福建省宁德市某校2024-2025学年高二上学期第三次阶段测试数学试题

11月月考数学卷 考试范围：湘教版选择性必修一第一册第一章~第四章4.3； 考试时间：120分钟；命题人 审卷人：高二数学组 姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．若双曲线（，）的实轴长为4，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 4．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．若等差数列和等比数列满足，则为（    ） A． B． C． D． 6．10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 7．如果一个三位正整数“”满足且，则称这样的三位数为凸数（如120，343，275），当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为（   ） A．18 B．15 C．16 D．21 8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过的直线交椭圆于，，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中错误的是（    ） A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为 D．任何一条直线至少要经过两个象限 10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C．甲乙不相邻的排法种数为82种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11．已知曲线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为椭圆 B．若，则为双曲线 C．若为椭圆，则其长轴长一定大于2 D．曲线不能表示圆 三、填空题 12．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 13．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音阶，排成一个没有重复音阶的五音音序，且商、角、徵不全相邻，则可排成的不同音序有 种.（用数字作答） 14．如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 . 四、解答题 15．已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 16．根据下列条件求双曲线的标准方程： (1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等； (2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）． 17．已知等比数列的前项和为，且． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 18．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？ (1)至少有1名女生入选； (2)至多有2名女生入选； (3)男生甲和女生乙入选； (4)男生甲和女生乙不能同时入选； (5)男生甲、女生乙至少有一个人入选． 19．已知为坐标原点，是抛物线上与点不重合的任意一点． (1)设抛物线的焦点为，若以为圆心，为半径的圆交的准线于两点，且的面积为，求圆的方程； (2)若是拋物线上的另外一点，非零向量满足，证明：直线必经过一个定点． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D A D A A BCD ABD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】由题意知，点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，直线经过定点，结合图形可得，当且仅当轴时，点到直线的距离最大，即可求得. 【详解】    如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 又直线经过定点， 由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大， 即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为. （理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点， 在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）. 故选：B. 2．B 【分析】根据实轴长以及焦距可得，，计算可得，再由渐近线方程的形式即可求得结果. 【详解】根据题意可知，即可得，且，即； 因此可得，可得； 再由渐近线方程可得该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 3．D 【分析】根据椭圆的定义分析求解即可. 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 4．D 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 5．A 【分析】根据数列为等差数列应用基本量运算得出,应用数列为等比数列应用基本量运算得出,计算即可. 【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，所以, 又因为是等比数列，设公比为,所以，所以， 则. 故选：A. 6．D 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 7．A 【分析】分两类，中间为3或中间为4两种情况. 【详解】当中间数为3时，有（个）； 当中间数为4时，有（个）． 故共有（个）． 故选：A 8．A 【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率. 【详解】因为，所以， 如图，在上取一点M，使得，连接，则， 则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以， 所以， 设，则， 由椭圆定义可知：，即，所以， 所以，， 故点A与上顶点重合， 在中，由余弦定理得： ， 在中，， 解得：， 所以椭圆离心率为.    故选：A 【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率. 9．BCD 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10．ABD 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 11．BC 【分析】A，B项，求出的范围，即可判断曲线的形状；C项，求出为椭圆时的范围，分类讨论即可得出其长轴长的范围；D项，通过A选项即可得出结论. 【详解】由题意， 在曲线中， A项，当时，， 但当即时，曲线为圆，故A错误； B项，当时，，为双曲线，B正确； C项，若为椭圆，由A选项知，， 当时，， ∴长轴为， 当时， ∴长轴为，故C正确； D项，由A知当时，曲线为圆，D错误. 故选：BC. 12． 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，结合两直线垂直的斜率相乘等于求得所求直线斜率，最后点斜式写出所求直线方程； 【详解】圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1， 所以所求直线为，即． 故答案为：. 13．84 【分析】由捆绑法、间接法即可求解. 【详解】这五个音阶的全排列数为， 若商、角、徵全相邻，则由捆绑法可知，共有种排法， 故由间接法可知，满足题意的排法数有种. 故答案为：84. 14． 【分析】以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，求出直线，的方程，联立两方程解出点的坐标，进而可得点所在双曲线方程，由离心率公式计算即可得答案. 【详解】解：以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系： 设，则， 则有，，，，，，， 设， 所以，， 又因为，所以， 所以或， 又因为， 所以直线的方程为：，即， 同理可得直线的方程为：，即， 由，可得， 即， 因为，， ，, 即有，， 所以点所在双曲线方程为：， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：椭圆或双曲线中，要求离心率的值，就要求出的值(或数量关系或关于的一个二次方程). 15．(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【详解】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； （2）由可得，解得，. 此时，，有，故. 16．(1)1 (2)1 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）设所求双曲线的方程为k（），代入点求出k即可. 【详解】（1）过点（2，0），可知所求双曲线的焦点在x轴上，且a＝2， 因为所求双曲线与双曲线1的离心率相等； 所以e，解得c，所以b1， 所以双曲线方程为1． （2）与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）， 则可设所求双曲线的方程为k（）， 把点M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k＝﹣2． 所以所求双曲线的标准方程为1． 17．(1)或 (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前项和公式求解； （2）由（1）求得数列的通项，再综合运用分组求和与错位相减法求得前项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意，得，解得， ∴或 （2）∵，由（1）知，，， 令  ① 则      ② 得 即 所以. 18．(1)771 (2)546 (3)120 (4)672 (5)540 【分析】（1）利用间接法，选从12任选5名，再排除全是男生种数；（2）分三类，没有女生，有1名女生，有2名女生，由分类计数原理计算可得答案；（3）甲乙固定，再从在剩下的10人中选出的3人即可得答案；（4）（5）利用间接法，即可求解． 【详解】（1）至少有1名女生入选，选从12任选5名，再排除全是男生种数，故至少有1名女生入选.则种. （2）至多有2名女生入选，分为没有女生种，1名女生种，2名女生种，根据分类计数原理得21+175+350=546种. （3）男生甲和女生乙入选，在剩下的10人中选出的3人，种. （4）男生甲和女生乙不能同时入选，有种. （5）男生甲、女生乙至少有一个人入选,则种. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出，点到准线的距离，利用求出可得答案； （2）方法一，对两边平方得，设，设直线的方程为，结合抛物线方程得，再由可得答案；方法二，对两边平方得，设，设直线的方程为与抛物线方程联立，利用韦达定理结合可得答案. 【详解】（1）准线为到的距离是．由对称性知， 是等腰直角三角形，斜边， 点到准线的距离， ，解得， 故圆的方程为； （2）方法一，因为， 所以， 所以， 设在抛物线上， 则． 显然直线的斜率存在， 则直线的方程为， 将代入得，， 即， 令，得，    由得，， 因为（否则，有一个为零向量）， 所以，代入式可得， 故直线经过定点． 方法二，因为，所以， 设在拋物线上， 则， 显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立消去得到， ， 由得，， 因为（否则，有一个为零向量）， 所以，即， 因此就是．故直线经过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$