5.2.2 函数的和、差、积、商的导数学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第5章——导数及其应用 江苏省启东中学高二数学讲义 高二 班 姓名： 学号： A 第5章 导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 【学习目标】 1．理解函数的和、差、积、商的求导法则； 2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 【温顾·习新】 一、f(x)±g(x)的导数 思考1　设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？ 思考2　令y＝f(x)＋g(x)，如何求该函数的导数？ 【研讨·拓展】 【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cos x； (2)y＝lg x－ex． 【变式1-1】求下列函数的导数：(1)f＝x2＋sin x；(2)g＝x3－x2－6x＋2． 二、f(x)g(x)和的导数 思考3　设f(x)＝x3，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？′与是否相等？ 思考2　令y＝f(x)g(x)，如何求该函数的导数？y＝又该如何？ 填空　设两个函数f(x)，g(x)可导，则 和的导数 (f(x)＋g(x))′＝ 差的导数 (f(x)－g(x))′＝ 积的导数 (Cf(x))′＝ (C为常数) (f(x)g(x))′＝ 商的导数 ′＝ (g(x)≠0) 做一做　(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．′＝1＋ B．(sin x＋cos x)′＝cos x－sin x C．′＝ D．(x2cos x)′＝－2xsin x 【例2】求下列函数的导数． (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (2)y＝； (3)y＝3xex－2x＋e； (4)y＝． 【变式2-1】下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′＋(c)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C．′＝ D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x 【变式2-2】求下列函数的导数． (1)y＝(x2＋1)(x－1)； (2)y＝3x＋lg x； (3)y＝x2＋tan x； (4)y＝； (5)f(x)＝(x2＋9)； (6)f(x)＝． 【变式2-3】等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________． 【例3】已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图象是(　　) 【变式3-1】如图，有一个图象是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且a≠0)的导函数的图象，则f(－1)等于(　　) A． B．－ C． D．－或 【例4】已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式． 【变式4-1】设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________． 【变式4-2】已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________． 【例5】已知函数f(x)＝ax3－x2－x＋b(a，b∈R，a≠0)，g(x)＝ex，f(x)的图象在x＝－处的切线方程为y＝x＋． (1)求a，b的值； (2)直线y＝x＋是否与函数g(x)的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由． 【变式5-1】已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________． 【变式5-2】(多选)过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能为(　　) A．3x＋y＝0 B．24x－y－54＝0 C．3x－y＝0 D．24x－y＋54＝0 【例6】若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 【变式6-1】(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝3sin x B．f(x)＝x3＋x2 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x 【例7】已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 【总结提炼】 1．牢记导数的运算法则． 2．掌握运用法则求导的方法：在运用法则求导时，对于复杂的函数可先化简函数解析式再求导． 3．注意1个易错点(f(x)g(x))′≠f′(x)g′(x)． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·2· ·1· 学科网（北京）股份有限公司 $$