精品解析：广东省惠州市泰雅实验高中2024-2025学年高一上学期12月期中考试数学试题

惠州市泰雅实验高中高一第二次月考试题 数 学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由题意可得，又， 故. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，代入点坐标求出解析式再代入值. 【详解】设幂函数，由于图象经过点，所以，即， 所以，则. 故选：D. 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数和的单调性即可比较大小. 【详解】因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以，， 即b，，因为，所以，即，综上：. 故选：A. 5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的定义与函数的性质逐一判断即可得结论. 【详解】对于A，函数的定义域为， 其定义域不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为R且，为偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为R且，为偶函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为R，关于原点对称， 当时，；，， 所以； 当时，；，， 所以； 当时，，满足； 综上所述，函数为奇函数， 又当时，在上单调递增， 由奇函数的性质可知在R上为增函数，故D正确. 故选：D. 6. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 7. 命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化问题为在上有解，求出的取值范围，进而结合充分不必要条件的定义判断即可求解. 【详解】依题意，：，真命题， 所以在上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意； 当时，若在上有解，则，解得， 综上所述，， 所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，进而可得的奇偶性和单调性，将不等式转化为，结合单调性可求得其解集. 【详解】因为，，，不妨设， 由可得， 令，则，即函数在上单调递增， 又因为，所以， 所以在上为奇函数，则在上单调递增， 由，可得， 即，所以，解得， 即的解集为. 故选：C. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断A项B项正误；对平方后再应用基本不等式即可判断C项正误；应用“1”的代换，将展开再应用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，B,因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为， 所以即的最大值是，故A错误，B正确； 对于C，因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值是，故D正确． 故选：BCD. 10. 土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位:与时间(单位:)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（ ）) A. 表示未经处理时土壤中的重金属含量 B. 的值为 C. 使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约 D. 函数为减函数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件，先求出，再结合对数公式，即可求解． 【详解】当时，，故表示未经处理时土壤中的重金属含量，A正确， 当时，，①，故，B错误， ，②， 联立①②解得，， 则， 故使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约．C错误， 由于，，所以单调递增，因此单调递减，D正确， 故选：AD 11. 设定义在上的函数，满足，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则当时， D. ，，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项取即可得结果；B选项令即可的结果；C选项令即可得结果；D选项令得，令，，得的代数式化简并的到结果小于0，即可. 【详解】选项A，令，可得，故A正确； 选项B，令，可得，所以是奇函数，故B正确； 选项C，，令可得，则，故C错误； 选项D，令，，即，令，， 由题， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数是R上的奇函数，则函数的图象必过定点______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据奇函数的性质得到的图象过定点，再平移函数图象即可得到答案. 【详解】因为函数是R上的奇函数，所以的图象过定点， 因为的图象向右平移1个单位，向上平移1个单位得到的图象， 则函数的图象必过定点. 故答案为： 13. 设，是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由韦达定理得，，然后化简求解即可. 【详解】因为，是方程的两根， 所以由韦达定理可知，. 则 . 故答案为：. 14. 已知且，且函数在定义域上单调，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【详解】函数在定义域上单调， 当在定义域上单调递减时，，解得； 当在定义域上单调递增时，，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知函数． （1）求，，的值； （2）若，求的值； （3）作出函数的大致图象，并求时，的值域． 【答案】（1），， （2）或1或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域. 【小问1详解】 因为， 所以，， . 【小问2详解】 当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴或（舍）. 综上所述，m的值为或1或. 【小问3详解】 函数的图象，如图所示： 当，， 当，， 综上所述：结合图象可得的值域为. 17. 已知函数为奇函数. （1）求a的值； （2）利用定义证明在上单调递增； （3）若存在，使得成立，求k的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，，任取，，且， 则， 因为，则，，所以，即，所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式明确其定义域，利用奇函数性质建立方程，并结合奇函数定义验证，可得答案； （2）在定义域上任意取，利用作差法，根据指数函数的单调性，结合函数单调性定义，可得答案； （3）利用函数的奇偶性与单调性化简不等式，再利用分离参数整理不等式，根据二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为，所以，即， 此时，则，满足题意，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，即， 因为函数在上单调递增，所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则， 令（），则，由， 当时，，即， 所以k的取值范围为. 18. 年月日，小米量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且. （1）当产能不超过台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大； （2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）台 （2）（台），最大利润为（万元） 【解析】 【分析】（1）求出每台的平均利润的表达式，再利用基本不等式求出最大值. （2）由给定的分段函数，利用二次函数最值及基本不等式求出最值，再比较大小即得. 【小问1详解】 依题意，当时，， 每台的平均利润为，当且仅当时取等号， 所以当生产台时，每台的平均利润最大. 【小问2详解】 当时，，当且仅当时取等号； 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以当生产该设备为（台）时所获利润最大，最大利润为（万元）. 19. 对于一个集合，如果，且，记为去掉后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合.回答下列问题： （1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合； （2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由； （3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于的奇数. 【答案】（1）或 （2）不是梦想集合，理由如下： 设，取， 由于为偶数，则， 记为集合去掉元素后构成的集合，而， 易得，且， 故不是梦想集合. （3）证明：假设存在这样的有限集合，使得中元素个数为大于5的奇数，且为梦想集合， 则设，且， 因为，设为集合去掉元素后构成的集合， 所以只能，考虑这个数均属于， 且各不相同，均小于，所以 再考虑与，因为，所以， 即，所以只能； 又因为这个数均属于，且均小于， 所以中与其对应，故， 即，而去掉后的集合为，且， 故矛盾，所以不为梦想集合. 【解析】 【分析】（1）根据梦想集合的定义即可求解； （2）设，取，为偶数时，，而，且，由梦想集合的定义即可求解； （3）用反证法，假设存在这样的有限集合，再根据题设得出矛盾，即可证明. 【小问1详解】 或，给集合增加一个元素或得到集合或， 由题意可得或均为梦想集合. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市泰雅实验高中高一第二次月考试题 数 学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 若幂函数的图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 4 4. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 7. 命题，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，，，当时，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 土壤是自然界中最大的生态系统，具有十分重要的作用.利用绿色化学药剂来降低土壤中的重金属含量是改善土壤环境的一项重要工作，若在使用绿色化学药剂降低土壤中重金属含量的过程中，重金属含量(单位:与时间(单位:)满足关系式，已知处理后，重金属含量减少，则（ ）) A. 表示未经处理时土壤中的重金属含量 B. 的值为 C. 使土壤中的重金属含量减少一半需要处理约 D. 函数为减函数 11. 设定义在上的函数，满足，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 若，则当时， D. ，，， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若函数是R上的奇函数，则函数的图象必过定点______． 13. 设，是方程的两根，则______． 14. 已知且，且函数在定义域上单调，则a的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知函数． （1）求，，的值； （2）若，求的值； （3）作出函数的大致图象，并求时，的值域． 17. 已知函数为奇函数. （1）求a的值； （2）利用定义证明在上单调递增； （3）若存在，使得成立，求k的取值范围. 18. 年月日，小米量产版正式面世，同时也代表了我国新能源汽车的蓬勃发展，向世界证明了我国新能源与高分子材料的研发实力，再次为人民的日常生活带来了便利，该新能源跑车的轮毂均采用碳纤维材料，而生产特质的碳纤维轮毂需要专门的设备来进行．已知某企业生产这种设备的最大产能为台．每生产台，年度总利润为（单位；万元），且. （1）当产能不超过台时，求生产多少台时，每台的平均利润最大； （2）当生产该设备为多少台时，该企业所获年度利润最大？最大利润是多少？ 19. 对于一个集合，如果，且，记为去掉后的集合，若有或，我们就称是一个梦想集合.回答下列问题： （1）写出一个常数，使得集合在添加其作为元素后形成新的集合为梦想集合； （2）给定正偶数和，且，判断集合是否为梦想集合，若是，给出证明；若不是，说明理由； （3）证明：不存在有限的梦想集合，满足中的元素均为正实数，且中的元素个数为大于的奇数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $