2025年中考数学一轮复习 第二章 方程（组）与不等式（组） 第一节 一次方程（组）及其应用课件

第二章 方程（组）与不等式（组） 第一部分 中考考点梳理 第一节 一次方程（组）及其应用 2025年中考数学一轮复习 1 考点梳理 1.等式的基本性质［基础点］ 性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等.即如果<m></m>,那 么<m></m>. 性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即如果 <m></m>,那么<m></m>；如果<m></m>，那么<m></m>. 2 回练课本 1.下列等式变形正确的是( ) A A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果 ，那么 D.如果，那么 3 2.一元一次方程及其解法［基础点］ （1）概念:只含有一个未知数，未知数的次数是①___，等号两边都是整式 的方程叫做一元一次方程,一般形式:,是常数， . （2）解一元一次方程的一般步骤 步骤 具体做法 依据 去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数. 等式的性质2 去括号 根据方程的特点，灵活选择去括号的顺序，不 必拘泥于小、中、大的顺序.当括号外的因数是 负数时，去括号后原括号内的各项均要变号. 乘法分配律、去 括号法则 1 4 步骤 具体做法 依据 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移 到方程的另一边,注意移项要变号. 等式的性质1 合并同 类项 把方程化为 的形式. 合并同类项法则 系数化 为1 方程两边都除以，得到方程的解 . 等式的性质2 5 2.解下列方程： （1） ； [答案] 方程两边同时乘以10，得 ， 移项，得 , 合并同类项，得 . （2） . [答案] 去括号，得 , 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 . 回练课本 6 （3） . [答案] 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 7 3.二元一次方程（组）及其解法［重点］ （1）定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是②___的方程叫做 二元一次方程，一般形式是,,是常数，且, .有两 个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这 样的方程组叫做二元一次方程组. 1 8 （2）二元一次方程组的解法 解题 思想 ③______,即将二元一次方程组转化为一元一次方程. 解题 方法 代入消元法:把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个 未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二 元一次方程组的解. 加减消元法:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反 或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数, 得到一个一元一次方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解. 消元 9 【解题通法】 快速解方程组的技巧 （1）如果方程组中某一个未知数的系数是1或者<m></m>，那么可采用代入消元法. （2）如果两个方程中相同未知数的系数互为相反数或相同，那么可采用加 减消元法. （3）如果两个方程中相同未知数的系数成倍数关系，那么可采用加减消元 法来简化运算. （4）如果两个方程消去未知数的过程繁杂，而消去常数项的过程简单，那 么可通过加减消元法消去常数项，再用代入消元法求解． 注：还可以用整体代入消元法或换元法化繁为简，快速解题. 10 3.解下列方程组： （1） [答案] 由②，得 ．③ 将③代入①，得,解得 ． 将代入③，得 ， 原方程组的解是 回练课本 11 （2） [答案] ,得 ,③ 由②得 ,④ ，得 , 解得 . 将代入③，得 , 原方程组的解为 12 4.一次方程（组）的应用［重点］ （1）列方程（组）解决实际问题的一般步骤 审:审清题意,分清题中的已知量、未知量; 设:设出关键未知数; 列:根据题意,找出题中的等量关系,列方程（组）; 解:解所列的方程（组）,求得未知数的值; 验:检验未知数的值是否符合题意; 答:规范作答,注意单位名称. 13 （2）一次方程（组）的实际应用问题的常见类型 常见类型 重要的关系式 行程问题 基本关系:路程 速度×时间. 相遇问题:全路程甲走的路程 乙走的路程. 追及问题:同地不同时出发，前者所用的时间-多用的时间 追者 所用的时间； 同时不同地出发，前者走的路程两地间的距离 追者走的路程. 14 常见类型 重要的关系式 销售问题 销售额售价×销量;利润率 ; 利润售价-成本（或进价） 利润率×成本; 打折后的售价标价 . 工程问题 工作总量 工作效率×工作时间; 甲、乙合作的工作效率甲的工作效率 乙的工作效率. 15 4.（1）某学校体育场的环形跑道长 ，甲、乙分别以一定的速度练习长 跑和骑自行车，同时同地出发.如果反向而行，那么他们每隔 相遇一次； 如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次.设甲的速度为 ，乙的速 度为 ，则可列方程组为_ _________________. （2）某文件需要打印，小李独立做需要完成，小王独立做需要 完成， 如果他们俩共同做，需要___ 完成. 回练课本 16 （3）某工厂现需为 客机模型制作一款定制礼 盒，工作人员准备按照以下两种裁剪方式制作， 已知1个长方形和2个圆形可以组装成一个礼盒， 450 现有210张完全相同的纸板，其中 张纸板用图（1）的方式裁剪，剩余纸板 用图（2）的方式裁剪．若组装完后，裁出的圆形和长方形纸板正好用完， 则一共做了_____个礼盒. 17 考法 一次方程（组）的实际应用 例 某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，派 李老师前往商店购买钢笔和笔记本作为纪念品.已知购买10支钢笔和2本笔记 本，需230元；购买8支钢笔和4本笔记本，需220元． （1）求钢笔和笔记本的单价. [答案] 设钢笔的单价为元，笔记本的单价为元，则 解得 钢笔的单价为20元，笔记本的单价为15元. 18 （2）若李老师先购买了部分该钢笔和笔记本，共支出了150元，有哪几种购 买方案？ [答案] 设购买钢笔支，笔记本 本，共支出150元. 由题意，得,变形得 . 当时，；当时， . 共有两种购买方案，即购买钢笔3支，笔记本6本，或购买钢笔6支， 笔记本2本. 19 （3）售货员提示：现有优惠活动，当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打 9折．设购买纪念品的总费用为元，其中钢笔的支数为 （购买纪念品的 总数量为12） ①当为多少时 ，购买纪念品的总费用最少？并求出最少总费用. [答案] 当时，与 之间的函数关系式为： . ，随着 的增大而增大， 当时，有最小值，为 . 答：当 时，购买纪念品的总费用最少，最少总费用为201元. 20 ②若李老师购买纪念品一共花了210元，则他可能购买了多少支钢笔？ [答案] 当时， , 解得 . 当时， , 解得 . 若李老师购买纪念品一共花了210元，则他可能购买了6支或10支钢笔. 21 解题通法 列一次方程（组）解决实际问题的策略 1.设未知数的方法： （1）一般情况下，题中问什么就设什么，即设直接未知数； （2）特殊情况下，若设直接未知数难以列出方程，可设与要求的量相关的 一些量为未知数，即设间接未知数. 22 2.列方程（组）解决实际问题的关键是仔细审题，准确找出题中的等量关系. 找等量关系的方法： （1）抓住题中的关键词，常见的关键词有“比”“共”“等于”等； （2）根据实际生活中常用的数量关系或几何图形的面积公式、体积公式等 找等量关系； （3）挖掘题中的隐含条件，如轮船沿同一航线航行，顺流航行和逆流航行 的路程相等； （4）借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系. 23 命题点1 等式的基本性质［8年1考］ 1.[2022漳州质检] 下列各式的运算或变形中，用到等式的基本性质的是 ( ) D A. B. C. D.由得 24 2.[2022福建中考，15] 推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨,则 推理结果可能产生错误. 例如,有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”,并证明如下: 设任意一个实数为,令 , 等式两边都乘以，得 .① 等式两边都减，得 .② 25 等式两边分别分解因式，得 .③ 等式两边都除以,得 .④ 等式两边都减,得 .⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中,开始出现错误的那一步对应的序号是____. ④ 26 命题点2 二元一次方程组的解法［8年2考］ 3.[2018福建中考，17] 解方程组: [答案] ,得 ， 解得 , 把代入①,得 , 解得 . 故原方程组的解为 27 4.[2024龙岩质检] 解方程组： [答案] 由②,得 ，③ 把③代入①，得 ， 解得 . 把代入③，得 . 方程组的解是 28 命题点3 一次方程（组）的实际应用［8年7考］ 5.[2024福建中考，8] 今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社 会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120 327亿元，比去年第一 季度增长 ,求去年第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会 消费品零售总额设为 亿元，则符合题意的方程是( ) A A. B. C. D. 6.[2023厦门质检] 小桐花45元在文具店购买了一些水笔和笔记本,这两种文 具的单价分别为7元/支、5元/本.设小桐购买了支水笔和 本笔记本,根据已知 信息,可列出方程:______________. 29 7.[2024福州质检] 某家商店的账目记录显示,卖出26支A型牙刷和14盒B型牙 膏,收入是264元.若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏,则收入应是 _______. 396元 8.[2023福州质检] 荔枝是一种具有悠久历史的水果,深受广大人民群众喜爱. 某超市现售卖桂味和黑叶两种荔枝,已知购买2千克桂味和1千克黑叶需要花费 80元,购买1千克桂味和4千克黑叶需要花费96元.求桂味和黑叶每千克的价格. [答案] 设桂味和黑叶每千克的价格分别是元和 元. 根据题意，得解得 答：桂味每千克的价格是32元，黑叶每千克的价格是16元. 30 9.[2024莆田质检] 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺柱或 2 000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母． （1）为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人 各多少名？ [答案] 设应安排名工人生产螺柱，则有 名工人生产螺母． , 解得 , ． 答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母． 31 （2）若车间现有24名工人，每人每天工作8小时，工人根据需要可以转换生 产螺柱或螺母的工作岗位．如何安排工人生产，使得螺柱和螺母尽可能多地 配套？最多能生产多少套？ 32 [答案] 设安排小时生产螺柱,则安排 小时生产螺母. . 解得 ． , , 根据实际意义取13 090． 答：安排10名工人生产12 000个螺柱，13名工人生产26 000个螺母，1名工 人用小时生产1 090个螺柱，用 小时生产181个螺母，最多生产螺柱和螺 母13 090套． 33 新课标 新考向 【新课标·应用意识】[2024苏州中考] 某条城际铁路线共有A，B,C三个车站， 每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中 次列车从A站始发，经 停B站后到达C站， 次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在 行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行 研究，收集到列车运行信息如下表所示. 34 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 8:00 9:30 9:50 10：50 8:25 途经B站，不停车 10:30 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1） 次列车从A站到B站行驶了____分钟，从B站到C站行驶了____分钟. 90 60 列车运行时刻表 35 （2）记次列车的行驶速度为,离A站的路程为； 次列车的行 驶速度为，离A站的路程为 . ① __； 解法提示：根据题意，得 次列车从A站到C站共需 （分钟），次列车从A站到C站共需 （分钟）， ， . 36 ②从上午8:00开始计时，时长记为分钟（如：上午,则 ）,已知 千米/时（可换算为4千米/分）,在 次列车的行驶过程中 ,若,求 的值. [答案] 千米/分，， 千米/分. （千米）， 站与B站之间的路程为360千米. 37 （分钟）, 当时， 次列车经过B站. 由题意可知，当时， 次列车在B站停车， 次列车经过B站时， 次列车正在B站停车. 38 当时， ， , ,解得 ; 当时， ， ， ,解得 ,不合题意，舍去； 39 当时， ， , ,解得 ,不合题意，舍去； 当时， ， ， ,解得 . 综上所述，当或125时， . 40 $$