安徽省六安市新世纪中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

· 六安市新世纪中学2024-2025学年度第一学期12月份 · 高二数学月考试卷 必修二：第八章立体几何初步、第九章统计、第十章概率，选择性必修一：第一章 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分总计40分） 1．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（　　） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽出人数为（    ） A．60 B．70 C．80 D．90 3．已知正方体，点是上底面的中心，若，则等于（    ） A．2 B． C． D． 4．2023年“中华情·中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有3幅不同的美术作品、3幅不同的书法作品，若从这6幅作品中随机挑选2幅作品挂在同一面墙上，则选出的2幅作品为1幅美术作品和1幅书法作品的概率为（    ） A． B． C． D． 5．设、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，给出下列命题： ① 若，，则； ② 若，，则； ③ 若，，则； ④ 若，，则； 上述命题中，所有真命题的序号是（  ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论：①；②；③MN与AB是异面直线；④BF与CD成角，其中正确的是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 7．在四面体中，平面，，则该四面体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．某校200名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成组（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．频率分布直方图中a的值为0.006 B．估计某校成绩落在内的学生人数为50人 C．估计这20名学生考试成绩的众数为80分 D．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为80分 二、多选题（每题6分，选错或多选不得分，部分对答部分分，总计18分） 9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 B．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 C．若一个样本容量为8的样本的平均数是5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本的平均数不变，方差变大 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 11．柜子里有双不同的鞋子，从中随机地取出只，下列计算结果正确的是（    ） A．“取出的鞋成双”的概率等于 B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 C．“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于 D．“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分总计15分） 12．已知向量，，满足，则-------． 13．在四棱锥中，底面为平行四边形，与交于点，为上一点，，，，，则-------------------------．（用，，表示向量） 14．如图，边长为的正的中线与中位线相交于，已知是绕旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有（只需填上正确命题的序号）． ①动点在平面上的射影在线段上； ②三棱锥的体积有最大值； ③恒有平面平面； ④异面直线与不可能互相垂直； ⑤异面直线与所成角的取值范围是． 四、解答题 15（第一问6分，第二问7分总计13分）． 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求： (1)向量，，的坐标； (2)，的坐标． 16（第一问7分，第二问8分总计15分）． 甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9． (1)若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率； (2)若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率． 17（第一问7分，第二问8分总计15分）． 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 18（第一问5分，第二问6分，第三问6分总计17分）． 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)求频率分布直方图中a的值．若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数. (2)用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数. (3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 19（第一问8分，第二问9分总计17分）．如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D B C D ABD AD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解. 【详解】若平面， 则两个平面的法向量互相平行， 所以平面的法向量为， 所以当时，向量为， 故选：A. 2．A 【分析】根据分层抽样原理建立比例关系，即可得到结论． 【详解】由题意知，抽样比为； 所以北乡应抽， 南乡应抽， 所以， 即北乡比南乡多抽60人． 故选：A 3．C 【分析】利用空间向量基本定理，结合正方体的结构特征求解作答. 【详解】正方体，点是上底面的中心，如图， 则， 不共面，又，于是得， 所以. 故选：C 4．B 【分析】由题意，根据列举法，结合古典概型概率的计算公式即可求解. 【详解】记3幅美术作品分别为，3幅书法作品分别为， 从中随机挑选2幅作品，不同的选法有 ，，共15种， 其中选出的2幅作品恰好为1幅美术作品和1幅书法作品的不同选法有 ，共9种， 故所求概率为． 故选：B 5．D 【分析】根据线线关系、线面关系、面面关系逐项判断可得答案 【详解】对于①，平面与平面也可能相交，故错误；对于②，根据垂直同一条的直线的两个平面平行得正确； 对于③，直线与直线可能相交，可能异面，故错误；对于④根据垂直同一平面的两条直线平行正确； 故答案为：D． 6．B 【分析】将几何体还原，即可对各命题进行判断，得出其真假． 【详解】将正方体还原，如图所示： 由图可知， ①不正确； ②正确； ③正确；④BF与CD平行，不正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方体的几何特征的理解，线线关系的判断，异面直线所成角的求法，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题． 7．C 【解析】根据题目条件先确定出外接球的球心，得出外接球半径，然后计算表面积. 【详解】因为平面，平面，所以， 又，，且平面，平面， 所以平面，所以. 因为， 所以，，， 根据该几何体的特点可知，该四面体的外接球球心位于的中点， 则外接球半径， 故该四面体的外接球的表面积为. 故选：C. , 【点睛】本题考查棱锥的外接球问题，难度一般，根据几何条件确定出球心是关键. 8．D 【分析】根据所有矩形的面积和为1，求出，由此利用频率分布直方图结合选项即可逐一求解． 【详解】由频率分布直方图，得： ，解得，故A错误； 总体中成绩落在,内的学生人数为，故B错误． 这20名学生数学考试成绩的众数为75，故C错误； 前三个矩形的面积和为， 这20名学生数学考试成绩的第60百分数为80，故D正确； 故选：D 9．ABD 【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论. 【详解】由于是空间的一个基底，所以不共面， 对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底； 对于B，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底； 对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底. 对于D，不存在实数满足，因此不共面，能构成空间一个基底. 故选：ABD 10．AD 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是3，从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于C，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断,对于D，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断； 【详解】对于A，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，A正确； 对于B，数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故B错误； 对于C，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故C错误． 对于D，样本数据，，，的标准差为8，故数据，，，的标准差为，故D正确； 故选：AD． 11．BC 【分析】用列举法列出事件的样本空间，即可直接对选项进行判断. 【详解】记双不同的鞋子按左右为， 随机取只的样本空间为 ，共种， 则“取出的鞋成双”的概率等于，A错； “取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正确； “取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正确； “取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于，D错. 故选：BC 12．6 【分析】根据空间向量减法和数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】，∵，则，解得． 故答案为：6． 13． 【分析】利用空间向量线性运算求得正确结论. 【详解】 ． 故答案为：． 14．①②③⑤． 【分析】由为正三角形可探讨过作面的垂线的垂足的位置在上，从而可以得到①②③，利用异面直线所成角的定义可知⑤的准确性，通过举反例否定④，即可的答案． 【详解】过作面，垂足为 为正三角形且中线与中位线相交 ，. 又 面 面 ∴面面 且面面. 在上，故①对③对． 底面面积是个定值， 当为时，三棱锥的面积最大，故②正确. 由异面直线所成的角的定义知：异面直线与所成角的取值范围是，故⑤正确. 在是绕旋转的过程中异面直线与可能互相垂直，故④不正确. 故答案为①②③⑤ 【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系，以及线面，面面垂直的判断和性质，同时也考查了异面直线所成角，是个基础题． 15．(1)，， (2)， 【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标； （2）利用向量的坐标运算加法和减法即可. 【详解】（1）由已知， 则，，； （2）， . 16．(1)0.5 (2)0.64 【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解决. （2）分析至少有一次获胜的事件包括两次都获胜，第一次获胜第二次未获胜和第一次未获胜第二次获胜三种情况。又因为三种情况之间互斥和两盘棋之间的胜负互不影响.利用互斥事件的概率加法公式和独立事件同时发生的概率乘法公式和对立事件概率的知识求解. 【详解】（1）设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输． 则． 因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得 ． 因为， 所以 （2）设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为， 则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的. 所以 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 18．(1)，12人中成绩不低于90分的人数为1； (2)平均数约为分，中位数约为分； (3). 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1可求的值，再根据分层随机抽样可得12人中成绩不低于90分的人数； （2）根据频率分布直方图及平均数与中位数的定义计算即可； （3）根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得. 的频率为，的频率为， 的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 则12人中成绩不低于90分的人数为. （2）该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： . 的频率为， 的频率为， 设中位数为,则， 则，解得， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分. （3）设“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则, 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为. 19．(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$