精品解析：湖北省武汉市东西湖区2024-2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

武汉市东西湖区2024-2025学年度上学期期中考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号结果． 1. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（　　） A. 和 B. 和 C. 3和 D. 3和8 2. 下列国产汽车车标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 判断方程根的情况是（　　） A. 有一个实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 有两个不等实根 4. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线是　　 A. B. C. D. 5. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是的优弧上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　） A. 90° B. 75° C. 60° D. 45° 8. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象经过和两点，则的值是　　 A. 0 B. 2023 C. 2024 D. 2025 10. 如图，在△中，，点在以为直径的上，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 12. 为促进消费，某地方政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某商场的月销售额逐步增加：据统计8月份的销售额为300万元．接下来9月．10月的月增长率相同．10月份的销售额为700万元、若设9月、10月每月的增长率为x，则可列方程为__________． 13. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间/（单位：t）之间只有函数关系．则小球飞出_____小时，达到最大高度． 14. 如图，，是中两条平行的弦和在圆心的两侧），且，，的半径是，则、之间的距离为_____． 15. 如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则__________． 16. 二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点且平行于轴的直线与抛物线有唯一公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上．当实数时，．．其中正确的结论是__________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知关于的方程的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 18. 如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 （1）旋转中心是点______，旋转角是________和_____； （2）当旋转角为时，求的度数． 19. 抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． （1）点A的坐标为__________，点B的坐标为_______； （2）抛物线顶点坐标为_________________； （3）当时，函数值的取值范围是_________； （4）当时，自变量的取值范围是__________． 20. 如图，是的直径，点为半圆上一点，交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 21. 在8×8的正方形网格中，经过格点A、B、C，点D为弧上的任意一点．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）在图1中，连接，先画出弦关于圆心对称的弦，再画出的中点； （2）在图2中，连接，先在圆上画出点，使平分，再画出将弦绕点顺时针旋转得到的线段． 22. 某商品每件成本为20元．经过市场两研发现．该商品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表： 时间：/天 1 3 10 20 日销售量 m/H 98 94 80 60 这20天中．该商品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为： （1为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m关于t的函数关系式； （2）在这20天中，求日销售利润的最大值； （3）在这20天中，日销售利润不低于608元的天数有_________天（直接写答案）． 23. 问题背景如图1，在△和△中，，，，连接和．求证：． 尝试应用 如图2，在（1）的条件下，与交于点，若为中点，求的大小． 拓展应用 如图3，△和△都是等腰直角三角形，的延长线交于点，连接，若，，，直接写出的长． 24. 抛物线交x轴于，两点在的左边，交轴于点，且，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． （1）直接写出抛物线的解析式： （2）如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标： （3）如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为、，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市东西湖区2024-2025学年度上学期期中考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号结果． 1. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（　　） A. 和 B. 和 C. 3和 D. 3和8 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念即可求解．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：方程的二次项系数和一次项系数分别为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 2. 下列国产汽车车标是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，所以不是中心对称图形． 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，符合题意． 故选：C． 3. 判断方程根的情况是（　　） A. 有一个实根 B. 有两个相等实根 C. 没有实根 D. 有两个不等实根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的值判断即可． 【详解】解：， ∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 4. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的抛物线是：． 故选：C． 5. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选C． 6. 如图，点是的优弧上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：A． 7. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（　　） A. 90° B. 75° C. 60° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转角的定义可得旋转角为∠BOD，结合图形即可求得旋转的角度． 【详解】解：由题意可知，旋转角为∠BOD， 由图可知，∠BOD=90°，即旋转的角度为90°， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转角，根据题意正确找到旋转角是解答的关键． 8. 若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，代入各点的横坐标，求出，，的值，比较后即可得出结论. 【详解】解：当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， ， ， 故选: D． 9. 已知二次函数的图象经过和两点，则的值是　　 A. 0 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，由二次函数的图象经过和两点，从而，是关于的一元二次方程的两个实数根，故，，，进而可以判断得解． 【详解】解：二次函数的图象经过和两点， ，是关于的一元二次方程的两个实数根， ，，． ∴，， ． 故选：B． 10. 如图，在△中，，点在以为直径的上，连接，，过点作交的延长线于点．若，，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质及圆周角定理推出，根据等腰三角形的判定推出，根据直角三角形的性质及线段的和差求出，根据勾股定理求出，再证明可得结论． 【详解】解：如图，连接，． ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， （舍去）或， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 为促进消费，某地方政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某商场的月销售额逐步增加：据统计8月份的销售额为300万元．接下来9月．10月的月增长率相同．10月份的销售额为700万元、若设9月、10月每月的增长率为x，则可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意，找出等量关系列出相应的一元二次方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 13. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间/（单位：t）之间只有函数关系．则小球飞出_____小时，达到最大高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数配成顶点式 ，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∵， 当时，h的最大值为25， 即时，h的值最大， 故答案为：． 14. 如图，，是中两条平行的弦和在圆心的两侧），且，，的半径是，则、之间的距离为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，作于，延长交于，连接，，由垂径定理，勾股定理即可求解． 【详解】解：作于，延长交于，连接，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 15. 如图，已知点，点B在y轴正半轴上，将线段绕点A顺时针旋转到线段，若点C的坐标为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案． 【详解】解：在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F， ∵点C的坐标为， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵（旋转的性质）， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理、旋转的性质等知识，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 16. 二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点且平行于轴的直线与抛物线有唯一公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上．当实数时，．．其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可． 【详解】解：由题意，二次函数的图象与轴交于点， ． 又对称轴为直线， ． ． ，故①正确． 当时，，即：， △， 有两个相等的实数根， 过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点，故②是正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线， 与轴交于另一个点为， 二次函数的图象与轴交于点，， 二次函数的图象与轴交于点，， 关于的不等式的解集为，故③错误； 当时， 实数， ， 到的距离小于到的距离， ，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 已知关于的方程的一个根为3，求k的值及它的另一个根． 【答案】，另一根为 【解析】 【分析】由于一根为3，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根． 【详解】解：方程的一个根为3， ， 解得， 设另一根为， ， ， ∴另一根为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 18. 如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 （1）旋转中心是点______，旋转角是________和_____； （2）当旋转角为时，求的度数． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； 【小问2详解】 将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 19. 抛物线与轴交于、两点在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． （1）点A的坐标为__________，点B的坐标为_______； （2）抛物线顶点坐标为_________________； （3）当时，函数值的取值范围是_________； （4）当时，自变量的取值范围是__________． 【答案】（1）， （2）， （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线为，可令，则，求出或，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，可得其顶点为，，进而得解； （3）依据题意，由，可得当时，取最小值为，又当时，；当时，，进而可以判断得解； （4）依据题意，令，则，故，又当时，二次函数图象在一次函数图象上方，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线为， 令，则． 或． ，． 故答案为：，． 【小问2详解】 由题意，， 其顶点为，． 故答案为：，． 【小问3详解】 由题意，， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 【小问4详解】 由题意，令， ． ． 由题意，当时，二次函数图象在一次函数图象上方， 此时，或． 故答案为：或． 20. 如图，是的直径，点为半圆上一点，交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理及其推论，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得平分，即可解答； （2）连接，交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得：，从而在中，利用勾股定理可得，再利用（1）的结论可得：，从而可得，然后利用垂径定理可得，从而在中，利用勾股定理可得，进而可得，最后在中，利用勾股定理可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，交于点，连接， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 在中，． 21. 在8×8的正方形网格中，经过格点A、B、C，点D为弧上的任意一点．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） （1）在图1中，连接，先画出弦关于圆心对称的弦，再画出的中点； （2）在图2中，连接，先在圆上画出点，使平分，再画出将弦绕点顺时针旋转得到的线段． 【答案】（1） 如图所示，、点即为所求； （2） 如图所示，、即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握圆的对称性和圆周角定理． （1）连接并反向延长交圆于点，连接即可，再根据矩形的性质找出中点连接即可； （2）由题意可得，利用正方形对角线平分对角即可找出点；延长和相交于点，即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某商品每件成本为20元．经过市场两研发现．该商品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t（单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表： 时间：/天 1 3 10 20 日销售量 m/H 98 94 80 60 这20天中．该商品每天的价格y（单位：元/件）与时间t的函数关系式为： （1为整数），根据以上提供的条件解决下列问题： （1）直接写出m关于t的函数关系式； （2）在这20天中，求日销售利润的最大值； （3）在这20天中，日销售利润不低于608元的天数有_________天（直接写答案）． 【答案】（1） （2）当时，有最大值为612.5 （3）7 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的数量关系． （1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据二次函数的顶点坐标即可求解； （3）先求出时的取值，再根据函数的性质得出结论． 【小问1详解】 解：设日销售量关于时间的一次函数为， 将，代入，得， 解得，， 则关于的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元， 根据题意，得 ， ， 当时，有最大值为612.5， 答：这20天中最大的销售利润是612.5元； 【小问3详解】 当时，， 解得，， 在这20天中，第12，13，14，15，16，17，18天利润不低于608元， 日销售利润不低于608元的天数有7天， 故答案为：7． 23. 问题背景如图1，在△和△中，，，，连接和．求证：． 尝试应用 如图2，在（1）的条件下，与交于点，若为中点，求的大小． 拓展应用 如图3，△和△都是等腰直角三角形，的延长线交于点，连接，若，，，直接写出的长． 【答案】问题背景： 证明：， ， ，， ， ； 尝试应用：， 拓展应用：或 【解析】 【分析】问题背景：根据证明可得结论； 尝试应用：如图2，连接，证明，则，，，四点共圆，根据圆内接四边形对角互补，可得； 拓展应用：如图3，连接，过点作于，根据△，得，连接，设，则，根据勾股定理解方程即可解答． 【详解】问题背景：略 尝试应用： 解：如图2，连接， ，是的中点， ， ， ，， ，， ， ， ，，，四点共圆， ， ； 拓展应用： 解：如图3，连接，过点作于， 由问题背景同理得：， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形，， ， 连接， ， ，，，四点共圆， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：或4， 当时，， ， ； 当时，， ， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 抛物线交x轴于，两点在的左边，交轴于点，且，是第四象限抛物线上的一点，直线交轴于点． （1）直接写出抛物线的解析式： （2）如图1，点是直线上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为点，轴．交于点，当时，求周长最大时点的坐标： （3）如图2，直线交抛物线于另一点，连接、，将、的面积分别记为、，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，证明是等腰直角三角形，则的周长为，进而求得直线的解析式为，则，表示出，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）设，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，根据根与系数的关系得出，，进而得出，然后表示出、，再求比值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴， 则，． 将，代入得， 解得： ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴ 又∵轴， 则， ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∴ ∴的周长为， ∵，则， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得： ∴直线的解析式为，则 ∴ ∴的周长为， ∴当时，的周长最大， 此时，即； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵， 设，， 设直线的解析式为，联立抛物线解析式得， 消去得，， 根据根与系数的关系可得 又∵ ∴ 设直线的解析式为，联立抛物线解析式得， 消去得，， 根据根与系数的关系可得 又∵ ∴ ∴，解得： 同理可得 ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与二次函数综合，面积问题，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $