精品解析：江苏省南通市崇川区2024-—2025学年上学期九年级期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握：的顶点坐标是是解题的关键． 根据的顶点坐标是求解作答即可． 【详解】解：由题意知，这条抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2. 若点在外，的半径为，则的长可能是下列数值中的( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点和圆的位置关系，根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：的半径为，点在外， ， 故选：A． 3. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数（是常数，）的图象与性质：当时，反比例图像在一、三象限；当时，反比例函数图像在第二、四象限内；解不等式．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：B． 4. 如图，是的直径，是圆上一点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，根据直径所对的圆周角为即可作答． 【详解】是的直径 故选：C． 5. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设反比例函数解析式为，将代入，求得，当时，，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为，将代入 得，， 解得，， ∴， 当时，， ∴根据函数图象可得：当时，， 故选：D． 6. 如图，是的切线，切点是点D，直线交于点A、B，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理，如图，连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：连接，如图， 是的切线，切点是点， ， ， ， ． 故选：B． 7. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 8. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 9. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上， 当时，的值随值的增大而减小， 而时，的值随值的增大而减小， ， 故选A． 10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，由，可得，即知，故得，解题关键是根据已知求出b与a的关系． 【详解】∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故答案为：． 12. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为__________cm2． 【答案】15π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积计算公式计算即可． 【详解】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式． 13. 若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键． 14. 将抛物线向下平移1个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上间1即可得新函数解析式． 【详解】解：∵向下平移1个单位长度， ∴新抛物线为． 故答案为：． 15. 如图，在中，直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长为 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，作出适当的辅助线是解决问题的关键． 连接，推出直径是弦的垂直平分线，进一步得到是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵的直径垂直于弦， ，即直径是弦的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 16. 如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出抛物线与x轴的交点的横坐标即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ∴，（不合题意，舍去）， ∴小明将铅球推出的距离为9米． 故答案为：9． 17. 如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接OD， ∵AB是切线，则OD⊥AB， 在菱形中， ∴， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=∠A=60°， ∴OD=， ∴， ∴扇形的面积为：， ∴阴影部分的面积为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积． 18. 已知，，且，设，则，k的最小值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、乘法公式的应用，灵活运用乘法公式是解答的关键．先由已知条件，结合完全平方公式得到，，两式相减，利用平方差公式得到，进而求得，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得，即； 由得， 即， 由得，则， ∴或， ∴或， ∴， ∵，， ∴当时，k有最小值，最小值为， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共8小题，共90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 经过A，B，C三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图1中，画出劣弧的中点D： （2）在图2的上找一点E，使（点E与点A不重合）． 【答案】（1）解：点D即为所求； （2） 点E即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、弧和弦之间关系等知识． （1）取格点K，连接交于点D，根据网格图可知，，由垂径定理可知，，点D即为所求； （2）作直径交于点E，点E即为所求． 根据弧和弦之间关系作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上． （1）若直线图象经过点A，求k和b的值； （2）当时，都有一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）的值为6，b的值为 （2）b的取值范围是 【解析】 【分析】Z本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求得即可；把A点的坐标代入，即可求得b的值； （2）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； ∵直线图象经过点A， ∴， 解得． ∴k的值为6，b的值为； 【小问2详解】 解：由（1）可知直线图象经过点A，b的值为， 观察图象， 当时，都有一次函数的值大于反比例函数的值， 则b的取值范围是． 21. 已知二次函数． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】（1）该二次函数图象的顶点坐标为 （2）该二次函数图象与y轴的交点为；该二次函数图象与x轴的交点为和 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及化为顶点式、与坐标轴的交点和函数值取值范围， （1）利用配方法化为顶点式即可； （2）令和解方程即可求得交点； （3）根据二次函数的开口方向、对称轴和交点距离即可求得y的范围． 【小问1详解】 解： ， 该二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则， 该二次函数图象与y轴的交点为； 令，则， 解得：，， 该二次函数图象与x轴的交点为和． 【小问3详解】 解：∵，对称轴为 ∴当时，y有最小值为， ∵， ∴当时，y有最大值为12， ． 22. 如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 【答案】（1）所求函数关系式为 （2）需要5台这样的挖掘机 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以16即可得到答案． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， ， ， 答：需要5台这样的挖掘机． 23. 如图，将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 解：与相切． 理由如下： 证明：连接， ， ， 图形沿过点的直线翻折，点的对应点落在边上， ， ， ， 又在中，， ，即， 又经过半径的外端， 与⊙O相切； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，折叠的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线的判定方法，含的直角三角形的性质，勾股定理的运用是解题的关键． （1）连接，得，根据折叠可得，，可证，在中，，即，根据切线定义即可求解； （2）根据题意可得，，由折叠的性质可得，在中，根据含的直角三角形的性质可得，设，则，运用勾股定理可得，在中，根据含的直角三角形的性质可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ， ∴， ∴，， ∵将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，， ∴， 同理可得，在中，，， ∴半径为． 24. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式； （2）①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ； ②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值． 【答案】（1）一次函数解析式为 （2）①；②该商品日销售利润的最大值为元 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①设该产品的成本单价是n元，根据题意，得，可求，则，计算求解即可．②根据题意，得，由，，可知当时，w最大，然后求解作答即可． 【小问1详解】 解：设， 把代入得：， 解得：， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 ①解：设该产品的成本单价是n元， 根据题意，得， 解得， ∴． 故答案为：； ②解：根据题意，得， ，且销售单价不低于元，即， 当时，w最大，最大值为， 答：该商品日销售利润的最大值为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次方程的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次方程的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值是解题的关键． 25. 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． （1）【学习心得】如图1，在中，，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ； （2）【问题解决】如图2，在四边形中，．求证：； （3）【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点，．当最大时，求点A的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：如图，以点A为圆心，为半径作辅助圆，延长交圆于点P，连接， ， 点B、C、D是在以A圆心， 则， ∵为直径， ∴， ∴， ； （3）点A的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识． （1）如图：若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，即可求解； （2）以为半径的圆上，构建如图所示的图形，延长交圆于点P，连接，则，即可求解； （3）当最大时，线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，若以点A为圆心，为半径作辅助圆， 则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角，可得， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当最大时， 过B、C两点的与y轴相切，切点为点A， 过点作，垂足为点H， 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上， 点横坐标为4， ∵，，， ∴， ∴点A的坐标为或． 26. 已知抛物线经过A，B，M三点，其中，定点M的坐标为，A，B两点的横坐标分别为，，且． （1）若抛物线过点，则它的对称轴是 ； （2）当时，二次函数的最大值为1，求a的取值范围； （3）记时二次函数的最大值为，最小值为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线过点求得a，代入抛物线即可求得对称轴； （2）根据抛物线经过定点M代入求的m的值，结合二次函数的对称轴求得M的对称点为，结合已知条件找到不等式和求解即可； （3）由（2）知解得，结合对称轴与和位置关系分三种情况求解，（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，分别求得对应的最大值和最小值，进一步结合二次函数的性质求得其取值范围，结合三种情况的范围求其公共部分即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线 则它的对称轴； 【小问2详解】 解：∵抛物线经过定点M的坐标为， ∴，化解为，则，解得， 那么，定点M的坐标为， ∵抛物线的对称轴为， ∴M的对称点为， ∵当时，二次函数的最大值为1， ， ， 又由， 可知， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，，且， 则，解得， （i）当时， 则时取最大值；时取最小值，， ， 当时，， 当时，， ． （ii）当时， 则时取最大值；时取最小值，， ， 当时，， 当时，， ． （iii）当时， 则时取最大值；时取最小值，， ， 当时，， 当时，， ． 综上，． 【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质、过定点、二次函数最值问题、解不等式、二次函数与对称轴之间的关系，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷 九年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在外，的半径为，则的长可能是下列数值中的( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 3. 若反比例函数的图象位于第一，三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，是圆上一点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的切线，切点是点D，直线交于点A、B，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（ ） A. 24 B. 28 C. 32 D. 36 9. 若二次函数在时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，抛物线的对称轴是直线，若，则t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知点是反比例函数的图象上的一点，则m的值为__________． 12. 若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为__________cm2． 13. 若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为________． 14. 将抛物线向下平移1个单位长度，所得新抛物线的函数解析式为__________． 15. 如图，在中，直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长为 __ ． 16. 如图，小明参加了运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度y（米）与水平距离x（米）间的函数关系式为，则小明将铅球推出的距离为_____ 米． 17. 如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为_______． 18. 已知，，且，设，则，k的最小值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分． 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 如图是由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 经过A，B，C三个格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中按要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图1中，画出劣弧的中点D： （2）在图2的上找一点E，使（点E与点A不重合）． 20. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上． （1）若直线图象经过点A，求k和b的值； （2）当时，都有一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出b的取值范围． 21. 已知二次函数． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）求该二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 22. 如图，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（单位：天）是每天完成的工程量x（单位：m/天）的反比例函数，其图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好15天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机？ 23. 如图，将沿过点的直线翻折并展开，直角顶点的对应点落在边上，折痕为，点在边上，经过点，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径． 24. 某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） （1）根据以上信息，求y关于x的函数关系式； （2）①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ； ②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值． 25. 小明同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． （1）【学习心得】如图1，在中，，，求的度数，若以点A为圆心，为半径作辅助圆，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，可得 ； （2）【问题解决】如图2，在四边形中，．求证：； （3）【问题拓展】在平面直角坐标系中，A为y轴上一点．若点，．当最大时，求点A的坐标． 26. 已知抛物线经过A，B，M三点，其中，定点M的坐标为，A，B两点的横坐标分别为，，且． （1）若抛物线过点，则它的对称轴是 ； （2）当时，二次函数的最大值为1，求a的取值范围； （3）记时二次函数的最大值为，最小值为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $