精品解析：内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

赤峰第四中学2024—2025学年第一学期月考试题 高二数学 一､单选题（每题5分共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项/符合题目要求） 1. 过点，斜率为2的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点斜式方程直接写出答案，再转化为一般式方程即可. 【详解】根据点斜式方程得直线方程为，化简得. 故选：A. 2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程的定义得到答案. 【详解】根据题意有，所以. 故选：C. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设列出关于的方程组结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意得，即. 故选：B. 4. 今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ） A. 甲24000元，乙24000元 B. 甲32000元，乙16000元 C. 甲40000元，乙8000元 D. 甲36000元，乙12000元 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配. 【详解】乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为， 所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理， 所以甲元，乙元， 故选：D. 5. 已知直线，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点. 【详解】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C 6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用点的坐标表示出点的坐标，再代入直线的方程化简即得. 【详解】设点，由，得点，又点在直线上， 因此，整理得， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 8. 已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆与圆的位置关系及椭圆的定义可得P点轨迹为椭圆，进而求出轨迹方程. 【详解】圆和的圆心、半径分别为， 由，得点在圆内，设动圆半径为， 依题意，，，则， 因此P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，即， 而圆内切于，切点在P点的轨迹上，此点可视为极限位置的点， 所以椭圆方程为. 故选：D 二､多选题：（每题6分共18分，每个小题给出的四个选项中，有多项/符合题目要求，全选对得6分，有部分选对给部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 两平行直线之间的距离为 D. 已知直线，则“”的充要条件是“或” 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的相关定义和性质，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，故倾斜角为，故A正确； 对于B，直线经过，且在轴和轴上的截距均为，互为相反数，但该直线并不是，故B错误； 对于C，两直线的方程分别是和，故距离，故C正确； 对于D，当时，“或”成立，但中的系数均为零，直线不存在，不可能有“”，所以原条件不可能为充要条件，故D错误. 故选：AC. 10. 点在圆上，点在上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C. 的取值范围为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出两圆圆心坐标和半径确定两圆位置判断AD；求出两圆公共的对称轴判断B；利用圆上点最值关系判断C正确.. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，由，得圆外离，这两个圆有4条公切线，A错误； 对于B，直线的方程为上，因此直线为两圆的公共对称轴，B正确； 对于C，，，则的取值范围为， C正确； 对于D，由圆外离，得圆不存在公共弦，D错误. 故选：BC 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由“双纽线”定义判断A；由“双纽线”定义得到，再计算判断B；由“双纽线”定义和椭圆定义判断C；设，由勾股定理得到，再解方程判断D. 【详解】对于A，，由定义知，A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，，B错误； 对于C，椭圆的焦点坐标恰好为与， 则，由，得， 则，，C正确； 对于D，设，则，而，则， 又， 则，化简得，解得，， 因此1，，D正确. 故选：ACD 三､填空题：（每题5分共15分，） 12. 已知椭圆的焦点在轴上且焦距为4，则的值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据之间关系以及焦距的概念即可得到答案. 【详解】由题意知，且，则， 所以，解得. 故答案为：8. 13. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为： 14. 已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为__________. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据给定条件，可得为等边三角形，结合对称性得在轴上，求出点的坐标，再由直线的斜率求出椭圆的离心率． 【详解】由，且，得为等边三角形，点在线段的中垂线，即轴上， 令椭圆半焦距为，则，而点，且直线的斜率为， 因此，所以的离心率为. 故答案为： 四､解答题（共5题77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点在上. （1）若为的中点，证明：平面； （2）若，三棱锥的体积为，试求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，再证明即可. （2）根据三棱锥的体积为求出三棱锥的体积为，可求得到平面的距离为，再根据平面且即可求得. 【小问1详解】 连接交于，连接， ∵为矩形，∴为的中点， 又为的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 由题设平面，平面，故， ，则，，∴的面积为. 又因为平面，且， 则棱锥的体积为， 因为三棱锥的体积为， 所以棱锥的体积为， ∴到平面的距离满足，即. ∵平面，平面，∴平面平面， 过在平面内作，垂足为，则平面， 而平面，于是. ∵，∴，则. 16. 在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程. （2）由垂径定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 依题意，线段的中点，直线的斜率， 则线段的垂直平分线的方程为，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由直线被曲线截得弦长为，得圆心到直线的距离 因此，解得， 所以实数的值为. 17. 2024年11月13日，赤峰朝聚眼科医院医生和护士来到赤峰四中对全部学生进行视力普查和视力保护宣传.为配合此次活动，我校组织学生开展了题为“保护双眼，看清世界”的护眼知识竞赛.现抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数（用分数表示）； （3）若甲､乙两位同学获得参加第二轮的复赛资格，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】（1），2人； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1，求出的值，再求出成绩不高于60分的人数，按分层抽样的概念，计算成绩不高于50分的人数. （2）根据频率分布直方图估计中位数. （3）利用对立事件与独立事件的概率公式求出事件的概率. 【小问1详解】 由，解得， 成绩不高于50分的人数为：，在内的人数为， 所以不高于50分的抽取（人）. 【小问2详解】 由图知，学生成绩在内的频率为0.4，在内的频率为0.3， 则学生成绩中位数，因此，解得， 所以中位数为. 【小问3详解】 记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A， 则， 所以至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面且为中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算对应线段的方向向量，利用向量的数量积为零，证明可得； （2）利用空间坐标计算两个面的法向量，然后利用法向量与二面角的关系计算面面角余弦值. 【小问1详解】 取中点，连接，由，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，过作，由，得，， 而，平面，则，， 以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 由，，得，，，，， 中点，则，， 因此，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面的法向量，则， 令，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点 （1）求椭圆的方程； （2）点，过点做两条直线分别交椭圆于两点，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将已知点代入，利用参数的关系得到方程； （2）利用条件计算得到关于原点对称，然后说明点满足恒为定值，即可证明结论. 【小问1详解】 根据已知有，故. 将代入方程可知，故. 故，，，从而的方程是. 【小问2详解】 注意到是的右顶点，而， 故可设的方程分别是和，其中. 将和联立，得， 在的情况下，可以得到. 此即，故，， 所以. 用替换，同理可得，即. 故根据坐标可知关于原点对称，故直线经过，而， 垂足在直线上，所以.这表明在以为直径的圆上， 再设，则是的中点，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将直线和椭圆联立，并利用几何性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰第四中学2024—2025学年第一学期月考试题 高二数学 一､单选题（每题5分共40分，每个小题给出的四个选项中，只有一项/符合题目要求） 1. 过点，斜率为2的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ） A. 甲24000元，乙24000元 B. 甲32000元，乙16000元 C. 甲40000元，乙8000元 D. 甲36000元，乙12000元 5. 已知直线，则直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 6. 已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：（每题6分共18分，每个小题给出的四个选项中，有多项/符合题目要求，全选对得6分，有部分选对给部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 经过点，且在轴，轴上截距互为相反数的直线方程为 C. 两平行直线之间的距离为 D. 已知直线，则“”的充要条件是“或” 10. 点在圆上，点在上，则（ ） A. 两个圆的公切线有2条 B. 两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C. 的取值范围为 D. 两个圆的公共弦所在直线的方程为 11. 如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. 点在曲线上 B. 点在上，则 C. 点在椭圆上，若，则 D. 过作轴的垂线交于两点，则 三､填空题：（每题5分共15分，） 12. 已知椭圆的焦点在轴上且焦距为4，则的值为__________. 13. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 14. 已知是椭圆的左､右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，且，则的离心率为__________. 四､解答题（共5题77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点在上. （1）若为的中点，证明：平面； （2）若，三棱锥的体积为，试求的值. 16. 在平面直角坐标系中，圆经过和点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线被圆截得弦长为，求实数的值 17. 2024年11月13日，赤峰朝聚眼科医院医生和护士来到赤峰四中对全部学生进行视力普查和视力保护宣传.为配合此次活动，我校组织学生开展了题为“保护双眼，看清世界”的护眼知识竞赛.现抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数（用分数表示）； （3）若甲､乙两位同学获得参加第二轮的复赛资格，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面且为中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值 19. 已知椭圆的离心率为，且过点 （1）求椭圆的方程； （2）点，过点做两条直线分别交椭圆于两点，且为垂足，证明：存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $