缩变换”，对作变换， 得到， 解方程组得点的坐标为； 解方程组得点的坐标为； ， 化简后得，解得，， 因此双曲线的方程为或； 【小问3详解】 对作变换 得抛物线，得， 又，，即， 则， 则，即. 【点睛】关键点点睛： （1）依据定义求出变换后的曲线方程，再结合题设条件从而得参数的大小或关系； （2）数列通项的求法应依据递推关系的形式，形如这样的递推关系，可用累乘法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期高二年级11月考试数学试题卷 考生注意： 1、本科目试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考室号、座位号填入相应位置内. 2、客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卡上.考试结束时，只交答题卡，试题卷请妥善保管. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与平行，则实数的值是（ ） A. 2或 B. C. 或1 D. 2 3. 已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减的等差数列 B. 数列的首项为正数 C. 的最大值是20 D. 是中的项 4. 已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，关于直线对称的圆记为，点，分别为，上的动点，长度的最大值为12，则（ ） A. 或0 B. C. 或0 D. 0 7. 已知为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，且位于轴的两侧（在的上方），（其中为坐标原点），则（ ） A. B. C. D. 8. 设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题： ①当时，是函数的一个对称中心； ②当时，函数在上单调递增； ③函数的值域是； ④对任意的实数，任意的正整数，恒成立. 其中是真命题的为（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在直线上，圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则直线的方程为 B. 若点是圆上任意一点，则的最大值为 C. 若直线与圆相切于点，则 D. 若直线与圆相切，则直线的方程为或 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，则（ ） A. 若到渐近线的距离为1，则 B. 若，则点的的纵坐标为 C. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在定直线上 D. 过点作双曲线的切线交渐近线于，两点，若，则曲线的渐近线方程为 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得平面平面 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角不变 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项数列中，，且，则_____. 13. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14. 已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，是平面内的一个动点，且，点为坐标原点. （1）求动点的轨迹方程； （2）圆与只有一个公共点，求的值. 16. 若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数、、依次成调和数列，则称是和的调和中项. （1）求和2的调和中项； （2）已知调和数列，，，求数列的前项和. 17. 如图，四棱锥的底面为菱形，，为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若，，求平面与平面夹角的正切值. 18. 已知椭圆的右焦点，且经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）若斜率存在，是否存在椭圆上一点及轴上一点，使四边形为菱形？若存在，求，若不存在，请说明理由. 19. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比. （1）已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程； （2）射线的方程，如果双曲线经“伸缩变换”后得到双曲线，若射线与双曲线、分别交于两点、，且，求双曲线的方程； （3）对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得，若，，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $