精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

2024－2025学年度上学期高二12月月考试卷 数学 2024.12 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册（第四章数列）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 10 B. 17 C. 21 D. 35 3. 已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（ ） A. 4 B. 4或6 C. 3 D. 3或7 4. 在等比数列中，，，是的前n项和，则（ ） A. 63 B. 48 C. 31 D. 15 5. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列满足，其前n项和.则（ ） A. 数列的公比为p B. 数列为递减数列 C. D. 当取最小值时， 8. 对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 10. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列 B. 数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C. 在数列中,第8个数是 D. 数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 11. 已知直线的方向向量，为直线外一点. 若点为直线外一点，则P到直线上任意一点的距离可能为（ ） A. 2 B. C. D. 1 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，则_________. 13. 已知是公比不为的等比数列，，若，则实数________. 14. 已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； （2）渐近线方程为，经过点． 16. 已知等差数列的前n项和满足，. （1）求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 17. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值； （3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为． 18. 已知数列满足． （1）求证：是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 19. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于两点，若点在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期高二12月月考试卷 数学 2024.12 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本试卷命题范围：选择性必修第一册，选择性必修第二册（第四章数列）. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，即可求出倾斜角. 【详解】直线即，所以斜率为， 又，且，所以倾斜角. 故选：A 2. 在等差数列中，，，则（ ） A. 10 B. 17 C. 21 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出公差，再应用等差数列通项公式即可求出. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以. 故选：B 3. 已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则（ ） A. 4 B. 4或6 C. 3 D. 3或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义有，注意、范围，即可得结果. 【详解】双曲线中，， 由双曲线定义知：，而，又且， ∴3或7， 故选：D. 4. 在等比数列中，，，是的前n项和，则（ ） A. 63 B. 48 C. 31 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式，结合已知条件求基本量，进而由等比数列前n项和公式求. 【详解】令等比数列的公比为，则，， 解得，，所以. 故选：C 5. 若椭圆的短轴长是焦距的倍，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆的焦距为，即可表示出、，从而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，因为短轴长是焦距的倍，所以，即， 所以， 所以离心率. 故选：B 6. 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则M点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，设，连接，由线面平行的性质可得出，利用空间向量共线的坐标表示可求得、的值，即可得出点的坐标. 【详解】平面平面，平面平面， 而，则平面，平面， 设点的坐标为，设，连接，则， 又，，则，， 由平面，平面，平面平面，则， 又，则四边形是平行四边形，于是，即， 于是，解得，所以点的坐标为. 故选：C 7. 已知等比数列满足，其前n项和.则（ ） A. 数列的公比为p B. 数列为递减数列 C. D. 当取最小值时， 【答案】D 【解析】 【分析】利用可得数列的递推公式，进而可得公比为，，进而可判断数列的单调性，再根据基本不等式可得当且仅当时取最小值，进而可得公比与通项公式. 【详解】对于A，，当时，， 两式相减得，，， 则，时，，所以， 因为是等比数列，所以公比为，解得，故A错误，C错误； 对于B，因为，，所以， 所以数列为递增数列，故B错误； 对于D，因为，，所以， 当且仅当即时等号成立，此时公比为， ，故D正确. 故选：D. 8. 对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前项和公式即可求解. 【详解】依题意，，， ， ， ， ， 由等比数列的前项和公式，得， 所以的通项公式. 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列的最大项为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，得到，，，即可判断A、B、D，再根据的符号即可判断C. 【详解】由题意，，则，， 又是等差数列，所以，故A正确； 又，则，故D正确； 因为，故B正确； 因为时，，当时，， 所以当时，取得最大值，所以数列的最大项为，故C错误. 故选：ABD 10. 下列有关数列的说法正确的是（ ） A. 数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列 B. 数列的通项公式为,则110是该数列的第10项 C. 在数列中,第8个数是 D. 数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误. 【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4, 所以两个数列不是同一个,故选项A错误; 当时,解得:或(舍), 即110是该数列的第10项,故选项B正确; 因为数列可写为:, 所以第8个数是,故选项C正确; 因为 所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确. 故选：BCD 11. 已知直线的方向向量，为直线外一点. 若点为直线外一点，则P到直线上任意一点的距离可能为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】AB 【解析】 【分析】首先求得，设与的夹角为，利用向量数量积求得的值，进而求得的值，利用求得点P到直线的距离，利用P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，从而求得结果. 【详解】由题设条件可知，， 所以， 设与的夹角为， 则， 所以， 所以点P到直线的距离为， P到直线上任意一点Q的距离要大于或等于， 故选：AB. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列的前项和为，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系求解即可. 【详解】当时，， 当时，不满足上式， 则. 故答案为：. 13. 已知是公比不为的等比数列，，若，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】反复利用等比数列的性质即可得到答案. 【详解】由条件有 . 故，从而，而，故任意两项不相等，所以. 故答案为：. 14. 已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点．以F为圆心，FA为半径的圆交抛物线C的准线于B，D两点，A，F，B三点共线，且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由，，三点共线，推得，由三角形的中位线性质可得到准线的距离，可得的值． 【详解】抛物线的焦点为，，准线方程为， 因为，，三点共线，可得为圆的直径，如图示：设准线交x轴于E， 所以，则 ， 由抛物线的定义可得， 又是的中点，所以到准线的距离为, 故答案为：2． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率； （2）渐近线方程为，经过点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意设双曲线的标准方程为：，得到，再解方程组即可. （2）首先根据题意设双曲线方程为：，再将代入求解即可. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为：，由题知： ，双曲线方程为：. 【小问2详解】 设双曲线方程为：， 将代入，解得， 所以双曲线方程为：. 16. 已知等差数列的前n项和满足，. （1）求的通项公式； （2），求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以 . 17. 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E⊥A1D； （2）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值； （3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为． 【答案】（1） 如图，为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设， 则 因为所以 所以. （2） （3）AE＝2﹣ 【解析】 【分析】（1）根据题意，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，进而根据坐标法证明即可； （2）由（1），利用坐标法，列公式求解即可； （3）结合（1），利用坐标法求平面的法向量，1，，平面的法向量，0，，进而根据坐标法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为E为AB中点，则， 从而， 设AC与D1E所成的角为θ 则 【小问3详解】 由（1），时，平面与平面所成角为． 则， ，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，1，， 平面的法向量，0，， ， 由，解得或（舍去）． 时，平面与平面所成角为． 18. 已知数列满足． （1）求证：是等差数列； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） 因为，， 所以， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知，表示出，然后代入计算可得，所以证明出数列是等差数列； （2）由（1）求出首项，利用等差数列通项公式计算，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 数列为首项为，公差为的等差数列， 所以，解得. 因为，所以， 则， ， 于是， 两式相减得， 所以. 19. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于两点，若点在抛物线的准线上，且为等边三角形，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义得出，从而得出，，再由面积公式解出； （2）讨论直线的斜率是否存在，设出其方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得出的中点坐标，在由斜率公式得出点坐标，求出，，最后根据得出直线的斜率． 【小问1详解】 不妨设点在第一象限，因为，所以，则， 因为，所以 即抛物线的方程为 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，，要使得为等边三角形，则，但是，，不满足边长相等 当直线的斜率存在时，设直线的方程为： 由，化简得 则， 故线段的中点为 设，因为，所以，即 因为为等边三角形，所以 即，即， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $