9.4 向量应用 习题课课件-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第9章 平面向量 9.4 向量应用 1 题型分析 题型一 平面几何中的平行（共线）问题 1.（2024上海曹杨二中期中）在中,为中点,为 中点,则以下结论:①存在 ,使得；②存在,使得 ,则( ) B A.①成立,②成立 B.①成立,②不成立 C.①不成立,②成立 D.①不成立,②不成立 2 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设,,,则 , （建立坐标系,设出坐标,利用坐标表示求解）. ①,,若,则 , 所以,满足条件的明显存在,例如 ,所以①成立； ②设为中点,连接,,与 的交点即 为重心 , 因为为的三等分点,为中点,所以与 不共线,即② 不成立. . . . . 3 2.如图,点是平行四边形的中心,,分别在边, 上,且 .求证:点,, 在同一直线上. 【答案】 设, , 由,知,分别是, 的三等分点, 所以 , ,所 以 . 又为和的公共点,故点,, 在同一直线上. 4 提醒 无论是直线平行还是三点共线问题,应用向量方法解决,实质上是利用向量共线定理. （1）几何图形中要证明线段,只需证明存在实数 ,使得 或 ,其中, . （2）几何图形中要证明,,三点共线,只需证明存在实数 ,使得 或存在实数 ,使得为,, 所在直线外一点）. 5 题型二 平面几何中的垂直问题 3.（2024山东泰安开学考试）在四边形中,,,则四边形 的 形状是______. 矩形 【解析】 由,可知,即 , 由，可得且,所以四边形 的形状为矩形. 6 4.（2024上海浦东新区期中）平面上三点,,的坐标分别是,, .小林同学 在点处休息,一只小猫沿着 所在直线来回跑动,则小猫离小林同学最近时的坐标为 ______. 【解析】 由题意知,小猫离小林同学最近时所在位置点与点的连线与垂直,且, , 三点共线,设,则,, ,所以 解得所以点的坐标为 . 7 5.（2024浙江杭州期末）如图,在中,已知 , , ,,分别为,上的两点, , ,,相交于点 . （1） 求 的值； 【答案】 因为 , 所以 , 所以 , 所以 . 8 （2） 求证: . 【答案】 因为 , 所以 , 所以 提醒 利用向量解决垂直问题的方法和途径 （1）方法:对于线段的垂直问题,可以联想到两个向量垂直的条件,即向量的数量积为0. （2）途径:可以考虑向量关系式的形式,也可以考虑坐标的形式. , 所以,即,所以 . 9 题型三 向量在物理中的应用 6.（2024江苏无锡阶段练习）一物体在力的作用下,由点移动到点 ,已知 , 对该物体所做的功为( ) C A. B. C.23 D.28 【解析】 由题意可知,, ,则 , 所以 对该物体所做的功为23. 10 7.（2024安徽合肥一中期中）如图,一条河的南北两岸 平行.游船在静水中的航行速度的大小为 ,水 流的速度的大小为,则游船要从 航行到正北 方向上位于北岸的码头 处,其航行速度的大小为 ( ) A A. B. C. D. 11 【解析】 设与所成的角为 , 由题意得, , 则,所以 ,所 以 . 数形结合.如图，因为游船要从A航 行到B码头，所以游船速度为 ，根据勾股定理可知 . 12 8.如图,支座受,两个力的作用,已知与水平线成 角,,沿水平方向,,与的合力 的大小为 . （1） 求 . 【答案】 由题知 , 所以 , 得 ,解得 . 13 （2） 求与的夹角 的余弦值. 【答案】 因为 , 所以 , 得到,解得 , 所以与的夹角 的余弦值为 . 14 能力提升 1.（2024山西大同调研联考）已知平面四边形的四条边,,, 的中点依次 为,,,,且,则四边形 一定为( ) C A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 【解析】 如图，连接, . 15 由题意结合中位线定理可得,,, , ,,即四边形 为平行四边形. , , , 16 , ,即,即 , ,又, , 同理由中位线定理可得 , , 故四边形 为矩形. 17 2.（2024浙江金华一中期末）哥哥和弟弟一起拎一重物（哥哥的手和弟弟的手放在一 起）,哥哥用力为,弟弟用力为,若,且,的夹角为 时,保持平衡状态, 则此时与重物重力 之间的夹角为( ) C A. B. C. D. 18 【解析】 根据力的平衡,,的合力为 ,如图所示， 由于,且,的夹角为 , 则为等边三角形,则 , 则与重物重力之间的夹角为 . 19 3.（2024江苏泰州期中,多选）长江某处的南北两岸平行,江面宽度为 ,一艘船从江南 岸边的处出发到江北岸.如图,船在静水中的速度的大小为 ,水流方向 自西向东,且速度的大小为.设和的夹角为,北岸的点 在 的正北方向,则( ) BD A.当船的航行距离最短时, B.当船的航行时间最短时, C.当时,船航行到达北岸的位置在 的左侧 D.当时,船的航行距离为 20 【解析】 当船的航行距离最短时, 的方向 与河岸垂直,从而 ； 船的航行时间为 ,若要船的 航行时间最短,则 最大, 也就是说当且仅当 时,船的航行时间最短； 21 当 时,船水平方向的速度大小为 ,方向水平向右,故最终到 达北岸时船在点 的右侧； 由题意设位移分量为,,位移为 , 则,其中 , 所以 . 22 4.（2024江苏徐州期末统考,多选）如图,在等腰直角三角形中,, , 设点,,,是线段 的五等分点,则( ) BCD A. B. C. D.的最小值为 23 【解析】 ； 同上可得, , 因为在等腰直角三角形中,,所以 , , 所以 , , 所以 ； 24 如图，设的中点为,连接,则 , , （平行四边形法则）, 所以 ； . . . . 25 如图，设的中点为,为线段 上一点, ,则,连接 , 则 , , 所以 . 作点A关于的对称点,连接,,则四边形为边长为1的正方形,连接, ， 故 （“将军饮马”问题）, 当,, 三点共线时取等号, 所以的最小值为 . . . 26 5.如图,一个力作用于小车,使小车 发生了40米的位 移,的大小为,且与小车的位移方向的夹角为 , 是与小车位移方向相同的单位向量,则 在小车位移上 的投影向量为_____,力做的功为_______ . 1 000 【解析】 因为,且 与小车的位移方向的夹角 为 ,所以 在小车位移 方向上的投影向量为.又力作用于小车,使小车 发生了40米的位移, 所以力做的功 . 27 6.（2024广东深圳阶段练习）如图所示, 的顶点是我国在某 海域的三个战略岛屿,各岛屿之间建有资源补给站,在图中的,, 点上.岛屿到补给站的距离为岛屿到的,岛屿和岛屿 到补 给站的距离相等,补给站在靠近岛屿的 的三等分点上.设 , . （1） 用,表示, ； 【答案】 依题意,得,点为中点, , 又, , 所以 , . 28 （2） 如果 ,海里,且,求岛屿到补给站的距离 以及 岛屿到岛屿的距离 . 29 【答案】 依题意,得 , 又,所以 ,即 , 所以,则 , 又 , 所以 , 所以 , 30 而 , 所以 . 故岛屿到补给站的距离为 海里，岛屿到岛屿 的距离 为 海里. 情境素养 1. （2024辽宁省实验中学期中）已知, 是平面内任意两个非零不共线 向量,过平面内任一点作,,以为原点,分别以射线,为, 轴的 正半轴,建立平面坐标系,如图1.我们把这个由基底,确定的坐标系称为基底{ , 坐标系.当向量,不垂直时,坐标系就是平面斜坐标系,简记为;, .对 平面内任一点,连接,由平面向量基本定理可知,存在唯一实数对 ,使得 ,则称实数对为点在斜坐标系；, 中的坐标. 图1 图2 32 今有斜坐标系；,（长度单位为米,如图2）,且,, ,设 . （1） 计算 的大小. 【答案】 因为,, , 所以 , 又,所以 , 所以 , 即的大小为 . 图2 33 （2） 质点甲在上距点4米的点处,质点乙在上距点1米的点处,现在甲沿 的 方向,乙沿 的方向同时以3米/时的速度移动. 图2 ① 若过2小时后质点甲到达点,质点乙到达点,请用,表示 ； 34 【答案】 如图1所示: 图1 依题意,过2小时后质点甲到达点（在点左边）,且有 , 质点乙到达点,且有 , 故 . 35 ② 若时刻,质点甲到达点,质点乙到达 点,求两质点何时相距最短？并求出最短距离. 【答案】 时刻时,质点甲到达点,质点乙到达 点,如图2所示. 图2 , ,则 , 图2 36 所以两质点间的距离 , 因为,所以当时,取得最小值，最小值为 , 所以 小时后,两质点相距最短,最短距离为 米. 图2 37 $$