专题01 丰富的图形世界（9大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题01 丰富的图形世界 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 常见几何体的构成与分类 题型二 几何体的点、棱、面与欧拉公式 题型三 点、线、面、体四者之间的关系 题型四 旋转体及相关计算 题型五 几何体的三视图相关问题 题型六 几何体的展开图的相关辨别 题型七 几何体的展开图的相关计算 题型八 几何体的相关截面问题 题型九 七巧板拼图的相关计算 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 常见几何体的构成与分类 ⭐技巧积累与运用 1、对几何体进行分类，可根据几何体的特征按（柱体），（锥体），（球体）划分；也可按组成几何体的面的（曲）或（平）来划分；还可组成几何体的面的（数量）来划分。 2、立体几何图形，第1类：柱体，包括：圆柱和棱柱，棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，棱柱体按底面边数的多少，又可分为三棱柱、四棱柱、N棱柱；第2类：锥体，包括：圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥以及N棱锥；第3类：旋转体：包括：圆柱、圆台、圆锥、球。 1．（24-25七年级上·山西太原·期中）异形手提盒包装设计因其结构造型独特，具有丰富的艺术性和实用性．将如图所示的手提盒主体的形状抽象成几何体正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察该手提盒可得，它的主体的形状可抽象成三棱柱．本题主要考查了常见的几何题，熟悉常见几何体，并掌握常见几何体的特征是解题的关键． 【详解】该手提盒主体的形状可抽象成三棱柱，故选：D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期末）有下列四个说法：①长方体与正方体都是四棱柱；②三棱锥的侧面都是三角形；③十棱柱有个面，每个侧面都是长方形；④棱柱的每条棱长可以相等，其中正确的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查立体图形，棱柱的上下两个面平行，侧面是平行四边形；棱锥的底面是一个多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形；结合本题所给的说法，根据上述知识即可求解．掌握棱柱和棱锥的定义是解题的关键． 【详解】解：①长方体与正方体都是四棱柱，该说法正确； ②三棱锥的侧面都是三角形，该说法正确；③十棱柱有个底面，个侧面，原说法错误； ④棱柱的每条棱长可以相等，该说法正确，∴正确的个数有个．故选：C． 3．（24-25七年级上·成都·课后作业）如图，至少找出下列几何体的四个共同点． 【答案】见解析，答案不唯一 【分析】本题考查了几何体的定义．熟练掌握几何体的定义是解题的关键． 根据几何体的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，三个几何体都由平面组成，侧面都是长方形，都有上下底面，都有侧棱． 4．（24-25七年级上·广东·随堂练习）观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 ；含曲面的有 ． 【答案】(1)圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱 (2)③④⑤⑥⑧；①②⑦ 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （1）根据几何体的特点回答即可；（2）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱、⑥五棱柱、⑦球体；⑧三棱柱；故答案为：圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱． （2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦；故答案为：③④⑤⑥⑧；①②⑦． 、 几何体的点、棱、面与欧拉公式 ⭐技巧积累与运用 棱柱的顶点数，面数和棱数之间的关系：E=V+F-2（F代表面数，V代表顶点数，E代表棱数），这是多面体的欧拉公式。 面数和顶点数间的关系：F=V/2+2；棱数和顶点数间的关系：E=V+V/2=3V/2；棱数和面数间的关系：E=3F-6。 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ 【答案】这个棱柱共有8个面，有 12 个顶点，有18条棱；侧面积为； 【分析】根据棱柱特征直接解答即可； 【详解】解：这个棱柱共有8个面， 有 12 个顶点，  有18条棱；       它的侧面积为 ； 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 【答案】(1)(2)(3)④⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查几何体，棱柱的性质，熟练掌握棱柱的性质是解题的关键． （1）根据棱柱的性质即可得到答案；（2）根据表格中的数据找到规律即可； （3）根据题意，当截面时三角形时，分情况分析所分出的两个几何体的顶点总个数即可． 【详解】（1）解：根据棱柱的性质可知，六棱柱有个面，个顶点，条棱， 故答案为：； （2）解：有表格可知，三棱柱剪开棱的条数为 四棱柱剪开棱的条数为五棱柱剪开棱的条数为 棱柱剪开棱的条数为：，把代入，得 故答案为：； （3）解：①不过顶点，所分出的两个几何体的顶点总个数为：（个）； ②过一个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ③过两个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； ④过三个顶点时，所分出的两个几何体的顶点总个数为（个）； 综上所述，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是④⑤⑥⑦．故答案为：④⑤⑥⑦． 3．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究：（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用：（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）填表见解析，；（2）五；（3）10 【分析】本题考查多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关键． （1）通过观察，发现棱数顶点数面数；（2）根据棱柱的定义进行解答即可； （3）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）填表如下： 多面体 顶点数 面数 棱数 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数、面数和棱数之间的数量关系是，故答案为：； （2）一个棱柱只有七个面，必有2个底面， 有个侧面，这个棱柱是五棱柱，故答案为：五； （3）由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得，解得：，故该多面体的面数为10． 点、线、面、体四者之间的关系 ⭐技巧积累与运用 (1)点：线与线相交的地方是点，它是组成图形的最基本元素，一切图形都是由点组成的。 (2)线：面和面相交成线，点动成线，线分直线和曲线两种。 (3)面：包围着体的是面，线动成面，面分为平面和曲面两种。 (4)体：由面围成的，面动成体，也可以看成是由平面绕某一条直线旋转形成的。 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线、线动成面、面动成体。 1．（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【答案】C 【分析】本题主要考查了面与体的关系，正确理解面与体的关系是解题的关键．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意； B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体，本选项正确，不符合题意； C．将直角三角形沿直角边旋转一周一定会得到一个圆锥，故本选项不正确，符合题意； D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意．故选：C． 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，从这些现象中我们发现（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查点、线、面、体的定义，从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动成体．根据点动成线，线动成面，面动成体来解答． 【详解】解：夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，从这些现象中我们发现点动成线；故选：A． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．熟练掌握由平面图形变成立体图形的过程是面动成体是解题的关键． 根据由平面图形变成立体图形的过程是面动成体判断作答即可． 【详解】解：由题意知，这种现象说明的数学道理是面动成体，故选：C． 旋转体及相关计算 ⭐技巧积累与运用 旋转体是旋转或平移平面图形得来，可以看成由平面平移而成或看成由平面绕某一条直线旋转而成。 1．（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，关键是同学们要注意观察，培养自己的空间想象能力．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：将如图所示的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是圆柱体，里面是空的圆锥体 故选：B． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． ①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； ②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 【答案】①圆柱，面动成体；②方案一得到的圆柱的体积大 【分析】本题考查基本图形旋转得到的体积及棱柱、圆柱体积计算； ①根据面动成体解答即可；②先求出所得几何体体积再比较大小即可． 【详解】解：①长方形旋转可以得到圆柱，上述操作能形成的几何体是圆柱，说明的事实是：面动成体，           ②方案一：，    方案二：，       ∵，    ∴方案一得到的圆柱的体积大． 3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，将下面组合图形分别绕轴、轴旋转一周形成两个不同的立体图．求这两个立体图形体积？ 【答案】第一个，第二个 【分析】本题考查点、线、面、体，第一个图形形成的立体图形是一个圆柱体挖掉一个圆锥，第而个图形形成的立体图形是一个圆柱体加上一个圆锥，由圆柱、圆锥的体积公式即可求解． 【详解】解：第一个图形形成的立体图形的体积：； 第二个图形形成的立体图形的体积：； 答：第一个立体图形体积为，第二个立体图形体积为． 几何体的三视图相关问题 ⭐技巧积累与运用 三视图问题常见类型及解题策略 (1)由几何体直观图求三视图。注意正视图、侧视图和俯视图观察方向，注意看到部分用实线表示，不能看到部分用虚线表示。 (2)由几何体部分视图画出剩余部分视图。先根据已知的部分三视图，先代入，再看看给出部分三视图是否符合。 (3)由几何体三视图还原几何体形状。要熟悉柱、锥、台、球三视图，明确三视图形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图。 1．（24-25七年级上·广东茂名·期中）学校智拓课堂上，几位同学用相同大小的正方体积木拼搭组合体．如图所示，1个正方体积木恰好可以从1个空白位置通过，那么下列组合体中无法从空白部分通过的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向观察物体和几何体，关键是学会观察仔细． 根据图示可知，可以看到并排个小正方形的几何体，可以从空白位置通过，据此求解． 【详解】解：A．从上面看观察可以自到两个并非正方形，所以可以通过，故此项不符合题意； B．从上面，前面和左面观察到的都是个正方形，所以无法通过，故此项符合题意； C．人侧面观察可以看到两个并排的正方形，所以可以通过，故此项不符合题意； D．从上面看观察可以自到两个并非正方形，所以可以通过，故此项不符合题意．故选：B． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从不同方向看几何体， 能够根据不同方向看到的图形还原几何体是解题的关键． 根据从正面看到的图形可以判断上下层数，根据从上面看到的图形可以判断底层有多少小正方体，根据从左面看到的图形可以判断前后层数，综合以上信息即可得到答案． 【详解】解：根据从三个方向看到的形状图可得， 从前面看可以看出左面有两层，右面有一层，则选项D不合题意； 从左面看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层， 从上面看，底面有3个小正方体，后面有两个，前面靠左侧位置一个，故只有选项B符合题意；故选：B． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成．从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；(2)能不能在某些位置增加小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？如果能，请画出两种不同位置摆放的从上面看的形状图，并在图上小正方形中标出该位置的小立方块的个数；如果不能，请说明理由；(3)能不能减少某些位置的的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？最少可以用几个小立方块？ 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)能，4个 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体：（1）从正面看和从左面看的图形相同，都分为上下两层，共三列，从左边起，第一列下面一层有一个小正方形，第二列上下两层各有一个小正方形，第三列下面一层有一个小正方形，据此可得答案；（2）在从上面看到的图形中， 在的正方形中，任意一个位置添加一个小正方形都符合题意；（3）在从上面看到的图形中，把与有两个小立方块相邻的立方块去掉即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，最少的情形如下： ∴能减少某些位置的的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变，最少可以用4个立方块． 几何体的展开图的相关辨别 ⭐技巧积累与运用 ‌几何体的展开图解题技巧主要包括以下几种方法‌： ‌对立面排除法‌：在脑海中想象几何体的母图，记住每个面的编号和位置。在展开图中，对立面是不会同时出现的，因此可以通过排除对立面选项来缩小选择范围。 ‌平移法‌：对于某些展开图，可以通过平移面的位置来还原几何体的形状。这种方法适用于面与面之间可以通过平移相互转换的情况‌。 ‌旋转法‌：对于正方体的展开图，可以通过旋转来还原几何体的形状。 ‌特征面法‌：如果展开图的面是“3×2”的组合，可以通过找出特征面来快速锁定选项。特征面是指那些在展开图中图案唯一且容易识别的面，通过观察特征面和相邻面的组合，可以快速还原几何体的形状‌。 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）巴黎奥运会于北京时间月日盛大开幕．如图，小明将“庆祝奥运会！”分别写在一个正方体的展开图上，把展开图折叠成正方体后，与“奥”字相对的汉字是（   ）          A．庆 B．祝 C．运 D．会 【答案】A 【分析】本题考查了正方体展开图相对面上的字，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征，从图中可以看出折叠后的正方体中“祝”与“会”相对，“运”与“！”相对，“奥”与“庆”相对． 【详解】解：从图上可以看出，折叠后“祝”、“运”、“会”、“！”都与“奥”相邻，只有“庆”与奥相对．故选：A． 2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）正方体展开有6个正方形，图甲是其中的4个，其它2个可能在图乙的（    ）位置 A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④ 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，根据正方体展开图的形式确定即可． 【详解】解：∵图甲是一个正方体展开图中的4个， ∴其他的两个面可能在①④或②④， 故选：C. 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）小江将一块积木的各面都涂上红、绿、蓝、黄、白和黑六种不同的颜色，然后把它摆放成不同的位置，看到的情形如图，则和黄色所在面相对的面上的颜色是（    ） A．白 B．黑 C．蓝 D．绿 【答案】D 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面中“对面”“邻面”的关系是正确判断的前提．根据正方体表面中“对面”“邻面”的关系进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，“白”的邻面有“黑、绿、红、黄”，因此“白”的对面是“蓝”， “绿”的邻面有“黑、白、红、蓝”，因此“绿”的对面是“黄”，于是“红”的对面是“黑”，故选：D 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）（立方体展开图）如图是一个平面纸板图，下面有几个立体图形，其中有一个是纸板折合而成的，请你找出来．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方体展开图，认真观察每个面上的图形(包括每个面上图形的排列方向)，以一个面为底面，确定其他面的位置后选择即可 【详解】解：．④作前面，则⑤作上面，⑤上面的图形从左到右应为空白、阴影、空白、阴影，故该选项不符合题意；．②作前面，则③作右面，③上面的阴影图形应是上下排列，故该选项不符合题意； ．③作前面，则⑥作右面， ④为上面，故该选项符合题意；．①作前面，则②作上面，且2上面的图形应为左边是一个大长方形，右边是两个小长方形．故该选项不符合题意； 故选：C． 几何体的展开图的相关计算 ⭐技巧积累与运用 展开图的计算主要有两类：其一是已知展开图求原几何体的表面积或体积；其二是已知几何体的相关数据求展开图的相关信息。 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8，那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4，故答案为：4． 2．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ；(2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 【答案】(1)直三棱柱(2)72． 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决本题的关键是熟悉由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图． （1）由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图，即可解答； （2）侧面积为6个长方形的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：这个包装盒为直三棱柱；故答案为：直三棱柱； （2）解：． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的正方形卡纸，要求大家利用它制作一个无盖的正方体纸盒．小明按照图2的方式裁剪掉阴影部分，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个无盖的礼品盒，如图3所示． (1)如果正方形的边长为6，直接写出的值； (2)小明在设计无盖正方体纸盒展开图（图2）时的方法是在正方形卡纸的四个直角的位置上分别剪去大小相等的小正方形．如果把正方形卡纸换成如图4所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．请你参考小明的方法，在图4的卡纸上进行设计，用阴影画出裁剪部分，用实线画出裁剪线，使剩下部分刚好是一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子（如图5所示）的展开图． 【答案】(1)(2)图见详解 【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键；（1）根据题意可直接进行求解；（2）由图4可知每个小正方形的边长为，要裁剪出一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子的展开图，则需剪去四个边长为的正方形，进而问题可求解 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：所作图形如下所示： 几何体的相关截面问题 ⭐技巧积累与运用 学习基本图形的截面时，要同时明白这些截图都是从哪个方向切出来的（横切、横斜切、竖切、竖斜切），这样方便我们后面做复杂立体图形截面题。 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，祖母绿被称为绿宝石之王，属于绿柱石矿物，通常为六棱柱形状，这是由晶体的内部结构决定的．若用平面切割六棱柱祖母绿，截面形状不可能为（   ） A．梯形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】D 【分析】本题考查用平面截一个几何体，熟练六棱柱的特征是解答的关键．根据六棱柱有八个面，结合平面截六棱柱所得的形状可得答案． 【详解】解：∵祖母绿是六棱柱，又六棱柱有八个面， ∴用平面切割六棱柱祖母绿，截面形状可能是梯形、七边形、八边形，不可能是九边形， 故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，故选：D． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小明用四种不同的方法截同一个几何体，分别得到了下列的图形，这个几何体可能是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．球体 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的截面，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案． 【详解】解：A、用不同的方法截圆柱，不能得到三角形，故该选项不符合题意； B、用不同的方法截圆锥，能得到以上各种图形，故该选项符合题意； C、用不同的方法截三棱柱，不能得到圆形，故该选项不符合题意； D、用不同的方法截球体，不能得到三角形，故该选项不符合题意；故选：B． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果沿长方形对角线与长方形的对角线将长方体截成相等的两部分，截面是一个 形． 【答案】长方 【分析】本题考查截一个几何体所得截面的形状．解题的关键是理解：用一个平面截一个几何体，首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线，再判断截面的形状，据此解答即可． 【详解】解：如果沿长方形对角线与长方形的对角线将长方体截成相等的两部分，截面是一个长方形．故答案为：长方． 4．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为4，则这个n棱柱的棱长之和为 ． 【答案】48 【分析】根据“用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面边数最多是8条边”可得这个棱柱的面数，再根据“这个棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为4”可得这个棱柱的底面是边长为2的正6边形，侧面为边长2的正方形，进而求出所有棱长之和即可． 【详解】解：∵用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，∴这个几何体是八棱柱， ∵这个棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为4， ∴这个正八棱柱有8个边长为2的正方形的侧面和边长为2的正八边形的底面， ∴八棱柱的所有棱的长度之和为2×8×3=48，故答案为：48． 【点睛】本题考查截一个几何体，掌握棱柱的形体特征，理解截面的形状与棱柱的关系是正确解答的关键． 七巧板拼图的相关计算 ⭐技巧积累与运用 首先，要熟悉七巧板中各个板块的形状和大小，了解它们之间的边角几何关系。再从图形中最明显的地方入手，如边角相连或角角相连的地方，进行猜测和试验，逐步验证之前的猜测。这样可以更好地进行七巧板拼图计算解题，提高解题效率和准确性。 1．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查组合图形的面积，根据图示可知，“小天鹅”图案是由边长是分米的正方形切拼而成，所以“小天鹅”图案的面积等于这个正方形的面积．根据阴影部分的面积占整个正方形面积的分率求解即可． 【详解】如图： 答：阴影部分的面积为 故选： B． 2．（23-24七年级上·湖南常德·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了七巧板，根据七巧板的特点，求得图2长方形的长与宽，即可求解． 【详解】解：图1所示边长为4的正方形面积为16， 由图可知图2中，长方形的长为，宽为，面积为， 则图2中阴影部分的面积是，故选：C． 3．（2024·陕西·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了七巧板拼接图形，根据，，结合题意，即可求解． 【详解】解：设标有4和6的三角形面积分别为， 根据题意可得，又，∴，故答案为：3． 1．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）下列说法中，①长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；③棱锥底面边数与侧棱数相等；④直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑥圆锥和圆柱的底面都是圆；⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了立体几何图形的定义，旋转体的定义，理解棱柱、圆柱、圆锥、棱锥、旋转体的定义是解题的关键． 【详解】解：①长方体是四棱柱，四棱柱不一定是长方体，故此项错误； ②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体，此项正确； ③棱锥底面边数与侧棱数相等，此项正确； ④直角三角形绕斜边旋转一周得到的立体图形是两个圆锥的组合体，故此项错误； ⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形，此项正确； ⑥圆锥和圆柱的底面都是圆，此项正确； ⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，是旋转体，一定不是多面体，此项正确； ⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体，此项正确；故选：D． 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意；故选：C． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查截一个几何体，根据挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，进行求解即可． 【详解】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面，所以第二个几何体有9个面．故选：D． 4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）由10个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较从三个方向看到的形状图，则下列说法正确的是（   ） A．从正面看到的形状图的面积最小 B．从上面看到的形状图的面积最小 C．从左面看到的形状图的面积最小 D．从三个方向看到的形状图的面积一样大 【答案】D 【分析】本题考查几何体的三视图，弄清三视图的规律是解题关键．观察图形，分别表示出三视图由几个正方形组成，再比较其面积的大小． 【详解】解：从正面，上面，左面看到的都是3个正方形，2个正方形和1个正方形的组合，只是排放方式不同，但是总共都是6个正方形，因此从三个方向看到的形状图的面积一样大，故选：D． 5．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开图，由正方体展开图的特征得出结论，熟练掌握正方体的展开图是解此题的关键． 【详解】解：由正方体展开图的特征得出，当折成纸盒时，与数2重合的数是6，故选：A． 6．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可．故选：D． 7．（24-25七年级上·四川成都·期中）折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，这种现象可以用数学原理解释为：线动成面． 故答案为：线动成面 8．（24-25七年级上·云南昆明·期中）2024年8月28日，国家粮食和物资储备局发布数据，截至目前，全国主产区各类粮食企业累计收购夏粮超6000万吨，同比增加400万吨左右，收购数量处于近年来较高水平．某“粮仓”的示意图如下图． (1)该“粮仓”的示意图可以由上面右侧四幅图中的第________幅图旋转而成；（填序号） (2)求该“粮仓”的体积．（提示：取3，，） 【答案】(1)②(2)192 【分析】本题主要考查几何体的体积，熟练掌握几何体的特征是解题的关键； （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【详解】（1）解：由图可知该几何体是由第②幅图旋转而成的；故答案为②； （2）解：该“粮仓”的体积为． 9．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积；(4)求该几何体的体积． 【答案】(1)长方体(2)①②③④(3)(4) 【分析】本题主要考查长方体的展开图及其表面积与体积的计算方法，用平面截图的方法等，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键．（1）直接根据几何体的展开图判断即可；（2）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （3）利用长方体的表面积计算公式求解即可； （4）利用长方体的体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：几何体的展开图共有6个面，且各面都是长方形，∴此几何体为长方体． （2）解：∵长方体有六个面，∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形， 最少与三个面相交得三角形，∴用一个平面去截长方体， 截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形，∴截面形状可能是①②③④． （3）解：，∴表面积是． （4）解：，∴体积是． 10．（23-24七年级·广东·期中）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析(2)(3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可；（2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答；（3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）因为，所以． （3）由，得，所以，所以这个多面体的面数为100． 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为正方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及几何体的展开图逐一判断即可，熟练掌握几何体的展开图是解决此题的关键． 【详解】A、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意； B、能折叠成原几何体的形式，符合题意； C、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意； D、不是这个几何体的表面展开图，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期中）日常生活中，常用骰子做游戏决定随机结果，如图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图2方式将两个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是 ，最小是 ． 【答案】 36 20 【分析】根据题意，得1和6相对，2和5相对，3和4相对，根据题意，分类计算即可. 本题考查了几何体的展开图，相对问题，数字和最值计算，熟练掌握展开图的意义是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得1和6相对，2和5相对，3和4相对， 左边的立方体底面看不见，右面看不见，右边的立方体，底面看不见，左面看不见， 要想看见面和最大，只需看不见的四个面和最小，此时， 故看见的面上的数字和最大为，故答案为：36； 要想看见面和最小，只需看不见的四个面和最大，此时， 故看见的面上的数字和最小为，故答案为：20. 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 【详解】解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6，如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）．故答案为：12；144． 4．（23-24七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 【答案】④⑤⑥ 【分析】观察所给的模块，结合构成的棱长为3的大正方体的特征即可求解． 【详解】解：由图形可知，模块⑥补模块①上面的左上角，模块⑤补模块①上面的右下角，模块④补模块①上面的⑥⑤之间，使得模块①成为一个棱长为3的大正方体． 故能够完成任务的为模块④，⑤，⑥．故答案为：④⑤⑥（答案不唯一）． 【点睛】考查了认识立体图形，本题类似七巧板的游戏，考查了拼接图形，可以培养学生动手能力，展开学生的丰富想象力． 5．（24-25七年级上·浙江·假期作业）图①的纸环是将一张长方形纸条一端旋转，再将两端粘上得到的，图②的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，． （1）图( )的纸环是莫比乌斯带． （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．（填“能”或“不能”） 【答案】 ① 能 不能 【分析】本题考查了莫比乌斯带，掌握莫比乌斯带的特点是解题的关键． （1）将长方形纸条扭一下，再将两端粘合，得到的图形是莫比乌斯带．据此找出哪个图形是莫比乌斯带； （2）小蚂蚁沿着莫比乌斯带爬行，能够到达纸环上的任意一点．据此填空． 【详解】（1）根据莫比乌斯带的定义：只有一个面、一条封闭曲线作边界的纸圈可得，图①的纸环是莫比乌斯带，故答案为：①； （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它能到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它不能到达纸环上的任意一点．故答案为：能，不能． 6．（24-25七年级上·山东威海·期中）问题1： 一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的的小正方体个数． （1）请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）若小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 问题2：用小立方块搭一个几何体，使得它从左面看和从上面看的图形如图所示， 这样的几何体最少要几个立方块．最多要几个立方块？并画出最少时从正面看到的图形． 【答案】问题1：（1）作图见解析；（2）；问题2：最少9个，最多13个，作图见解析 【分析】本题考查从不同方面看组合体，根据平面图形还原出立体图形是解决问题的关键． 问题1：（1）由从上面看到的几何体的形状即可得到从左面及上面看几何体的平面图形； （2）由不同方面看组合体得到的立体图形可知，共有13个小正方体，由还原的空间组合体即可得到表面积；问题2：根据从左面看和从上面看的图形可知，搭建这样的几何体最少9个，最多13个，最少时有9个，作出从正面看到的图形即可得到答案． 【详解】解：问题1：（1）如图所示： （2）从上面看到的几何体的形状如图所示： 该组合体得到的立体图形共有13个小正方体，如图所示： 则组合体从上到下有4层，具体情况是：最上层1个小正方体，第2层有2个小正方体，第3层有4个小正方体，最底层6个小正方体， ①最上层1个小正方体，能计入几何体表面积的有上面、左面、右面、前面和后面， 小正方体的棱长为，最上层1个小正方体可计入几何体表面积的面积为； ②第2层有2个小正方体，能计入几何体表面积的有左边小立方体的上面、左面、右面、前面和后面， 小正方体的棱长为，第2层左边小正方体可计入几何体表面积的面积为； 第2层有2个小正方体，能计入几何体表面积的有右边小立方体的左面、右面、前面和后面， 小正方体的棱长为，第2层右边小正方体可计入几何体表面积的面积为； ③第3层有4个小正方体，能计入几何体表面积的左边2个小立方体中，前侧的1个小正方体有上面、左面、右面和前面， 小正方体的棱长为，第3层左边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 第3层有4个小正方体，能计入几何体表面积的左边2个小立方体中，后侧的1个小正方体有左面、右面和后面， 小正方体的棱长为，第3层左边后侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 第3层有4个小正方体，能计入几何体表面积的右边2个小立方体中，前侧的1个小正方体有左面、右面和前面， 小正方体的棱长为，第3层右边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 第3层有4个小正方体，能计入几何体表面积的右边2个小立方体中，后侧的1个小正方体有上面、左面、右面和后面， 小正方体的棱长为，第3层右边后侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； ④最底层有6个小正方体，能计入几何体表面积的左边2个小立方体中，前侧的1个小正方体有下面、左面、右面和前面， 小正方体的棱长为，最底层左边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有4个小正方体，能计入几何体表面积的左边2个小立方体中，后侧的1个小正方体有左面和后面， 小正方体的棱长为，第3层左边后侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有4个小正方体，能计入几何体表面积的中间2个小立方体中，前侧的1个小正方体有上面、下面和前面， 小正方体的棱长为，最底层中间前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有4个小正方体，能计入几何体表面积的中间2个小立方体中，后侧的1个小正方体有上面、下面、左面和后面， 小正方体的棱长为，最底层中间后侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有4个小正方体，能计入几何体表面积的右边2个小立方体中，前侧的1个小正方体有下面、右面和前面， 小正方体的棱长为，最底层右边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 最底层有4个小正方体，能计入几何体表面积的右边2个小立方体中，后侧的1个小正方体有下面、右面和后面， 小正方体的棱长为，最底层右边前侧小正方体可计入几何体表面积的面积为； 综上所述，该几何体的表面积为； 问题2：由从左面看和从上面看的图形可知，搭建这样的几何体最少9个，最多13个， 最少时从正面看到的图有： 7．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5(2)21，50 (3)正四面体 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可；（2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积；（3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②．故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个，表面积最小是．故答案为：21，50； （3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称是正四面体．故答案为：正四面体． 【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． 8．（24-25七年级上·北京海淀·期中）在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点M处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚A处．当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”． （1）当时，在图2中画出从点M沿侧面环绕一周到达山脚点A处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路?（2）如果改变小山侧面顶角的大小，（1）中的结论是否发生变化呢?请利用量角器，刻度尺等工具画图探究，并把你的结论填入下表； 情形 度数 侧面 侧面 1 15° 2 30° （3）记，随着逐渐增大，在侧面、侧面上走的这两段路上下坡变化的情况为__________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）随着逐渐增大，在侧面始终是下坡路，侧面先下坡，在某一位置平缓，然后再上坡. 【分析】（1）连接，进而根据题意确定上坡路和下坡路；（2）根据题意画出图形，进而根据（1）的方法填表即可；（3）根据三个图形的情况分析，即可得出结论 【详解】（1）如图，连接，                                根据题意，在侧面上走的是上坡路、侧面上走的是下坡路 （2）                                           情形 度数 侧面 侧面 下坡路 下坡路 上坡路 下坡路         （3）随着逐渐增大，在侧面始终是下坡路，侧面先下坡，在某一位置平缓，然后再上坡. 【点睛】本题考查了立体图形侧面展开图，两点之间线段最短，线段长短的比较，理解题意是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 丰富的图形世界 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 常见几何体的构成与分类 题型二 几何体的点、棱、面与欧拉公式 题型三 点、线、面、体四者之间的关系 题型四 旋转体及相关计算 题型五 几何体的三视图相关问题 题型六 几何体的展开图的相关辨别 题型七 几何体的展开图的相关计算 题型八 几何体的相关截面问题 题型九 七巧板拼图的相关计算 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 常见几何体的构成与分类 ⭐技巧积累与运用 1、对几何体进行分类，可根据几何体的特征按（柱体），（锥体），（球体）划分；也可按组成几何体的面的（曲）或（平）来划分；还可组成几何体的面的（数量）来划分。 2、立体几何图形，第1类：柱体，包括：圆柱和棱柱，棱柱又可分为直棱柱和斜棱柱，棱柱体按底面边数的多少，又可分为三棱柱、四棱柱、N棱柱；第2类：锥体，包括：圆锥体和棱锥体，棱锥分为三棱锥、四棱锥以及N棱锥；第3类：旋转体：包括：圆柱、圆台、圆锥、球。 1．（24-25七年级上·山西太原·期中）异形手提盒包装设计因其结构造型独特，具有丰富的艺术性和实用性．将如图所示的手提盒主体的形状抽象成几何体正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期末）有下列四个说法：①长方体与正方体都是四棱柱；②三棱锥的侧面都是三角形；③十棱柱有个面，每个侧面都是长方形；④棱柱的每条棱长可以相等，其中正确的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25七年级上·成都·课后作业）如图，至少找出下列几何体的四个共同点． 4．（24-25七年级上·广东·随堂练习）观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 ；含曲面的有 ． 、 几何体的点、棱、面与欧拉公式 ⭐技巧积累与运用 棱柱的顶点数，面数和棱数之间的关系：E=V+F-2（F代表面数，V代表顶点数，E代表棱数），这是多面体的欧拉公式。 面数和顶点数间的关系：F=V/2+2；棱数和顶点数间的关系：E=V+V/2=3V/2；棱数和面数间的关系：E=3F-6。 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图所示的六棱柱中，它的底面边长都是，侧棱长为，这个棱柱共有多少个面？这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？它的侧面积是多少？ 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习完第一章《丰富的图形世界》后，小红对棱柱的内容进行了归纳与思考： (1)【棱柱的性质】一个棱柱的命名是由底面边数决定的，而面数、顶点数、棱数都与它的底面边数有关，一个六棱柱有________个面，________个顶点，________条棱． (2)【棱柱的展开】由于正方体的表面沿某些棱剪开可以展开成一个平面图形，发现每一次都剪开了7条棱，小红又尝试将其他棱柱的表面沿某些棱剪开展开成一个平面图形，记录如下： 剪开棱的条数 保留棱的条数 三棱柱 5 4 四棱柱 7 5 五棱柱 9 6 … … … 根据以上规律，二十棱柱要剪开________条棱． (3)【棱柱的截面】用平面截一个正方体将其分为两个几何体，当截面是三角形时，所分出的两个几何体的顶点总个数可能是________．（填序号） ①8  ②9  ③10  ④11  ⑤12  ⑥13  ⑦14  ⑧15  ⑨16  ⑩17 3．（24-25七年级上·广东梅州·期中）综合与实践：新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 操作探究：（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数、面数和棱数，填写下表中空缺的部分： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 12 30 通过填表发现：顶点数、面数和棱数之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学家欧拉（，1707-1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式； 探究应用：（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱； （3）已知一个多面体有16个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数． 点、线、面、体四者之间的关系 ⭐技巧积累与运用 (1)点：线与线相交的地方是点，它是组成图形的最基本元素，一切图形都是由点组成的。 (2)线：面和面相交成线，点动成线，线分直线和曲线两种。 (3)面：包围着体的是面，线动成面，面分为平面和曲面两种。 (4)体：由面围成的，面动成体，也可以看成是由平面绕某一条直线旋转形成的。 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线、线动成面、面动成体。 1．（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线，节日的焰火画出的曲线组成优美的图案，从这些现象中我们发现（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交的地方是线 旋转体及相关计算 ⭐技巧积累与运用 旋转体是旋转或平移平面图形得来，可以看成由平面平移而成或看成由平面绕某一条直线旋转而成。 1．（24-25七年级上·重庆·期中）如图所示，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，有一个长，宽的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴旋转，可按两种方案进行操作． 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（1）； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图（2）． ①上述操作能形成的几何体是__________，说明的事实是____________________； ②请通过计算说明哪种方案得到的几何体的体积大． 3．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示，将下面组合图形分别绕轴、轴旋转一周形成两个不同的立体图．求这两个立体图形体积？ 几何体的三视图相关问题 ⭐技巧积累与运用 三视图问题常见类型及解题策略 (1)由几何体直观图求三视图。注意正视图、侧视图和俯视图观察方向，注意看到部分用实线表示，不能看到部分用虚线表示。 (2)由几何体部分视图画出剩余部分视图。先根据已知的部分三视图，先代入，再看看给出部分三视图是否符合。 (3)由几何体三视图还原几何体形状。要熟悉柱、锥、台、球三视图，明确三视图形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图。 1．（24-25七年级上·广东茂名·期中）学校智拓课堂上，几位同学用相同大小的正方体积木拼搭组合体．如图所示，1个正方体积木恰好可以从1个空白位置通过，那么下列组合体中无法从空白部分通过的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）由4个完全相同的小正方体搭建了一个积木，从积木正面、左面、上面三个方向看到的形状图如图所示，则这个积木可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成．从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；(2)能不能在某些位置增加小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？如果能，请画出两种不同位置摆放的从上面看的形状图，并在图上小正方形中标出该位置的小立方块的个数；如果不能，请说明理由；(3)能不能减少某些位置的的小立方块，使从正面、左面看到的几何体的形状图不变？最少可以用几个小立方块？ 几何体的展开图的相关辨别 ⭐技巧积累与运用 ‌几何体的展开图解题技巧主要包括以下几种方法‌： ‌对立面排除法‌：在脑海中想象几何体的母图，记住每个面的编号和位置。在展开图中，对立面是不会同时出现的，因此可以通过排除对立面选项来缩小选择范围。 ‌平移法‌：对于某些展开图，可以通过平移面的位置来还原几何体的形状。这种方法适用于面与面之间可以通过平移相互转换的情况‌。 ‌旋转法‌：对于正方体的展开图，可以通过旋转来还原几何体的形状。 ‌特征面法‌：如果展开图的面是“3×2”的组合，可以通过找出特征面来快速锁定选项。特征面是指那些在展开图中图案唯一且容易识别的面，通过观察特征面和相邻面的组合，可以快速还原几何体的形状‌。 1．（24-25七年级上·山西晋中·期中）巴黎奥运会于北京时间月日盛大开幕．如图，小明将“庆祝奥运会！”分别写在一个正方体的展开图上，把展开图折叠成正方体后，与“奥”字相对的汉字是（   ）          A．庆 B．祝 C．运 D．会 2．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）正方体展开有6个正方形，图甲是其中的4个，其它2个可能在图乙的（    ）位置 A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④ 3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）小江将一块积木的各面都涂上红、绿、蓝、黄、白和黑六种不同的颜色，然后把它摆放成不同的位置，看到的情形如图，则和黄色所在面相对的面上的颜色是（    ） A．白 B．黑 C．蓝 D．绿 4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）（立方体展开图）如图是一个平面纸板图，下面有几个立体图形，其中有一个是纸板折合而成的，请你找出来．（   ） A． B． C． D． 几何体的展开图的相关计算 ⭐技巧积累与运用 展开图的计算主要有两类：其一是已知展开图求原几何体的表面积或体积；其二是已知几何体的相关数据求展开图的相关信息。 1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 2．（24-25七年级上·山东济南·期中）如图，是一个食品包装盒的表面展开图． (1)请写出这个包装盒的几何体的名称： ；(2)根据图中给出的数据，计算这个几何体的侧面积． 3．（24-25七年级上·福建漳州·期中）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的正方形卡纸，要求大家利用它制作一个无盖的正方体纸盒．小明按照图2的方式裁剪掉阴影部分，恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个无盖的礼品盒，如图3所示． (1)如果正方形的边长为6，直接写出的值； (2)小明在设计无盖正方体纸盒展开图（图2）时的方法是在正方形卡纸的四个直角的位置上分别剪去大小相等的小正方形．如果把正方形卡纸换成如图4所示的长方形卡纸，且规格为（单位：）．请你参考小明的方法，在图4的卡纸上进行设计，用阴影画出裁剪部分，用实线画出裁剪线，使剩下部分刚好是一个长为，宽为，高为的无盖长方体盒子（如图5所示）的展开图． 几何体的相关截面问题 ⭐技巧积累与运用 学习基本图形的截面时，要同时明白这些截图都是从哪个方向切出来的（横切、横斜切、竖切、竖斜切），这样方便我们后面做复杂立体图形截面题。 1．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）如图，祖母绿被称为绿宝石之王，属于绿柱石矿物，通常为六棱柱形状，这是由晶体的内部结构决定的．若用平面切割六棱柱祖母绿，截面形状不可能为（   ） A．梯形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小明用四种不同的方法截同一个几何体，分别得到了下列的图形，这个几何体可能是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．球体 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果沿长方形对角线与长方形的对角线将长方体截成相等的两部分，截面是一个 形． 4．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为4，则这个n棱柱的棱长之和为 ． 七巧板拼图的相关计算 ⭐技巧积累与运用 首先，要熟悉七巧板中各个板块的形状和大小，了解它们之间的边角几何关系。再从图形中最明显的地方入手，如边角相连或角角相连的地方，进行猜测和试验，逐步验证之前的猜测。这样可以更好地进行七巧板拼图计算解题，提高解题效率和准确性。 1．（23-24七年级下·四川成都·开学考试）（组合图形求面积）用边长为的正方形纸板制成一副七巧板，将它拼成 “小天鹅”图案（如图），其中阴影部分的面积为（    ） ． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南常德·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．32 C．34 D．36 3．（2024·陕西·模拟预测）七巧板是一种拼图玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧．如图，整个七巧板拼图是个正方形，若七巧板中标有“3”的平行四边形的面积 ，则标有“5”的正方形的面积S₅的值为 ． 1．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）下列说法中，①长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；③棱锥底面边数与侧棱数相等；④直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑥圆锥和圆柱的底面都是圆；⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）由10个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较从三个方向看到的形状图，则下列说法正确的是（   ） A．从正面看到的形状图的面积最小 B．从上面看到的形状图的面积最小 C．从左面看到的形状图的面积最小 D．从三个方向看到的形状图的面积一样大 5．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与数2重合的数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．11 6．（24-25七年级上·山西太原·阶段练习）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·四川成都·期中）折扇的每一根扇骨可以看作是一条线，当我们打开折扇时，众多扇骨同时运动，这些扇骨运动所形成的区域就构成了一个扇面，从数学的角度来解释，这种现象说明了 ． 8．（24-25七年级上·云南昆明·期中）2024年8月28日，国家粮食和物资储备局发布数据，截至目前，全国主产区各类粮食企业累计收购夏粮超6000万吨，同比增加400万吨左右，收购数量处于近年来较高水平．某“粮仓”的示意图如下图．(1)该“粮仓”的示意图可以由上面右侧四幅图中的第________幅图旋转而成；（填序号）；(2)求该“粮仓”的体积．（提示：取3，，） 9．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，是一个几何体的表面展开图： (1)请说出该几何体的名称__________； (2)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是__________（填序号） ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形； (3)求该几何体的表面积；(4)求该几何体的体积． 10．（23-24七年级·广东·期中）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 1．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为正方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期中）日常生活中，常用骰子做游戏决定随机结果，如图1是一枚骰子的平面展开图．在一张不透明的桌子上，按图2方式将两个质地均匀、完全相同的正方体骰子搭成一个几何体，则该几何体能被看到的点数之和最大是 ，最小是 ． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 4．（23-24七年级上·山东青岛·期中）如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②一⑥均由4个棱长为1的小正方体构成，现在从模块②一⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体，则符合上述要求的三个模块序号是 ． 5．（24-25七年级上·浙江·假期作业）图①的纸环是将一张长方形纸条一端旋转，再将两端粘上得到的，图②的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，． （1）图( )的纸环是莫比乌斯带． （2）两只蚂蚁分别沿两个纸环爬行，图①中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．图②中的蚂蚁如果不爬过纸环的边缘，它( )到达纸环上的任意一点．（填“能”或“不能”） 6．（24-25七年级上·山东威海·期中）问题1： 一个几何体由大小相同的小正方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的的小正方体个数． （1）请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）若小正方体的棱长为，求该几何体的表面积． 问题2：用小立方块搭一个几何体，使得它从左面看和从上面看的图形如图所示， 这样的几何体最少要几个立方块．最多要几个立方块？并画出最少时从正面看到的图形． 7．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 8．（24-25七年级上·北京海淀·期中）在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点M处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚A处．当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”． （1）当时，在图2中画出从点M沿侧面环绕一周到达山脚点A处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路?（2）如果改变小山侧面顶角的大小，（1）中的结论是否发生变化呢?请利用量角器，刻度尺等工具画图探究，并把你的结论填入下表； 情形 度数 侧面 侧面 1 15° 2 30° （3）记，随着逐渐增大，在侧面、侧面上走的这两段路上下坡变化的情况为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$