精品解析：湖北省宜昌市宜都市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中测试卷 九年级数学（HS） 测试范围：21.1-23.6 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列式子中为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为，同时量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） 小丽的辅助线作法： 延长DE到F，使EF=DE， 连接DC、AF、FC． 小亮的辅助线作法： 过点E作EBAB， 过点A作AFBC， GE与AF交于点F． A. 小丽和小亮的辅助线作法都可以 B. 小丽和小亮的辅助线作法都不可以 C. 小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以 D. 小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，那么_____． 12. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 13. 如果一个正方形的面积为12，则这个正方形的边长为_______． 14. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____． 15. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．如图2，小华在边找一点，在边找一点，以为轴折叠，得到，点的对应点为点，小华变换的位置，始终让点落在上，则当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． （3）解方程：； （4）解方程：（请用配方法解）． 17. 如图，直线，且直线分别截直线于点，，，截直线于点，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 19. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长． 20. 如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点都在小方格的顶点上．现以点D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形． （1）在图甲中画出一个三角形与△ABC相似且相似比为1：2． （2）在图乙中画出一个三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元 22. 小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴， ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，． 求的长； 过点作，交轴于点，求点的坐标； 在的条件下，如果、分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中测试卷 九年级数学（HS） 测试范围：21.1-23.6 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上． 3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 二次根式有意义的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，解不等式即可． 【详解】二次根式有意义的条件是被开方数． 解得． 故选：B． 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元三次方程，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 3. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项排查即可；掌握二次根式的相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误； B.，故选项B错误； C.，故选项C正确； D.，故选项D错误． 故选：C． 4. 下列式子中为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、=3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 6. 如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 7. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，算术平方根的化简，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：A． 8. 如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为，同时量得小明与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 【详解】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设A的坐标为，根据旋转的性质得到是A和的中点，利用中点公式可以求出点A的坐标． 【详解】设A的坐标为，根据旋转的性质可知是A和的中点， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，中点坐标公式，掌握中点坐标公式是解题的关键． 10. 数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明，小丽和小亮在学习思考后各自尝试作了一种辅助线，如图1，2，其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（ ） 小丽的辅助线作法： 延长DE到F，使EF=DE， 连接DC、AF、FC． 小亮的辅助线作法： 过点E作EBAB， 过点A作AFBC， GE与AF交于点F． A. 小丽和小亮的辅助线作法都可以 B. 小丽和小亮的辅助线作法都不可以 C. 小丽的辅助线作法可以，小亮的不可以 D. 小亮的辅助线作法可以，小丽的不可以 【答案】A 【解析】 【分析】用辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质即可证得． 【详解】解：如图1，延长DE到F，使EF=DE， ∵AE=EC， EF=DE， ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴ADCF，AD=CF 又∵BD=AD， ∴BDCF， ∴四边形BDFC是平行四边形， ∴DF=BC ，DFBC， ∴， ∴小丽的辅助线作法可以． 如图2，过点G作GEAB，过点A作AFBC， ∵GEAB，AFBC， ∴四边形ABGF是平行四边形． ∴AB=FG， 在△AEF和△GEC中， ， ∴△AEF≌△CEG（AAS） ∴EF=GE，AE=EC，AF=GC， ∴AD=EF，BD=EG， ∴四边形ADEF、DBGE是平行四边形， ∴DEBC，， ∴小亮的辅助线作法可以． 故选：A． 【点睛】此题考查了中位线定理的证明，解题的关键是构造平行四边形，根据平行四边形的性质去证明． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，根据比例的基本性质可得，由，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 13. 如果一个正方形的面积为12，则这个正方形的边长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据正方形的面积公式正确建立等式是解题关键． 设这个正方形的边长为，再根据正方形的面积公式和二次根式的性质即可得． 【详解】解：设这个正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 故答案为：． 14. 定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 15. 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．如图2，小华在边找一点，在边找一点，以为轴折叠，得到，点的对应点为点，小华变换的位置，始终让点落在上，则当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题，解直角三角形，掌握折叠的性质是解题关键．为直角三角形时，有两种情况：，，分别根据，即可求解． 【详解】解：在中，， ，， ， 当时，以为轴折叠，得到， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设则， 解得：． 当时，以为轴折叠，得到， ， ， 解得：． 故答案为：或． 三、解答题（共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． （3）解方程：； （4）解方程：（请用配方法解）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、解一元二次方程，正确求解是解答的关键． （1）利用二次根式的性质和加减运算法则求解即可； （2）利用平方差公式和分母有理化进行二次根式运算即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）按照要求和配方法的求解步骤解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式． （3）， ， ， 或， ； （4）， ， 配方，得， 即， 开平方，得， ． 17. 如图，直线，且直线分别截直线于点，，，截直线于点，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的长． 【小问1详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 即的长为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 【答案】（1） 证明：关于x的一元二次方程， ； ∴此方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， 解得， ∵此方程恰有一个根小于， ∴， 解得． 19. 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A． （1）求证：△BDC∽△ABC； （2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长． 【答案】 （1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB， ∴△BDC∽△ABC； （2）CD＝2． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵△BDC∽△ABC， ∴， ∵BC＝4，AC＝8， ∴CD＝2． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质. 20. 如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点都在小方格的顶点上．现以点D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形． （1）在图甲中画出一个三角形与△ABC相似且相似比为1：2． （2）在图乙中画出一个三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似． 【答案】 （1）如图甲中的△DEF，也可以是△GHF； （2）如图乙中的△DEG，也可以是△HE； 【解析】 【分析】（1）根据三角形与△ABC相似且相似比为1：2，得出对应边长度即可； （2）根据三角形与△ABC的面积比为1：4但不相似，得出新三角形面积即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了作图：在网格中作已知图形的相似图形，关键是根据方格的特征灵活运用相似三角形的性质． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元 【答案】（1）道路的宽为米 （2）每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可； 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 22. 小明在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解的：∵ ∴，∴， ∴，∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1）， （2）4 （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值 【小问1详解】 解：， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 23. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，． 求的长； 过点作，交轴于点，求点的坐标； 在的条件下，如果、分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】的长为；的坐标为；存在，的值为或． 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB． （2）根据BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C点的坐标． （3）假设△APQ与∽△ABC，利用其对应边成比例即可求出x的值． 【详解】(1)∵点A.B的坐标分别为A(−4,0),B(0,3)， ∴OB=3，AO=4， ∴ (2)∵BC⊥AB，BO⊥AC， ∴ 即 ∴C点的坐标是(2.25,0)； (3) 当△APQ与∽△ABC时,PQ∥BC， ∴ ∵AP=CQ=x， ∴ 解得 当△APQ与∽△ACB时, 即 解得：. 答：(1)AB的长为5;(2)C的坐标为(2.25,0);(3)存在,x的值为或． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质, 坐标与图形性质, 勾股定理, 射影定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $