精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州黎平县第七中学2024届高三下学期期中考试数学试题

2024届贵州省黎平县第七中学高三下学期期中数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 客观题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知菱形的边长为2，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 5. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 棱柱的所有侧面都是平行四边形 B. 将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱； C. 正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心； D. 将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥. 7. 等比数列的前项积为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知椭圆E：，直线与E交于A、B两点，且．则椭圆E的离心率是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 10. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ） A. 与可能相离 B. 不可能将的周长平分 C. 当时，被截得的弦长为 D. 被截得的最短弦长为 11. 如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为直角梯形，，，．在四棱锥中，以下结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 12. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 函数在处取得最小值 B. 是函数的极值点 C. 在区间上不单调 D. 在处切线的斜率大于零 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 的展开式中含的项的系数为__________. 14. 在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______． 15. 将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为______. 16. 化简：______. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，． （1）求B； （2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 18. 已知等差数列的各项均为正数，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的通项公式及其前项和. 19. 某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表． 红色 蓝色 合计 男 20 25 45 女 40 15 55 合计 60 40 100 （1）是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”； （2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， ①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率； ②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 20. 如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值． 21. 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. （1）求的方程; （2）若点关于直线对称的点在上，求的值. 22. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届贵州省黎平县第七中学高三下学期期中数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 客观题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，然后根据并集的定义可求得结果. 【详解】由，得， 因为， 所以， 故选：B 2. 设复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出复数z，进而求出其共轭复数作答. 【详解】依题意，，于是得， 所以z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 3. 已知菱形的边长为2，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可知，，代入即可求解. 【详解】根据题意可得，， ∵，即，∴， ，即． 故选：B. 4. 一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断： 对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断. 【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：. 其中事件A包括： . 事件B包括： . 事件C包括：. 事件D包括： . 对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误； 对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误； 对于C：因为,,而.因为，所以与不是相互独立.故C错误； 对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确. 故选：D 5. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由正定理得：， 由于，所以 故选：A 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 棱柱的所有侧面都是平行四边形 B. 将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱； C. 正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心； D. 将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥. 【答案】D 【解析】 【分析】由棱柱、圆柱、正棱锥、圆锥的定义逐一判断可得选项. 【详解】解：对于A：由棱柱的定义得棱柱的所有侧面都是平行四边形，故A正确； 对于B：由圆柱的定义得将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱，故B正确； 对于C：由正棱锥的定义得正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心，故C正确； 对于D：将直角三角形绕其斜边旋转一周所形成的几何体不是圆锥，故D不正确， 所以假命题的是D选项， 故选：D. 7. 等比数列的前项积为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得，即可根据基本不等式求解. 【详解】由等比数列的性质可知，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：C. 8. 已知椭圆E：，直线与E交于A、B两点，且．则椭圆E的离心率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知中点是直线与直线的交点，所以求得，联立椭圆与直线的方程可得，解方程即可求出答案. 【详解】设，记， 设中点为，所以， 由题意可知，中点是直线与直线的交点， 联立，解得， 另一方面，联立，得． 易知，由韦达定理得，解得， 所以，故离心率． 故选：B. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由为奇函数得， 因此，所以的图象关于点对称，所以A错误； 对于B中，由为偶函数得，于是，即，所以的图象关于直线对称，所以B正确； 对于C中，， 从而，所以以4为周期，可得， 由中，令，得，所以C正确； 对于D中，由前面的分析可得，， 所以， 所以D正确． 故选：BCD. 10. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ） A. 与可能相离 B. 不可能将的周长平分 C. 当时，被截得的弦长为 D. 被截得的最短弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项的正误；假设假设法可判断B选项的正误；利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】对于A选项，直线过定点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项错误； 对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项正确； 对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以，直线被截得的弦长为，C选项错误； 对于D选项，圆心到直线的距离为， 所以，直线被截得的弦长为，D选项正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 11. 如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为直角梯形，，，．在四棱锥中，以下结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面图还原立体图，由面面的垂直的判定定理判断选项A，根据勾股定理计算判断选项B，先计算底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理计算外接球半径，代入球的面积公式计算即可判断选项C，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，计算平面的法向量，利用空间向量夹角计算公式求解判断选项D. 【详解】由四棱锥的平面展开图还原立体图， 可得平面，，， 又平面，所以，， 在直角梯形中，，， 所以，即，又因为平面， ，所以平面，又平面， 所以平面平面，故A正确； 因为，， 所以，故B正确； 由题意，的外接圆半径为， 所以三棱锥的外接球半径为 ， 所以三棱锥外接球的表面积为 ，故C错误； 由题意，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，，， 平面，所以平面， 所以平面的法向量为， 又，， 设平面的法向量为， 则，得， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ，故D正确. 故选：ABD 12. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 函数在处取得最小值 B. 是函数的极值点 C. 在区间上不单调 D. 在处切线的斜率大于零 【答案】AD 【解析】 【分析】A. 根据极值和最值的关系判断；B.根据极值点的定义判断；C.由导数的正负和函数的增减关系判断；D.由导数的几何意义判断. 【详解】A. 因为时，，当时，，所以在处取得最小值，故正确； B. 时，，当时，，所以不是函数的极值点，故错误； C. 当时，，在区间上单调，故错误； D. 因为，在处切线的斜率大于零，故正确； 故选：AD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 的展开式中含的项的系数为__________. 【答案】960 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式分析运算求解. 【详解】的展开式的通项为，故令， 可得的展开式中含的项的系数为：. 故答案为：960. 14. 在正方体中，，则该正方体外接球的表面积为______． 【答案】36π 【解析】 【分析】如图，正方体外接球的半径为，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】如图， 设该正方体外接球的半径为R， 则， 所以该正方体外接球的表面积为． 故答案为： 15. 将一个半径为的铁球熔化后，浇铸成一个底面半径为的圆锥铁锭，则圆锥的母线长为______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥和铁球的体积相等求出圆锥的高，再求出母线长即可. 【详解】设圆锥的高为，依题意，，解得（cm）， 所以圆锥的母线长（cm）. 故答案为： 16. 化简：______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】， 故答案为： 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足，． （1）求B； （2）若D，E为线段上的两个动点，且满足，，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据正弦定理可得的表示，即可利用三角形的面积公式，即可利用三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 ∵ ∴, 在中， ∴ ∴， 又在中， ∴，∴ ∵，∴ 【小问2详解】 ∵，∴ ∵，∴ 或 又，所以，故，， 由正弦定理可得,故， 设，其中，则， 在中，由正弦定理可得 则 在中，由正弦定理可得 则． ∴的面积 ∵，则 ∴，即 ∴． 18. 已知等差数列的各项均为正数，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求的通项公式及其前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由已知求出等差数列的公差，公式法得数列通项； （2）由累乘法求出的通项公式，裂项相消求其前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由， 得，解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由得，， 所以， 又，所以. 由， 得. 19. 某学校组织名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取1顶帽子，学校统计学生所领帽子的颜色，得到了如下列联表． 红色 蓝色 合计 男 20 25 45 女 40 15 55 合计 60 40 100 （1）是否有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”； （2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， ①求所选的4个箱子的标号数之和为奇数的概率； ②记所选的箱子中有对相邻序号（如：所选箱子的标号为1，2，3，5，则1，2和2，3为2对相邻序号，所以），求随机变量的分布列和数学期望． 附：，其中． α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”. （2）分布列： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验计算判断结论； （2）根据古典概型计算概率；根据题意求离散型随机变量的可能取值及相应概率，列出分布列，根据数学期望公式计算出结果； 【小问1详解】 零假设:喜好红色或蓝色与性别无关， 因为， 所以，根据独立性检验，没有充分证据推断成立， 因此有的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”. 【小问2详解】 ①根据题意可知箱子的标号有4个奇数3个偶数， 标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， 设事件记为所选的4个箱子的标号数之和为奇数， 则； ②标号为1号到7号的7个箱子，现从中随机选取4个箱子， 则选取4个箱子的所有情况有 记所选的箱子中有对相邻序号，可得则 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 因此数学期望. 20. 如图，已知在圆柱中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段为圆O的直径，，为圆柱上底面上的两点，且矩形平面，D，E分别是，的中点． （1）证明：平面． （2）若是等腰直角三角形，且平面，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：如图，取的中点F，连接，， 因为D，E，F分别为，，的中点， 所以，． 又因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面． 因为，，平面， 所以平面平面． 又因为平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）运用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，．因为E，O分别为，的中点，所以，且， 又因为D为的中点，所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面，所以平面． 又因为平面，所以，可得． 因为是等腰直角三角形，所以．又矩形平面，可得平面， 以A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，可得，，，， 则，，，． 设平面的法向量为，则， 即，取，可得，，所以． 设平面的法向量为，则， 即，取，可得，， 所以． ， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 21. 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. （1）求的方程; （2）若点关于直线对称的点在上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得外接圆的半径以及圆心横坐标，结合抛物线的定义即可得到圆心到准线的距离为半径，即可得到； （2）根据题意，由点关于线对称可得点关于直线对称的点坐标，然后代入抛物线方程计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为的外接圆的面积为，则其半径为， 且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上， 其中焦点，准线方程为， 所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为， 即，所以的方程为. 【小问2详解】 设点关于直线对称的点为， 则两点连线的中点坐标在直线上，即， 化简可得①， 由对称性又可知，和所在直线与垂直，则②， 联立①②可得，，解得，所以， 又因为在抛物线上，则，即， 即， 即，即， 所以， 其中时，，所以， 所以，即. 22. 已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）由题意，解出的值再检验即可； （2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解. 【小问1详解】 已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； 【小问2详解】 由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $