精品解析：黑龙江省佳木斯第二中学2025届高三上学期第二次月考数学试卷

佳木斯第二中学高三学年第二次月考试题 数学试卷 本试卷分选择题部分和非选择题部分.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必按要求填写考生信息并在指定位置粘贴条形码. 2.选择题部分，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.选择题部分不能答在试题卷上. 3.非选择题部分各题的答案，必须书写在答题卡指定的区域，指定区域外答题不得分. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是 A. B. C. D. 4. 已知函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数且的图象可能为（ ） A. B. C. D. 7. 定义运算，若，则等于 A. B. C. D. 8. 函数在区间上所有零点的和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中,最小值为2的是 A. B. C. D. 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数（其中），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 C. 图象的对称中心为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为正实数，且，则当取最小值时，_________. 13. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________ 14. 对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”.若函数在定义域上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图为函数（，，）的图象的一段． （1）求其解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数图象的对称轴方程． 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 17. 已知函数在区间上的最大值为2. （1）求的值和求取得最大值时的取值集合； （2）若对任意的恒成立，求实数约取值范围. 18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若时，的图象恒在轴上方，求的范围； （3）若存在不相等的实数，使得，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳木斯第二中学高三学年第二次月考试题 数学试卷 本试卷分选择题部分和非选择题部分.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必按要求填写考生信息并在指定位置粘贴条形码. 2.选择题部分，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.选择题部分不能答在试题卷上. 3.非选择题部分各题的答案，必须书写在答题卡指定的区域，指定区域外答题不得分. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式解法求集合，进而求交集. 【详解】由题意可得：， ， 所以. 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角的三角函数关系计算可得结果. 【详解】因为，， 故，故， 故选：B． 3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：偶函数需要满足，由此验证可知A，C，D都是偶函数，但要满足在区间上单调递减，验证可知只有C符合． 考点：函数的单调性和奇偶性． 【易错点晴】B,C,D都是基本初等函数，单调性和奇偶性很容易区分清楚，而对于A选项，若则为单调递增函数且为非奇非偶函数；若则为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增.对于含有绝对值的函数，按去绝对值的方法分成两段来解决. 4. 已知函数（且）的图象恒过点，且点在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先得出点的坐标，然后可解出，再根据齐次式化简技巧将目标式化简求值. 【详解】根据对数函数的性质，易知点，故， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查对数函数的性质运用，考查同角三角函数关系式的化简求值问题，难度一般.对于齐次式化简求值问题，可分子分母同除以，利用的值求解. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及余弦函数的性质判断即可. 【详解】因为在上单调递减，所以， ，又，即， 所以. 故选：D 6. 函数且的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，再由，可得结果. 【详解】由题可知函数的定义域为关于原点对称， ， 则，可知该函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除AC； 又当时，，排除D. 故选：B. 7. 定义运算，若，则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由定义运算知，即，又 ，又，，． 考点：同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用 8. 函数在区间上所有零点的和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出. 【详解】因为， 令，则， 则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标， 可得和的函数图象都关于直线对称， 则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示. 观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点， 即有8个零点，且关于直线对称， 故所有零点的和为. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中,最小值为2的是 A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】 对A,根据二次函数的最值判定即可. 对B,利用基本不等式判定即可. 对C,利用基本不等式判定即可. 对D,根据指数函数的值域判定即可. 【详解】对A, ,当且仅当时取等号.故A正确. 对B, ,当且仅当时取等号.故B正确. 对C, .取等号时,又故不可能成立.故C错误 . 对D,因为,故.故D错误. 故选：AB 【点睛】本题主要考查了函数最值的运算,属于基础题. 10. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由即可判断A；根据诱导公式，先将转化为，再根据两角的差的正弦公式，即可判断B；根据诱导公式及同角三角函数的平方关系即可判断C；先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简，即可判断D． 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以 ，故B正确； 对于C，设， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，，故D正确， 故选：BCD． 11. 已知函数（其中），函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. 的表达式可以写成 B. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 C. 图象的对称中心为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，可以由两个特值；得到和；对于B，求出平移后的函数解析式，结合正弦函数性质判断；对于C，结合正弦型函数的性质求对称中心判断；对于D，结合图象列不等式，解不等式判断D． 【详解】对A，由图分析可知：得； 由，得，即， 又，所以， 又， 所以，即得，， 又，所以， 所以，故A错误； 对B，向右平移个单位后得 ， 为奇函数，故B正确； 对于C，， 令（）得（）， 所以对称中心，，故C不正确； 对于D，由，得， 因为，所以， 令、、、、、， 解得、、、、、． 又在上有6个根，则根从小到大为、、、、、． 再令，解得，则第7个根为，，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为正实数，且，则当取最小值时，_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据常值代换1的活用应用基本不等式求解，注意计算取等条件即可. 【详解】因为， 所以, 当且仅当即时取最小值. 故答案为：. 13. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可. 【详解】由只有第5项的二项式系数最大可得：. ∴通项公式， 令，解得. ∴展开式中含项的系数为. 故答案为：. 14. 对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”.若函数在定义域上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数是定义在上的“局部奇函数”，只需方程有解．可设，从而得出方程在时有解，，从而设，由函数单调性分析可得答案． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知： 若函数是定义在上的“局部奇函数”， 则方程有解，即有解； 整理可得， 即有解即可. 设，当且仅当，即时，等号成立. 则方程有解等价为在时有解， 等价为在时有解， 设，可知在内单调递增，则， 则，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图为函数（，，）的图象的一段． （1）求其解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数图象的对称轴方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】(1)根据图像以及已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，然后通过代点求出即可；(2)首先通过平移变换求出，然后结合正弦函数的性质，利用整体代入法求对称轴即可. 【小问1详解】 由图象和已知条件知，，， 则，故． 由图像可知，当时，， 故，，即，， 又，所以． 故所求解析式为． 【小问2详解】 结合(1)中条件可知，， 令，，则，， 故函数图象的对称轴方程为:，． 16. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求和的值； （2）求的单调区间与最大值． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线斜率，求出，并根据得到； （2）求出定义域，求导，解不等式，得到函数单调性，求出最大值. 【小问1详解】 ， 所以，切线方程为， 又，所以，则． 【小问2详解】 的定义域为． ，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以的最大值为． 17. 已知函数在区间上的最大值为2. （1）求的值和求取得最大值时的取值集合； （2）若对任意的恒成立，求实数约取值范围. 【答案】（1）；取得最大值时，的取值集合为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，得，然后由，求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其最大值，则可求出的值，由可求得取得最大值时的取值集合； （2）方法一：记，则问题转化为，在上恒成立，令，然后利用二次函数的性质列不等式组可求得结果，方法二：记，则问题转化为，在上恒成立，令，则由对勾函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 解： ， ， ∴， ∴函数的最大值为， ， ， 令，解得， 即时，函数取得最大值 【小问2详解】 解法一：记，则 由恒成立，可知，在上恒成立 令的图象开口向上，对称轴为， 要使在上恒成立， 只需， 解得， 所以实数的取值范围是. 解法二：记，则 由恒成立，可知，在上恒成立 即恒成立， 因为，所以， 令，因为在上单调递减，在上单调递增 又. 当时，不等式恒成立. 所以实数的取值范围是 18. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）试根据的独立性检验，分析社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从M社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式及数据：，其中. 【答案】（1）有关 （2） （3），，， 【解析】 【分析】（1）由独立性检验相关知识可得答案； （2）由题结合全概率公式可得答案； （3）由题可得，后由期望与方差性质可得答案. 【小问1详解】 假设：M社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关. 由给定的列联表，得：. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为是否喜欢网上买菜与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 设表示周在A平台买菜，表示周在B平台买菜， 由题可得， 由全概率公式，小张周二选择平台买菜的概率为： ； 【小问3详解】 依题意，喜欢网上买菜的概率为：. 从M社区随机抽取20名市民，其中喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布：，所以，. 又，所以，. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若时，的图象恒在轴上方，求的范围； （3）若存在不相等的实数，使得，证明：. 【答案】（1）时，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） （3）证明：， 由（1）可知，当时，在上是增函数， 故不存在不相等的实数，使得，所以. 由得，即， 不妨设，则，则， 要证，只需证， 即证，只需证， 令，则只需证，即证， 令，则， 所以在上是增函数，所以， 从而，故 【解析】 【分析】（1）分类讨论解不等式，求解函数的单调性； （2）化简不等式，构造新函数，利用导数求最值，由此求参数范围即可； （3）化简设新的参数解决双元问题，应用新函数求导函数结合单调性证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，，所以在上单调递增； 当时，由得，所以在上单调递增； 由得，所以在上单调递减； 故时，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由的图象恒在轴上方，可得 因为且，不等式两边同时除以，可得 设可得 令，解得 令，解得 所以在上单调递增，在上单调递减 所以当时取得最大值， 所以即所以的范围是 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：化简设新的参数解决双元问题，应用新函数求导函数结合单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $