精品解析：山西省运城市稷山县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

稷山县2024-2025学年度第一学期期中九年级教学质量监测 数学试题 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试题上无效． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 各边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点，，，，坐标分别为，，，，，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下面的物理问题与数学之间有着紧密联系，一个小球以15的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：，小球（ ）时其高度为10． A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2 5. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两辆车经过该路口，求至少有一辆车直行的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 据统计，今年“十一”假期某市旅游总收入约9千万元，已知该市前年“十一”假期旅游总收入约千万元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，与交于点E，，，四边形是正方形，与的周长比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形中，，，，要用一块矩形铝板切割出这样的四边形并使废料最少，则矩形的面积最小值为（ ） A. 12 B. C. D. 24 9. 数学活动课上，同学们要测量学校门口安装的太阳能电灯杆的高度，如图所示，在地面上一点E处竖直放一根标杆，，，测得太阳能电灯杆底部点B至E的距离为，灯杆的顶端为点A，，在的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得，则该灯杆的高度为（ ） A. 6.5 B. 6.6 C. 6.7 D. 6.8 10. 如图，点E是正方形中边上一动点，连接，，，连接，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，依据下表，它的其中一个解的范围是________． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 12. 稷山麻花—家的味道，稷山饼子—老家的味道，稷山鸡蛋—妈妈的味道，稷山板枣—幸福的味道，“稷山四宝”走进了千家万户，小明的妈妈准备从中选择两种邮寄给外地的朋友，小明将分别写有“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”的四张卡片（除正面文字外，其余完全相同）背面朝上放在桌子上，然后随机抽取两张，则恰好抽到“麻花”“板枣”的概率是________． 13. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为，则该车车身总长约为________（保留整数）． 14. 如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点处．与x轴相交于点D，，，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为________． 15. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，过点A作的平分线交于点F，连接，若，，则的长为________． 三、解答题（本题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 17. 数学小组接到的任务：如图1，测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度． 测量工具：一把皮尺（测量长度小于）．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）． 数学小组利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度．其测量及求解过程如下： 测量过程： （1）如图2，在小水池外选点C，可直接到达点A、点B，测得米，米； （2）分别在上测得米，米，测得米． 问题解决： （1）把求解的过程补充完整： 由测量可知，米，米，米，米， ∴___________， ∵ （2）数学小组仅利用皮尺，通过5次测量，就求得的长，其中用到了相似三角形的__________． 18. 回乡创业的杨师傅，培植一种观赏的盆景，成本价为20元一盆．经市场调研，销售价为32元一盆时，可售出90盆．销售价每增加1元，销售量净减少5盆．因受场地的限制，培植的盆景不得超过90盆．杨师傅通过自己的辛劳培植该种盆景，现计划获利1000元，一盆的销售价应为多少元？ 19. 如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“”和“”的扇形圆心角都为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出的数字是“”的概率； （2）转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 20. 阅读与思考 下面是数学老师写的小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 通过学习我们知道一元二次方程（，a，b，c为常数），当时，一元二次方程的根与系数有着密切的关系，我和同学们一起研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系，分析如下： 第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢？我们用下面的方法进行分析： ∵ ∴ ∴ ∴该方程有实数根 ∴ ∴方程可变形为 ∴或 ∴， ∴当时，一元二次方程的两个实数根为， 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根…… 任务： （1）小论文中，将方程变形为，然后求出方程的根，这种解方程的方法是（） A．因式分解法；B．公式法；C．配方法；D．直接开平方法 （2）请参照小论文中的求解方法，将第二类方程的求解过程补充完整； （3）通过小论文的学习，请你直接写出一个一元二次方程，使其有一根为． 21. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 22. 综合与实践 问题情境：如图，在中，点D，E分别是，的中点，，相交于点O，点F，G分别是，的中点，连接，，，． 数学发现：（1）直接写出图中的三对相似而不全等的三角形； 初步探究：（2）①求证：四边形是平行四边形； ②填空：当时，四边形是___________形； 深入探究：（3）若的面积为a个平方单位，直接写出的面积． 23. 综合与探究 如图1，在四边形中，，，点E是直线上的一个动点，以为边作正方形（按逆时针排列）． 任务： （1）求证：四边形是正方形； （2）如图2至图4，当点E在直线上运动时，通过几何画板（一种作图软件，可以在电子设备上绘制……清晰地呈现和理解几何图形）能证明点G也在一条直线上运动，请根据图3补全后续的证明，并描述出这条直线的位置特征； （3）在图1中，连接，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 稷山县2024-2025学年度第一学期期中九年级教学质量监测 数学试题 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试题上无效． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先变形得，再直接开平方法解方程即可． 【详解】解： 故选：D． 2. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 各边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题，平行四边形的判定，本题主要考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形和矩形的判定的知识点， 根据各自的判定定理即可求解． 【详解】解：．一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．各边相等的四边形是正方形也可能是菱形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，命题是真命题，故该选项符合题意； ．一组邻边相等的四边形可能是正方形还可能是菱形，故原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，点是坐标原点，点，，，，坐标分别为，，，，，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，连接对应点，连线的交点即为位似中心，根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示，为位似中心， 故选：B． 4. 下面的物理问题与数学之间有着紧密联系，一个小球以15的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：，小球（ ）时其高度为10． A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先把代入，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意得 解得 故选：D． 5. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两辆车经过该路口，求至少有一辆车直行的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出至少有一辆车直行的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 有9种等可能的结果数，其中两辆车均直行的结果有1种，只有一辆车直行的结果有4种， 可知至少有一辆车直行的结果有5种，概率为， 故选C． 6. 据统计，今年“十一”假期某市旅游总收入约9千万元，已知该市前年“十一”假期旅游总收入约千万元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为， 根据题意得：，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：D． 7. 如图，是的高，点P，Q在边上，点R在边上，点S在边上，与交于点E，，，四边形是正方形，与的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质．由四边形是正方形，可得，即可证得，设正方形的边长为，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ∴， 是的高， 是的高， ∵， ∴， ， 设正方形的边长为， 则，， ， 解得：， 正方形的边长为． ， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， 故选：A． 8. 如图，四边形中，，，，要用一块矩形铝板切割出这样的四边形并使废料最少，则矩形的面积最小值为（ ） A. 12 B. C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；有两种方法可以得到这个矩形，分别计算这两种矩形的面积，找出其面积最小的一个．方法：过点作的垂线，交延长线于点；过点作垂线，交延长线于点．矩形为一种情形，其面积为；方法：过点作的垂线，交延长线于点；过点作垂线，交延长线于点．矩形为另外一种情形，其面积．根据以上分析，矩形面积最小为方法，最小面积为． 【详解】解：四边形中，， ∴四边形是平行四边形， 方法：过点作的垂线，交延长线于点；过点作垂线，交延长线于点．如图， ， ， ， ，， 矩形的面积为； 方法：如图，过点作的垂线，交延长线于点；过点作垂线，交延长线于点． ， ， ， ， ，， 矩形的面积为； 根据以上分析，矩形面积最小为方法，最小面积为． 故选：C． 9. 数学活动课上，同学们要测量学校门口安装的太阳能电灯杆的高度，如图所示，在地面上一点E处竖直放一根标杆，，，测得太阳能电灯杆底部点B至E的距离为，灯杆的顶端为点A，，在的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得，则该灯杆的高度为（ ） A. 6.5 B. 6.6 C. 6.7 D. 6.8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，先证明，得到，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 10. 如图，点E是正方形中边上一动点，连接，，，连接，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质；过点F作交的延长线于点G，证明，再根据正方形的性质得到，设在中，用勾股定理得到，即可求解． 【详解】过点F作交的延长线于点G， ∵，是正方形 ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设 在中 ∴ ∴ 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，依据下表，它的其中一个解的范围是________． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【答案】 【解析】 【分析】本本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．观察表格可以发现的值和0.75最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：当时，； 当时，， 当在的范围内取某一值时，， 方程的一个解的范围是为． 故答案为． 12. 稷山麻花—家的味道，稷山饼子—老家的味道，稷山鸡蛋—妈妈的味道，稷山板枣—幸福的味道，“稷山四宝”走进了千家万户，小明的妈妈准备从中选择两种邮寄给外地的朋友，小明将分别写有“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”的四张卡片（除正面文字外，其余完全相同）背面朝上放在桌子上，然后随机抽取两张，则恰好抽到“麻花”“板枣”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图求概率，把“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”分别记作A，B，C，D．画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：把“麻花”“饼子”“鸡蛋”“板枣”分别记作A，B，C，D． 画树状图如图所示： 由图可得共有12种等可能的结果，抽到的两张卡片所写的都属于A和D的结果数为2，则恰好抽到“麻花”“板枣”的概率是， 故答案为： 13. 某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图，即车尾到倒车镜的距离与车长之比为0.618），若车头与倒车镜的水平距离为，则该车车身总长约为________（保留整数）． 【答案】5 【解析】 【分析】设该车车身总长为x m，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x-0.618x=1.9，然后解方程即可． 【详解】解：设该车车身总长为x m， ∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置， ∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x， ∴x-0.618x=1.9，解得x≈5， 即该车车身总长约为5米． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 14. 如图，在平面直角坐标系中把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点处．与x轴相交于点D，，，点F是y轴负半轴上一个动点，点P在坐标平面内，使以点A，D，P，F为顶点的四边形是菱形的点P的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠，菱形的判定与性质；先根据题意得，设，根据勾股定理得到，即，再分不同情况进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 当运动到，作边，为对角线时， ∵A，D，P，F为顶点的四边形是菱形， ∵， ∴， 当运动到，作边时， ∴ 当运动到时 ∵点F是y轴负半轴上一个动点 ∴不符合题意； 故答案为：或． 15. 如图，在正方形中，E为边上一点，连接，过点A作的平分线交于点F，连接，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌它们的性质定理是解题的关键； 过点F作交于点M，连接，根据根据正方形的性质和勾股定理求出，然后利用角平分线的性质证，得，再利用勾股定理得出，在中利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：过点F作交于点M，连接， ， ∴ ∵是正方形， ∴， ∵，， ∴， ， 平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 在和 ， ∴， 即， ∴， 在中 ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）提公因式，利用因式分解法解方程即可． （2）方程两边都除以3， 移项， 配方，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，或 ， 【小问2详解】 解：方程两边都除以3，得 移项，得 配方，得 即 两边开平方，得 ∴， 17. 数学小组接到的任务：如图1，测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度． 测量工具：一把皮尺（测量长度小于）．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）． 数学小组利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度．其测量及求解过程如下： 测量过程： （1）如图2，在小水池外选点C，可直接到达点A、点B，测得米，米； （2）分别在上测得米，米，测得米． 问题解决： （1）把求解的过程补充完整： 由测量可知，米，米，米，米， ∴___________， ∵ （2）数学小组仅利用皮尺，通过5次测量，就求得的长，其中用到了相似三角形的__________． 【答案】（1），见解析 （2）判定和性质 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可； （2）利用相似三角形的判定和性质． 【小问1详解】 解：由测量可知，米，米，米，米， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【小问2详解】 求得用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质． 故答案为：判定与性质． 18. 回乡创业的杨师傅，培植一种观赏的盆景，成本价为20元一盆．经市场调研，销售价为32元一盆时，可售出90盆．销售价每增加1元，销售量净减少5盆．因受场地的限制，培植的盆景不得超过90盆．杨师傅通过自己的辛劳培植该种盆景，现计划获利1000元，一盆的销售价应为多少元？ 【答案】该盆景一盆的销售价应为40元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设盆景一盆的售价是x元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设盆景一盆的售价是x元， 由题意，得： 整理得： 解得：， 当时，不符合题意，舍去 当时，培植盆，符合题意 答：该盆景一盆的销售价应为40元． 19. 如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“”和“”的扇形圆心角都为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． （1）转动转盘一次，求转出的数字是“”的概率； （2）转动转盘两次，用画树状图或列表的方法求这两次分别转出的数字之和为正数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法和树状图法求概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键． （1）由题意可知，“”“”所占圆心角为，故可得“”所占的圆心角共为，由计算可得转出数字是“”的概率； （2）用列表法或树状图法得出所有可能的结果，再从中找到和为正数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 由题意可知：“”和“”所占的扇形圆心角为，所以个“”所占的扇形圆心角为，即转动转盘一次，转出的数字是的概率为； 【小问2详解】 由（1）可知，该转盘转出“”“”“”的概率相同，均为； 列表法：所有可能性如下表所示： 第一次 第二次 由上表可知：所有可能的结果共种，其中数字之和为正数的有种，两次分别转出的数字之和为正数的概率为． 树状图法： 由上图可知：所有可能的结果共种，其中数字之和为正数的有种，两次分别转出的数字之和为正数的概率为． 20. 阅读与思考 下面是数学老师写的小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务． 通过学习我们知道一元二次方程（，a，b，c为常数），当时，一元二次方程的根与系数有着密切的关系，我和同学们一起研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系，分析如下： 第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢？我们用下面的方法进行分析： ∵ ∴ ∴ ∴该方程有实数根 ∴ ∴方程可变形为 ∴或 ∴， ∴当时，一元二次方程的两个实数根为， 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根…… 任务： （1）小论文中，将方程变形为，然后求出方程的根，这种解方程的方法是（） A．因式分解法；B．公式法；C．配方法；D．直接开平方法 （2）请参照小论文中的求解方法，将第二类方程的求解过程补充完整； （3）通过小论文的学习，请你直接写出一个一元二次方程，使其有一根为． 【答案】（1）A （2）见解析 （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及用因式分解法解一元二次方程，熟知用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据所给解题方式可知，使用的是因式分解法． （2）根据所给解题方法，补充完整解题过程即可． （3）按要求写出满足要求的一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：由所给解方程的方法可知， 这种解方程的方法是因式分解法． 故选：A． 【小问2详解】 解：由题知， ， ， ， 该方程有实数根， ， 方程可变形为， 或， ， 当时，一元二次方程的两个实数根为． 【小问3详解】 解：一元二次方程有一根为， 则， ，，便是一组符合要求的取值， 这个一元二次方程可以为（答案不唯一）． 21. 问题情境：已知矩形，，，将矩形绕点按逆时针方向旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． 数学发现： （1）如图，当时，___________，如图，当时，___________； 初步探究： （2）如图，当边经过点时，求的长； （3）如图，当点落在的延长线上时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由可得，于是可证得是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求出的度数；由旋转的性质可得，，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （2）由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，，在中，根据勾股定理可得，于是可得，在中，根据勾股定理可得，据此即可求出的长； （3）连接，由旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，，利用邻补角互补可得，进而可得，然后可证得，于是可得，根据即可求出四边形的面积． 【详解】解：（1）如图，由旋转的性质可得：，， ， ， 是等边三角形， ； 如图，由旋转的性质可得：，， 在中，根据勾股定理可得： ； 故答案为：，； （2）如图，由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，，， ，， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的长为； （3）如图，连接， 由旋转的性质可得：，，， 四边形和都是矩形， ，， 点落在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，线段的和与差，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境：如图，在中，点D，E分别是，的中点，，相交于点O，点F，G分别是，的中点，连接，，，． 数学发现：（1）直接写出图中的三对相似而不全等的三角形； 初步探究：（2）①求证：四边形是平行四边形； ②填空：当时，四边形是___________形； 深入探究：（3）若的面积为a个平方单位，直接写出的面积． 【答案】（1），，；（2）①见解析；②菱形；（3）的面积为个平方单位 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定． （1）由中位线定理可得，，进而可得，，； （2）①由（1）得，，，，进而得，，即可得出结论； ②当时，结合①的结论可得四边形是菱形； （3）由平行四边行的性质得，由中点的性质得，，由相似三角形的性质得，设，则，再由相似三角形的性质得即，解方程得出，进而可得的面积． 【详解】（1）解：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴图中的三对相似而不全等的三角形为：，，； （2）①证明：由（1）得，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ②解：当时，即， 由（2）①得四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：菱； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴若的面积为a个平方单位，则， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵点D，E分别是，的中点，， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴若的面积为a个平方单位，的面积为个平方单位． 23. 综合与探究 如图1，在四边形中，，，点E是直线上的一个动点，以为边作正方形（按逆时针排列）． 任务： （1）求证：四边形是正方形； （2）如图2至图4，当点E在直线上运动时，通过几何画板（一种作图软件，可以在电子设备上绘制……清晰地呈现和理解几何图形）能证明点G也在一条直线上运动，请根据图3补全后续的证明，并描述出这条直线的位置特征； （3）在图1中，连接，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴四边形ABCD是菱形 ∵ ∴菱形是正方形 （2） 证明：过点G作于H， ∵四边形和四边形是正方形 ∴，， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴点G是在与的距离为3的直线上或(点G在直线上，直线且与的距离为3） （3）36 【解析】 【分析】（1）根据得到四边形ABCD是菱形，再根据即可求得结果； （2）过点G作于H，证明，得到再根据得到点G是在与的距离为3的直线上； （3）延长交直线l于P，证出四边形是矩形，得到， 在中，利用勾股定理即可求出． 本题主要考查正方形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长交直线l于P，由（2）可得 ∴ ∵∥，， ∴ 又∵ ∴四边形是矩形 ∴， 在中， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $