北京市丰台区第二中学2024－2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

第1页/共22页 2024北京丰台二中初三 12月月考 数 学 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 一、单选题(每题 2分,共 20分) 1.从 1~9 这九个自然数中任取一个,是 2 的倍数或是 3 的倍数的概率是( ) A. 1 9 B. 2 9 C. 2 3 D. 4 9 2.对于抛物线 y=-x2+1,下列判断正确的是( ). A.顶点坐标为 ( )1,1− B.有最小值 C.与 x 轴无交点 D.开口向下 3.由 4 个棱长均为 1 的小正方形组成如图所示的几何体,这个几何体的表面积为( ) A.18 B.15 C.12 D.6 4.如图,在由小正方形组成的网格中,小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都在网格的格点上,连接 , ,AB AC BC ,则 tan ABC 等于( ) A. 5 10 B. 1 3 C. 2 2 D. 3 10 10 5.某个亮度可调节的台灯,其灯光亮度的改变,可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示 的是该台灯的电流 (A)I 与电阻 ( ) R 的关系图象,该图象经过点 ( )880,0.25P .根据图象可知,下列说法正 确的是( ) A.当 0.2I = 时, 1000R = B. I 与 R 的函数表达式是 ( ) 20 0I R R = C.当 500R 时, 0.44I D.当880 1000R 时,则0.22 0.25I 6.如图, ABC 与 DEF位似,点 O 是它们的位似中心,相似比为1 2∶ ,下列结论中不正确的是( ) 第2页/共22页 A. : 1: 2BC EF = B. : 1: 2OA AD = C. ACB DFE = D. OAC ODF = 7.如图, ABC 的边BC 与 O 相切于点 B ,点A 在 O 上, AC 经过圆心O ,且 40C = , P 为劣弧 AB 上一动点,连接 AP , BP ,则 P 的度数为( ) A.115 B.125 C.130 D.140 8.二次函数 2 2 1y x x= − + + 与坐标轴交点情况是( ) A.一个交点 B.两个交点 C.三个交点 D.无交点 9.某数学兴趣小组在学习相似多边形时,三位同学分别将边长为 4,6,6 的等腰三角形、边长为 4 的正方 形和长、宽分别为 6,4 的矩形按如图所示的方式向外扩张,各得到一个新图形,它们的对应边间距均为 1,则画出的三组图形中,新图形和旧图形是相似多边形的有( ) A.0 组 B.1 组 C.2 组 D.3 组 10.如图,边长为 2 的正六边形 ABCDEF 的对称中心点 P 在函数 ( )0 0 k y k x x = , 的图象上,边CD在 x 轴上,点 B 在 y 轴上.平移正六边形 ABCDEF ,使点 B、C 恰好都落在该函数的图象上,则平移的过程为 ( ) 第3页/共22页 A.左平移 2 个单位 B.右平移 1 个单位,上平移 3 个单位 C.右平移 2 个单位 D.右平移 3 个单位,上平移 1 个单位 二、填空题(每题 3分,共 24分) 11.如图,测量小玻璃管口径的量具 ABC , AB 的长为12 cm , AC 被分为 60 等份.如果小玻璃管口DE 正好对着量具上 20 等份处 ( )DE AB ,那么小玻璃管口径DE 是 cm. 12.已知在 ABC 中,∠A、∠B 为锐角,且 sinA= 2 2 ,cosB= 1 2 ,∠C= . 13.圆锥底面圆的半径为 5cm,母线长为 8cm,则它的侧面积为 . 14.如图, ABCD 中,E 是边 AD 的中点, BE 交对角线 AC 于点 F,那么 :AFE FEDCS S四边形 的值 为 . 15.如图 O 是一条水平铺设的直径为 20 米的通水管道横截面,其水面宽 AB 为 16 米,OD AB⊥ 交圆与 点 D,垂足为点 C,则这条管道中此时水深CD为 米. 16.在 ABC中, AB AC= , 36A = ,将 ABC 绕点 B 逆时针旋转得到 DEF,旋转角为 ( )90 ,点 C 的对应点 E 落在 ABC 边上时,旋转角 的度数为 . 17.如图所示的阴影部分是由抛物线 y=﹣x2+4 的像与 x 轴所围而成.现将背面完全相同,正面分别标有 数﹣2,﹣1,0,1,2 的 5 张卡片洗匀后,背面朝上,从中任取一张,将该卡片上的数作为点 P 的横坐 第4页/共22页 标,将该数的相反数作为点 P 的纵坐标,则点 P 落在该阴影部分内(包含边界)的概率为 . 18.如图,点 A 是反比例函数 ( )0 k y x x = 图象上的一点,经过点 A 的直线与坐标轴分别交于点 C 和点 D,过点 A 作 AB y⊥ 轴于点 B, 1 2 BD OD = ,连接 BC ,若 BCD 的面积为 2,则 k 的值为 . 三、解答题 (共 76分) 19.(8 分)(1)计算: 04sin 60 | 1| ( 3 1) 48 − − + − + (2)解方程: 2 2 1 0x x+ + = 20.(8 分)如图所示,在学习《图形的相似》时,小华利用几何画板软件,在平面直角坐标系中画出了 ABC 的位似图形 1 1 1A B C . (1)在图1中标出 ABC 与 1 1 1A B C 的位似中心M 点的位置; (2)若以点O 为位似中心,在图 2 中 y 轴的左侧画出 1 1 1A B C 的位似图形 2 2 2A B C ,且 1 1 1A B C 与 2 2 2A B C 的 位似比为 2 ; (3)在 ( )2 中,若 2 2 2A B C 边上一点 2P 的坐标为 ( ),a b ,则点 2P 在 1 1 1A B C 上的对应点 1P 的坐标为 . 21.(9 分)某工厂加工一批茶叶罐.设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示(单位:mm). 第5页/共22页 (1)图中的立体图形的名称是:_. (2)请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积. 22.(9 分)某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图: (1)如图建立平面直角坐标系,使抛物线对称轴为 y 轴,求该抛物线的解析式; (2)若需要开一个截面为矩形的门(如图所示),已知门的高度为 1.60 米,那么门的宽度最大是多少米 (不考虑材料厚度)?(结果保留根号) 23.(10 分)鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示,一架水平飞行的无 人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为 ,无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处,测 得正前方河流右岸 D 处的俯角为 30 .线段 AM 的长为无人机距地面的铅直高度,点 M、C、D 在同一条 直线上.其中 tan 2, 50 3MC = = 米. (1)求无人机的飞行高度 AM ;(结果保留根号) (2)求河流的宽度CD.(结果精确到 1 米,参考数据: 2 1.41, 3 1.73 ) 24.(10 分)如图,在等边三角形 ABC 中,点 P 是边BC 上一动点( P 点不与端点重合),作 60DPE = , PE 交边 AC 于点 E , PD交边 AB 于点 D . (1)求证: BPD∽ CEP; (2)若 10AC = , 3BD = , : 4 :1BP CP = ,求CE 的长. 25.(10 分)某公司销售一种进价为 20 元/个的计算器,其销售量 y(万个)与销售价格 x(元/个)的变化 满足 1 8 10 y x= − + ;同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计 40 万元. (1)求出该公司销售这种计算器的净得利润 z(万元)与销售价格 x(元/个)的函数解析式,销售价格定 第6页/共22页 为多少元时净得利润最大,最大值是多少? (2)该公司要求净得利润不能低于 40 万元,请写出销售价格 x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量 尽可能大,销售价格应定为多少元? 26.(12 分)[证明体验](1)如图 1,在 ABC 和 BDE 中,点 A,B、D 在同一直线上,∠A=∠CBE= ∠D=90 ,求证: ABC∽ DEB. (2)如图 2,图 3,AD=20,点 B 是线段 AD 上的点,AC⊥AD,AC=4,连结 BC,M 为 BC 中点,将线 段 BM 绕点 B 顺时针旋转 90 至 BE,连结 DE. [思考探究](1)如图 2,当 2 2 DE ME= 时,求 AB 的长. [拓展延伸](2)如图 3,点 G 过 CA 延长线上一点,且 AG=8,连结 GE,∠G=∠D,求 ED 的长. 第7页/共22页 参考答案 1.【答案】C 【分析】从 1 到 9 这 9 个自然数中任取一个有 9 种可能的结果,其中是 2 的倍数或是 3 的倍数的有 2,3, 4,6,8,9 共计 6 个. 【详解】解:从 1 到 9 这 9 个自然数中任取一个有 9 种可能的结果,是 2 的倍数或是 3 的倍数的有 6 个结 果,因而概率是 2 3 . 故选:C. 【点睛】用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.正确写出是 2 的倍数或是 3 的倍数的数有 哪些是本题解决的关键. 2.【答案】D 【分析】根据二次函数 2y ax k= + 的性质可判断 A,B,D,根据二次函数与一元二次方程的关系可判断 C. 【详解】解:∵ 2 1y x= − + , ∴顶点坐标为 ( )0,1 ,故 A 不正确; ∵二次项系数 1 0− , ∴抛物线开口向下,函数有最大值,故 B 不正确,D 正确; ∵对于方程 2 1 0x− + = , 4 0 = , ∴抛物线与 x 轴有 2 个交点,故 C 不正确. 故选:D. 【点睛】本题考查了二次函数 2y ax k= + (a,h,k 为常数, 0a )的性质,熟练掌握二次函数 2y ax k= + 的 性质是解答本题的关键. 2y ax k= + 是抛物线的顶点式,a 决定抛物线的形状和开口方向,其顶点是 (0, )k ,对称轴是 y 轴. 3.【答案】A 【分析】几何体的表面积是几何体正视图,左视图,俯视图三个图形中,正方形的个数的和的 2 倍. 【详解】解:正视图中正方形有 3 个; 左视图中正方形有 3 个; 俯视图中正方形有 3 个. 则这个几何体表面正方形的个数是:2 (3+3+3)=18. 则几何体的表面积为 18. 故选:A. 【点睛】本题考查了几何体的表面积,这个几何体的表面积为露在外边的面积和底面积之和. 4.【答案】B 【分析】延长 BA 到点 D,连接CD,根据题意可得 90CDB = , 2 3 2CD BD= =, ,然后利用锐角三 第8页/共22页 角函数的定义进行计算即可解答. 本题考查了解直角三角形,勾股定理,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 【详解】如图:延长 BA 到点 D,连接CD 由题意得∶ 90CDB = , 2 2 2 21 1 ? 2 3 3 3 2CD BD= + = = + =, , ∴ 2 1 tan = 33 2 = = CD ABC BD 故选:B. 5.【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的应用,求反比例函数的表达式是解决问题的关键,根据题意求出函数 表达式,根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解. 【详解】设反比例函数的解析式为 k I R = , 把点 P 坐标代入得:0.25 880 k = ,解得: 220k = , 即函数解析式为: ( ) 220 0I R R = ,故 B 不正确; 当 0.2I = 时,即 220 0.2 R = ,解得: 1100R = ;故 A 不正确; 当 500R = 时, 220 0.44 500 I = = , 由图象知,当 500R 时, 0.44I ,故 C 不正确; 当 880R = 时, 220 0.25 880 I = = ,当 1000R = 时, 220 0.22 1000 I = = , 图象表明当880 1000R 时,则0.22 0.25I ,故 D 正确; 故选:D. 6.【答案】B 【分析】本题考查了位似的性质,熟练掌握性质是解题的关键. 根据 ABC DEF∽ ,利用位似的性质判断解答即可. 【详解】解:∵ ABC DEF∽ ,相似比为1 2∶ , ∴ : 1: 2BC EF = , ∴ ACB DFE = , ∵位似图形的对应线段平行且比相等;位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比; ∴ AC DF∥ , 第9页/共22页 ∴ OAC ODF = . ∴ : : :OA AD OC CE AC DF= , 故 ACD 正确,B 错误, 故选:B. 7.【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理,连接OB ,由切线的性质得出 90OBC = ,求出 P 所对 的圆心角度数,再由圆周角定理即可得出答案. 【详解】解:连接OB ,如解图所示,则 90OBC = . 90 50COB C = − = . 130AOB = . 点 P 在劣弧 AB 上, P 所对的圆心角为360 130 230 − = . 1 230 115 2 P = = , 故选:A. 8.【答案】C 【分析】令 0x = 求得与 y 的交点,令 0y = ,计算一元二次方程根的判别式,进而即可求解. 【详解】解:当 x=0 时,y=1, 当 y=0 时,0= 2 2 1x x− + + , ∴ = −2 4b ac ( ) 22 4 1 1 −− = =8>0. ∴与 x 轴有两个交点 ∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点. 故选:C. 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题,求得方程的判别式是解题的关键. 9.【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义,理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键. 根据相似多边形的定义“对应角相等,对应边成比例”进行分析即可求解. 【详解】解:如图所示,延长? ? 交 A B 于点 D ,延长 BC 交 A C 于点 E ,过点A 作FG BC交 ,A B A C 于点 ,F G , 第10页/共22页 ∵ ,AF BD AB DF , ∴四边形 ABDF 是平行四边形, ∴ AB FD= , 同理,四边形 ACEG 是平行四边形, ∴ AC GE= , ∵ FG DE B C , ∴ A FG A B C ∽ , ∴ A F A G A B A C = , A F A G FD GE = , ∴ A F A B A G A C = , A F FD A G GE = , ∴ A F AB A G AC = , ∴ A B AB A C AC = ,即 AB AC A B A C = 同理可得, AB BC A B B C = , ∴ AB AC BC A B A C B C = = , ∵ A B AB ,DE B C , ∴ ABC A DB A B C = = , 同理, ACB A EC A C B = = , ∴ BAC A = , ∴ A B C ABC ∽ ; 如图所示,延长? ? 交 B C 于点 H ,延长 BA 交 A D 于点 F ,延长DA交 A B 于点 E ,延长? ? 交 A B 于点 G , 第11页/共22页 ∵四边形 ABCD是正方形,边长为 4 ,四边形 A B C D 是正方形, ∴ 4, 90AB BC CD AD ABC BCD CDA BAD= = = = = = = = , 90A B C D = = = = ∴ 1, 1, 4AE AF BG BH GE AB= = = = = = , ∴ 1 4 1 6A B B C C D A D = + + = = = = , ∴ 2 ' 3 AB BC CD AD A B B C C D A D = = = = ,且对应角都是90 ,都相等, ∴正方形 ABCD∽正方形 A B C D ; 如图所示,矩形 ABCD, 4, 6AB CD BC AD= = = = , 计算方法同上述正方形, ∴矩形 A B C D , ' 6, 8A B C D B C A D= = = = , ∴ 2 3 3 4 AB BC A B B C = = , ∴矩形 ABCD于矩形 A B C D 不是相似图形; 综上所述,新图形和旧图形是相似多边形的有 2 组, 故选:C . 10.【答案】B 【分析】根据正六边形的性质可得 ( )2 3P , ,因为点 P 在函数 ky x = 的图象上,因此可求出函数解析式, 利用正六边形平移设 ( )3B m n+, , ( )1C m n+ , ,根据平移后点 B、C 恰好都落在该函数的图象上,将这 两个点代入函数解析式即可求出 m、n 的值,即可得出答案. 【详解】过点 P 作 PG x⊥ 轴于点 G,连接 BP , 由题意可知 2AB BC CD DE EF AF BP= = = = = = = ,G 是CD的中点, 第12页/共22页 3PG = , ( )2 3P , , 点 P 在函数 k y x = 的图象上, 2 3k = , 2 3 y x = , 正六边形 ABCDEF 中 120BCD = , 60BCO = , 在Rt BCO 中, 2BC = , 3 sin 60 2 3 2 BO BC = = = , 1 1 2 1 2 2 OC BC= = = , ( )0 3B , , ( )1 0C , , 设正六边形向右平移 m 个单位,向上平移 n 各单位,则 ( )3B m n+, , ( )1C m n+ , 使点 B、C 恰好都落在该函数的图象上, ( ) ( ) 3 2 3 1 2 3 m n n m + = + = , 解得 1 3 m n = = 或 2 2 3 m n = − = , 又 0x , 1 3 m n = = , 即正六边形右平移 1 个单位,上平移 3 个单位, 故选:B. 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式,正六边形的性质,反比例函数的图像和性质,将正 六边形的边角关系和反比例函数上点的坐标结合起来是解题的关键. 11.【答案】8 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,证得 CDE CAB ∽ 是解题的关键. 先证明 CDE CAB ∽ ,然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可. 【详解】解:∵DE AB∥ , ∴ CDE CAB ∽ , ∴ : :CD AC DE AB= , ∴ ( )60 20 : 60 :12DE− = , 解得: 8cmDE = . 第13页/共22页 故答案为:8. 12.【答案】75 【分析】分别根据特殊角的三角函数值求出∠A 和∠B 的度数,然后根据三角形的内角和定理求得∠C 的 度数. 【详解】∵sinA= 2 2 ,cosB= 1 2 ,∠A、∠B 为锐角, ∴∠A=45 ,∠B=60 , 则∠C=180 ﹣∠A﹣∠B=75 . 故答案为 75 . 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值. 13.【答案】40 cm2 【分析】圆锥的侧面积=底面周长 母线长 2. 【详解】解:底面半径为 5cm,则底面周长=10 cm,侧面面积= 1 2 10 8=40 cm2. 故答案为 40 cm2. 【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解. 14.【答案】 1 5 /0.2 【分析】证明 1 2 AF EF AE CF BF BC = = = ,推出 2 4BCF ABF AEFS S S= = ,设 AEFS m= ,则 2ABFS m= , 4CBFS m= ,求出四边形 FEDC 的面积,可得结论. 【详解】解:∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴ AD BC= , AD BC∥ , ∴ AF EF AE CF BF BC = = , ∵ E 是边 AD 的中点, ∴ 1 1 2 2 AE DE AD BC= = = , ∴ 1 2 AF EF AE CF BF BC = = = , ∴ 2 4BCF ABF AEFS S S= = , 设 AEFS m= ,则 2ABFS m= , 4CBFS m= , ∴ 6ACB ADCS S m= = , ∴ 6 5FECDS m m m= − =四边形 , 1 : :5 5 AFE FECD S S m m= = 四边形 ; 故答案为: 1 5 . 第14页/共22页 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质等知识,解题的关键是掌握平行线分线段 成比例定理,属于中考常考题型. 15.【答案】4 【分析】连接OA,由勾股定理求出OC ,即可求解. 【详解】解:连接OA,如下图所示, ∵ O 的直径为 20 米, ∴ 10mOA = , 又∵OD AB⊥ 交圆与点 D,垂足为点 C, AB 为 16 米, ∴ 1 8m 2 AC BC AB= = = , 在Rt OAC 中, 2 2 2 210 8 6OC OA AC= − = − = , 则水深 ( )m10 6 4CD OD OC= − = − = , 故答案为:4. 【点睛】此题考查了垂径定理的运用、勾股定理;通过作辅助线运用垂径定理和勾股定理是解决问题的关 键. 16.【答案】36 或72 /72 或36 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出 72C ABC = = ,分为点 C 的对应点落在 AC 边和 AB 边两种情况讨论,①当点 C 的对应点落在 AC 边,根据旋转的性质和等腰三角形的性质可得 72BEC C = = ,再次利用三角形的内角和定理求出 EBC 即可;②当点 C 的对应点落在 AB 边,直接 可得到旋转角的度数. 【详解】解:∵ AB AC= , 36A = , ∴ ( ) 1 180 72 2 C ABC A = = − = , ①当点 C 的对应点落在 AC 边,如图所示, 第15页/共22页 ∴ BE BC= , ∴ 72BEC C = = , ∴ 180 36CBE C BEC = = − − = ; ②当点 C 的对应点落在 AB 边,如图所示, ∴ 72ABC = = 故答案为:36 或72 . 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理,正确理解题意、熟练掌握上 述知识、明确 EBC 即为旋转角是解题的关键. 17.【答案】 2 5 【分析】首先根据题意求得所有点的坐标,由阴影部分是抛物线 y=﹣x2+4 在 x 轴上的部分与 x 轴所围而 成,可得(1,﹣1),(2,﹣2)不在阴影部分内部,然后分析剩余 3 个点即可求得答案. 【详解】由题意知,点 P 的坐标为(﹣2,2),(﹣1,1),(0,0),(1,﹣1),(2,﹣2), ∵阴影部分在 x 轴上方, ∴(1,﹣1),(2,﹣2)不在阴影部分内部, 当 x=﹣2 时,y=﹣x2+4=0<2,点(﹣2,2)不在阴影部分内; 当 x=﹣1 时,y=﹣x2+4=3>1,点(﹣1,1)在阴影部分内; 当 x=0 时,y=﹣x2+4=4>0,点(0,0)在阴影部分内; ∴点 P 落在该阴影部分内(包含边界)的概率为 2 5 , 故答案为 2 5 . 【点睛】此题考查了抛物线中点与抛物线的关系与古典概率的知识.题目综合性较强,解题时要注意数形 结合思想的应用. 18.【答案】6 第16页/共22页 【分析】本题考查的是利用图形面积求解反比例函数中的 k ,相似三角形的判定与性质,设 , k A a a ,证 明 ABD COD∽ ,可得 2 2CO AB a= = , 1 3 3 k BD DO a = = ,再利用三角形的面积建立方程求解即可. 【详解】解:设 , k A a a , ∴ AB a , k BO a = . ∵ AB y⊥ 轴,CO y⊥ 轴, ∴ AB CO∥ . ∴ ABD COD∽ , ∴ 1 2 AB BD CO OD = = . ∴ 2 2CO AB a= = , 1 3 3 k BD DO a = = . 又∵ 1 1 2 2 2 2 3 BCD k S BD CO a a = = = , ∴ 6k = . 故答案为:6. 19.【答案】(1)6 3 ;(2)x1=x2=−1. 【分析】(1)将特殊锐角三角函数值代入、计算绝对值、零指数幂、化简二次根式,再进一步计算可得; (2)方程左边利用完全平方公式变形后,开方即可求出解. 【详解】(1)原式= 3 4 1 1 4 3 2 − + + = 2 3 4 3+ = 6 3 . (2)方程变形得:(x+1)2=0, 开方得:x+1=0, 解得:x1=x2=−1. 【点睛】本题考查锐角三角函数,零指数幂,绝对值,化简二次根式,配方法解一元二次方程.解答本题的 关键是(1)熟记特殊角的三角函数和任何非 0 数的零指数幂等于 1,会化简二次根式和会求绝对值.(2) 熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤. 20.【答案】(1)见解析; (2)见解析; (3) ( )2 , 2a b . 【分析】本题考查了作图-位似变换:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为 k ,那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或 k− .也考查了位似的性质. 第17页/共22页 ( )1 连接 1AA 、 1BB 、 1CC , 1AA 、 1BB 、 1CC 的交点M 就是位似中心; ( )2 连接 1OA 、 1OB 、 1OC ,分别取 1OA 、 1OB 、 1OC 的中点 2A 、 2B 、 2C ,连接 2A 、 2B 、 2C 得到 2 2 2A B C , 2 2 2A B C 即为所求; ( )3 因为 1 1 1A B C 与 2 2 2A B C 的位似比为 2 ,点 2P 的坐标为 ( ),a b ,则点 2P 在 1 1 1A B C 上的对应点 1P 的坐标为 ( )2 , 2a b . 【详解】(1)解:如下图所示,连接 1AA 、 1BB 、 1CC , 1AA 、 1BB 、 1CC 的交点M 就是位似中心; (2)解:如下图所示,连接 1OA 、 1OB 、 1OC , 分别取 1OA 、 1OB 、 1OC 的中点 2A 、 2B 、 2C , 连接 2A 、 2B 、 2C 得到 2 2 2A B C , 2 2 2A B C 即为所求; (3)解: 1 1 1A B C 与 2 2 2A B C 的位似比为 2 ,点 2P 的坐标为 ( ),a b , 则点 2P 在 1 1 1A B C 上的对应点 1P 的坐标为 ( )2 , 2a b . 21.【答案】(1)圆柱 第18页/共22页 (2) 231200 mm 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体,计算圆柱的表面积: (1)根据左视图和主视图是长方形,则该几何体是柱体,再由俯视图为圆可知该几何体是圆柱; (2)根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案. 【详解】(1)解:由题意得,主视图和左视图都是长方形,俯视图是圆,则该立体图形是圆柱, 故答案为:圆柱; (2)解:120 2 60mm = , 2120 200 2 60 60 31200 mm + = , ∴制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为 231200 mm . 22.【答案】(1) 21 2 2 y x= − + ;(2) 4 5 5 . 【详解】试题分析:(1)根据题意设出二次函数的解析式,把图象上点的坐标代入即可求出二次函数的解 析式; (2)令 y=1.6,求出 x 的值,即可确定门的最大宽度. 解:(1)由图可设抛物线的解析式为:y=ax2+2, 由图知抛物线与 x 轴正半轴的交点为(2,0),则:a 22+2=0, ∴a=﹣ , ∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+2; (2)当 y=1.60 时,知 1.6=﹣ x2+2, 解得:x= , 所以门的宽度最大为 2 = 米. 考点:二次函数的应用. 23.【答案】(1)100 3 米;(2)263 米 【分析】(1)根据正切的定义即可求出 AM 的长; (2)过点 B 作 BH⊥MD,根据三角函数求出 DH 的长,利用 CD=DH-CH 即可求解. 【详解】(1)由题意可得 AF∥MD ∴∠ACM=∠FAC= 在 Rt ACM 中,AM=CMtan∠ACM=CM tan 50 3 2 100 3 = = (米); (2)如图,过点 B 作 BH⊥MD, 在 Rt BDH 中,∠BDH=∠FBD=30 ,BH=100 3 ∴DH=BH tan30 =100 3 3 3 =300 米, 第19页/共22页 ∵AM⊥DM,AM⊥AF ∴四边形 ABHM 是矩形 ∴MH=AB=50 米 ∴CH=CM-MH=50 3 -50(米) ∴CD=DH-CH=300-(50 3 -50)=350-50 3 ≈263(米) 故河流的宽度CD为 263 米. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用,解题的关键是熟知解直角三角形的方法. 24.【答案】(1)见解析 (2) 16 3 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识,推导出 BPD CEP = ,进而证明 BPD CEP∽ 是解题的关键. (1)由等边三角形的性质得 60B C = = ,而 60DPE = ,则 120BDP CPE BPD = = − ,即可根 据“两角分别相等的两个三角形相似”证明 BPD CEP∽ ; (2)由 10BC AB= = , : 4 :1BP CP = ,求得 8BP = , 2CP = ,由相似三角形的性质得出 BP BD CE CP = ,求得 BP CP CE BD = ,得出答案. 【详解】(1)证明:∵ ABC 是等边三角形, ∴ 60B C = = , ∴ 180 120BDP B BPD BPD = − − = − , ∵ 60DPE = , ∴ 180 120CPE DPE BPD BPD = − − = − , ∴ BPD CEP = , ∴ BPD CEP∽ ; (2)解:∵ 10AC = , 3BD = , : 4 :1BP CP = , ∴ 10BC AB= = , ∴ 4 4 4 10 8 1 4 5 5 BP BC BC= = = = + , 1 1 1 10 2 1 4 5 5 CP BC BC= = = = + , ∵ BPD CEP∽ , 第20页/共22页 ∴ BP BD CE CP = , ∴ 8 2 16 3 3 BP CP CE BD = = = , ∴CE 的长是 16 3 . 25.【答案】(1) 21 10 200 10 z x x= − + − ,当销售价格 50 元/个时,最大利润为 50 万元;(2)40 60x , 40. 【分析】(1)总净利润=单件利润 销售量-40,首先求出单件利润(x-20),然后乘以销售量 y,将解析式 化为顶点式即可求解; (2)令(1)中解析式的值为 40,然后作出函数图像示意图,根据示意图即可求解 x 的取值范围,然后结 合销售量和销售价的关系即可判断 x 的值. 【详解】(1)根据题意得: ( )20 40z x y= − − = ( ) 1 20 8 40 10 x x − − + − = 21 10 200 10 x x− + − 将其化为顶点式: 21 10 200 10 x x− + − = ( )2 1 100 200 10 x x− − − = ( ) 21 50 2500 200 10 x − − − − = ( ) 21 50 50 10 x− − + ∴销售价格定为 50 元/个时净得利润最大,最大值是 50 万元. (2)当公司要求净得利润为 40 万元时,即 ( ) 21 x 50 50 40 10 − − + = 解得:x1=40,x2=60 如图,通过观察函数 y= ( ) 21 50 50 10 x− − + 的图象,可知按照公司要求使净得利润不低于 40 万元,则销售 价格的取值范围为:40≤x≤60 而 y 与 x 的函数关系式为: 1 8 10 y x= − + ,y 随 x 的增大而减少, 因此,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为 40 元/个. 第21页/共22页 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,在本类题型中,将二次函数的一般式化为顶点式是解题的关 键. 26.【答案】(1)见解析 (2)①AB=16,② 6 2ED = 【分析】(1)、由同角的余角相等,即可证出两三角形相似. (2)、①由旋转性质和中点可以得到 BE=DE,再由等腰三角形三线合一及相似列方程求解即可,②过点 M 作 AD 的垂线交 AD 于点 H,过点 E 作 AD 的垂线交 AD 于点 F,过 D 作 DP⊥AD,过 E 作 NP⊥DP,交 AC 的延长线于 N,再由三角形全等和三角形相似列方程求出. 【详解】解:(1)证明 ∵∠A=90 ,∠CBE=90 , ∴∠C+∠CBA=90 ,∠CBA+∠DBE=90 , ∴∠C=∠DBE(同角的余角相等). 又∵∠A=∠D=90 , ∴ ABC∽ DEB; (2)①∵M 绕点 B 顺时针旋转 90 至点 E,M 为 BC 中点, ∴ BME 为等腰直角三角形, 1 2 BE BM BC BC = = , ∴ 2 2 BE ME= , 又∵ 2 2 DE ME= , ∴BE=DE. 如图,过点 E 作 EF⊥AD,垂足为 F,则 BF=DF, ∵∠A=∠CBE=∠BFE=90 , ∴由(1)得: ABC∽ FEB, ∴ 1 2 BF BE AC BC = = , ∵AC=4, ∴BF=2, ∴AB=AD-BF-FD=20-2-2=16; ②如图,过点 M 作 AD 的垂线交 AD 于点 H,过点 E 作 AD 的垂线交 AD 于点 F,过 D 作 DP⊥AD,过 E 作 NP⊥DP,交 AC 的延长线于 N, ∵M 为 BC 中点,MH∥AC, 第22页/共22页 1 2 MH BM BH AC BC AB , ∴ 1 2 2 MH AC= = ,BH=AH, ∵∠MHB=∠MBE=∠BFE=90 , 由(1)得: HBM FEB , ∵MB=EB, ∴ MHB≌ BFE, ∴BF=MH=2,EF=BH, 设 EF=x,则 DP=x,BH=AH=x,EP=FD=20-2-2x=18-2x,GN=x+8,NE=AF=2x+2, 由(1)得 NGE∽ PED, ∴ PE PD NG NE = 即 18 2 8 2 2 x x x x − = + + , 解得 1 6x = , 2 6 5 x = − (舍去), ∴FD=18-2x=6, ∴ 2 2 2 26 6 6 2ED EF FD= + = + = . 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,同角的余角相等,旋转的性质,等腰三角形的性质,全等 三角形的性质与判定等知识,牢固掌握所有知识点,并通过分析题目做出辅助线,通过三角形相似列出方 程是本题的关键.