专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 例2．（2024·重庆兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（ ） A．5 B．6 C． D． 例3．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 例4.（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ． 例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．    例6．（2024·江苏无锡·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 例7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是 ． 例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 2．（2023·山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·一模）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为 ． 4．（2024四川成都·校考一模）在菱形中，，以A为圆心2半径作，交对角线于点E，点F为上一动点，连结，点G为中点，连结，取中点H，连结，则的最大值为 ． 5．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形边的中点，P是三角形内一点，连接，将线段以A为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，，，以点为圆心，长为半径作圆．点为上的动点，连结，作，垂足为，点在直线的上方，且满足，连结，点在上运动过程中，存在最大值为 ． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，点E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向转转90°得到点F，连接AF、DF，则的最小值是 ． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，点A，C，N的坐标分别为，以点C为圆心、2为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 9．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ． 10．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ． 11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最大值为 ． 12．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 13．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    14．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    15．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为 ；若点在上运动，当取最大值时，的长度是 ． 16．（23-24福建福州九年级上学期月考数学试题）如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ．    17．（23-24九年级上·天津·阶段练习）（1）如图①，锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为 ； （3）如图③，正方形边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为 ． 18．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，在平面内有一点，，过点作于点，且，连接为线段上一点，且，连接，则的最小值为 ． 19．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转90°，得到点，称点为点的反转点．已知的半径为1．(1)如图，点，，点在上，点为点的反转点． ①当点的坐标为时，在图中画出点；②当点在上运动时，求线段长的最大值； (2)已知点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 20．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） 1 47 模型1.瓜豆模型（圆弧轨迹类） “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1.（23-24九年级上·山东泰安·期末）如图，点半径为2，，点M是上的动点，点C是的中点，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作射线交于、，连接．因为，所以，所以当最大时，最大，可知当M运动到时，最大，由此即可解决问题． 【详解】如图，作射线交于、，连接， 由勾股定理得：，∵，∴， ∴当最大时，最大，∴当M运动到时，最大， 此时的最大值，故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题． 例2．（2024·重庆兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，半径为2的与轴的负半轴交于点，点是 上一动点，点为弦的中点，直线与 轴、轴分别交于点，，则面积的最小值为（ ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据点为弦的中点，可得点在以为直径的圆上，以 为直径作，过点作直线于 ，交 于，则上到直线上最短的距离是 ，则可得 即的面积最小，根据一次函数的性质，求得， 根据勾股定理可得 ，再根据的半径为2，可知， ， ，由等积法可求得，，根据可求得面积最小是． 【详解】解：连接，如图， 点为弦的中点，，，点在以为直径的圆上， 以为直径作，过点作直线于，交于，则上到直线上最短的距离是， 此时，即的面积最小，当时，，则 ， 当时，，解得，则，，， ∵的半径为2，∴，， 由等积法可知：∴ ∴，∴，即的面积最小是，故选：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数的性质和等积法等知识点，属性相关性质是解题的关键． 例3．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形为正方形，P是以边为直径的上一动点，连接，以为边作等边三角形，连接，若，则线段的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接，通过证明，得出，从而得出点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动；则当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值，易证为等边三角形，求出，即可求出． 【详解】解：连接、，将绕点B逆时针旋转得到，连接， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴，， ∵为等边三角形，∴，， ∴，即， 在和中，，∴， ∵，四边形为正方形，∴，则， ∴，∴点Q在以点为圆心，为半径的圆上运动； ∴当点O，，P三点在同一直线上时，取最大值， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，，  ∴为等边三角形，∴， ∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质． 例4.（23-24九年级上·河南漯河·期末）如图，已知正方形的边长为3，点P在以点C为圆心，半径为2的上运动，同时点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，连接，则的最大值是 ． 【答案】5 【分析】连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E．根据正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质求出的长度，根据三角形三边关系确定当点Q与点E重合时，取得最大值，最后根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：如下图所示，连接，以A为圆心，以为半径画圆，延长交于E． ∵正方形的边长为3，的半径为2，． ∵点P绕点D按逆时针方向旋转，得到点Q，．． ∴，即． ∴．．． ∵P是上任意一点，∴点Q在上移动．∴． ∴当点Q与点E重合时，取得最大值为．．故答案为：5． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，角的和差关系，全等三角形的判定定理和性质，三角形三边关系，线段的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键． 例5．（2024·江苏南通·校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将线段DE绕点D顺时针方向旋转90°并缩短到原来的一半，得到线段DF，连结AF，则AF的最小值是 ．    【答案】 【分析】通过证可得，由勾股定理可得，根据三角形三边关系求AF的最小值即可； 【详解】解：如图，取CD中点G，连接AE、GF、AG，    ∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠GDA=90°， ∵∠GDF+∠FDA=90°，∠FDA+∠ADE=90°，∴∠GDF=∠ADE， ∵，∴，∴， 又AE=1，解得，由勾股定理可得，， 由三边的关系可得，AF的最小值为：AG-GF=；故答案为：. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系，掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键. 例6．（2024·江苏无锡·校考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，即（定长）， ∵点是定点，是定长，∴点在半径为的上， ∵，∴的最大值为，故答案为：． 例7．（23-24九年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，，∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∵轴轴，，∴， ∵，∴，∴，即，解得， 同理可得，，∴，即，解得， ∴，∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 例8．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．(1)已知，，，其中．若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②或(2) 【分析】（）根据新定义找出关键点的旋转后连接即可；同上理分情况讨论即可； （）画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，易得且相似比为，再移动图形即可求出；本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 如图：当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 综上所述：或； （2）如图，画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为， 点分别绕点顺时针旋转得到，分析可知且相似比为， 可得圆的半径均为，随意转动图，可得． 1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（    ）    A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，    ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴，∴，∴， ∵点M为中点，点A为中点，∴是的中位线，∴； 在中，，∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵，∴的最小值为，∴的最小值为3，故选A． 另解：取BO的中点为Q（-3,0），根据中位线可确定， 故点M为以Q为圆心，MQ为半径的圆上运动，故AM的最小值为AQ-MQ=3 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2023·山东青岛·二模）如图，已知正方形的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将绕点D按逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 此题是正方形的性质，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是确定最小时，F在线段上，是一道中等难度的试题． 根据题意先证明，则，根据三角形三边关系得：，即，可知：当F在上时，最小，所以由勾股定理可得的长，可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， ∴当F在上时，最小， ∵正方形的边长为4， ， 的最小值是； 故答案为：B． 3．（2024·浙江·一模）如图，在矩形中，，是线段上一动点，点，绕点逆时针旋转得到点，，若在运动过程中的度数最大值恰好为，则的长度为 ． 【答案】 【分析】根据点与圆的位置关系，由，得到，根据，得到，结合，得到，由旋转的性质可得，根据可以取最大值3，即可求解， 本题考查了旋转的性质，矩形的性质，点与圆的位置关系，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是：根据的最大值，得到的最大值． 【详解】解：作中点，中点，分别以、为圆心画圆，连接、，， 由旋转的性质，矩形的性质，可得：，， 在旋转的过程中当时，， ∵，∴，即：， ∵点在线段上，∴，∴，即， 由旋转的性质可得：，∴， ∴当可以取到最大值3时，的度数最大值恰好为， 当，时，即点与点重合时，， 在中，， 故答案为：． 4．（2024四川成都·校考一模）在菱形中，，以A为圆心2半径作，交对角线于点E，点F为上一动点，连结，点G为中点，连结，取中点H，连结，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，，，取中点，连接和，由圆的性质和菱形的性质可求出的长，利用中位线的性质求出的值，再分析出的运动轨迹，利用三角形三边长的性质可得到，再由勾股定理求出的长代入即可． 【详解】连接，，，取中点，连接和，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴ ∵半径为2，与交于 ∴，为中点 ∴， ∵，分别为，中点 ∴， ∴ ∵，分别为，中点 ∴， ∴ ∵为定点， ∴在以为圆心，以长为半径的圆上运动 ∴ ∴ ∵在中，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题为几何综合题，主要考查了菱形的性质，中位线的性质，圆的性质，三角形的定义，勾股定理等知识点，合理作出辅助线，分析出图形的运动轨迹是解题的关键． 5．（2024·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形边的中点，P是三角形内一点，连接，将线段以A为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义以及和性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等边三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等边三角形的性质求得值即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等边三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等边三角形边的中点，， ∴，， ∴，即， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，，，以点为圆心，长为半径作圆．点为上的动点，连结，作，垂足为，点在直线的上方，且满足，连结，点在上运动过程中，存在最大值为 ． 【答案】 【分析】证明，推出，可得，再根据，求解即可． 【详解】解：如图2中，连接，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 的最大值为． 故答案为： ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 7．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，2为半径作圆，点E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向转转90°得到点F，连接AF、DF，则的最小值是 ． 【答案】5 【分析】连接AE，CF，易证△ADE≌△CDF，所以CF=AE，可知F点在以C为圆心，2为半径的圆上运动，作出运动轨迹，在CD上截取CM=CF=1，利用相似可得FM=DF，当A、F、M三点共线时，AM的长度即为的最小值. 【详解】如图，连接AE，CF， ∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°， ∴∠ADE=∠CDF 在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS） ∴CF=AE， ∴F点在以C为圆心，2为半径的圆上运动， 如图所示，以C为圆心，2为半径作圆C， 在CD上截取CM=CF=1， ∵，， ∴ 又∵∠FCM=∠DCF ∴△CMF∽△CFD ∴，即 ∴ 当A、F、M三点共线时，AM的长度即为的最小值， 在Rt△ADM中，AD=4，DM=CD-CM=3， ∴ 故答案为5. 【点睛】本题考查圆中的线段最值问题，找到F点的运动轨迹，利用相似将DF转化为FM是解决本题的关键，本题难度较大，属于“阿氏圆”模型，需要较强的几何功底. 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，点A，C，N的坐标分别为，以点C为圆心、2为半径画，点P在上运动，连接，交于点Q，点M为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理，的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．熟练掌握弦中点，连接圆心与中点，明确点的运动轨迹是解题的关键． 如图，连接，由垂径定理可得，，则在以为直径的上运动，如图，连接交于，当三点共线时，线段的值最小，由勾股定理得，，根据线段的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点M为线段的中点， ∴由垂径定理可得，， ∴在以为直径的上运动，如图，连接交于， ∴当三点共线时，线段的值最小， ∴的半径为， 由勾股定理得，， ∴线段的最小值为， 故答案为：3． 9．（2024·湖北·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD， 即OM的最大值为； 故答案为． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键，也是难点． 10．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在矩形中，，，是矩形左侧一点，连接、，且，连接，为的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要是考查了点到圆的最值，勾股定理，三角形的中位线定理．延长到点，使，取中点，连接并延长交于点，取中点，连接，则，利用勾股定理求得的长，则可得的最大值，利用中位线定理可得的最大值． 【详解】解：延长到点，使，取中点，作为直径的，连接并延长交于点，取中点，连接， 矩形， 四边形为矩形， 则， 点为中点，点为中点， 为中位线， ，， ， 为圆上一动点， 当点三点共线时，， 此时为最大值， 的最大值为． 故答案为：6． 11．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质和一次函数的性质．连接，如图，根据垂径定理得到，则利用圆周角定理可判断点在以为直径的圆上（点、除外），以为直径作，过点作直线于，交于、，如图，先利用一次函数解析式确定，，则，接着证明，利用相似比求出，则，，由于当点与点重合时，最大；点与点重合时，最小，然后计算出和可得结论． 【详解】解：连接，如图， 点为弦的中点， ， ， 点在以为直径的圆上（点、除外）， 以为直径作，过点作直线于，交于、，如图， 当时，，则， 当时，，解得，则， ， ， ， ， ，， ， ，即，解得， ，， ，， 当点与点重合时，最大；点与点重合时，最小， 面积的最大值为28． 故答案为：28． 12．（2024·浙江金华·二模）如图，在正方形中，，，以点为直角顶点作等腰直角三角形（为顺时针排列），连接，则的长为 ，的最大值为 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形从而确定点的运动轨迹是解题的关键． 如图所示，连接，先证明，，进而证明得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，故当三等共线，最大，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，∵四边形是正方形，∴，， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴点在以点为圆心， 为半径的圆上运动， ∴当三等共线时，最大，∴的最大值为； 故答案为：， ． 13．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形为矩形内一点，且，若点绕点逆时针旋转到点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，点P为矩形内一点，且，所以点P在的劣弧上运动，根据点绕点逆时针旋转到点，所以，，则，所以当最小时，最小，然后连接，交于P，此时，最小，则也最小，最后过点O作于E，交延长线于F，利用勾股定理求出，的长，从而求得，即可求解． 【详解】解：在矩形外，以边为斜边作等腰直角三角形，，再以点O为圆心，为半径作，如图，    ∵点P为矩形内一点，且，∴点P在的劣弧上运动， ∵点绕点逆时针旋转到点，∴，， ∴∴当最小时，，连接，交于P，此时，最小，则也最小， 在中，∵，，∴，∴， 过点O作于E，交延长线于F，∴， ∵，，∴ ∵矩形∴∴∴四边形正方形， ∴，∴， 在中，由勾股定理，得， ∴∴，故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出取最小值的点P位置是解题的关键． 14．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形，，， 是的中点，，， 由旋转得：，， ，的值最小为．故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 15．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，点是半径为4的上一动点，连接，点是的中点，当点落在线段上时，则的长度为 ；若点在上运动，当取最大值时，的长度是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质、三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理，由含角的直角三角形的性质可得，得出，即可得出的长，取的中点，连接、、，则，由三角形中位线定理可得，由即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，，，，， 点是半径为4的上一动点，， 当点落在线段上时，， 点是的中点，； 如图，取的中点，连接、、， ， 在中，，，， 点是的中点，是的中位线，， ，，的最大值为，故答案为：，． 16．（23-24福建福州九年级上学期月考数学试题）如图，正方形中，，是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点，为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】中，点是定点，，是动点，在线段上，想到将军饮马，在以为直径的圆上，最终转化为点圆最值问题． 【详解】解：连接，以为一条边在右侧作正方形，则， ，点在以为直径的圆上运动， ，，，，， 的最小值为，故答案为：．    【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，直角所对的弦是直径、点圆最值问题，关键是找出定点和动点，以及动点在什么图形上运动． 17．（23-24九年级上·天津·阶段练习）（1）如图①，锐角中，，，的平分线交于点，，分别是和上的动点，则的最小值为 ； （2）如图②，在边长为的菱形中，，是边的中点，若线段绕点旋转得线段，连接，则长度的最小值为 ； （3）如图③，正方形边长为，点在边上，．以点为圆心，长为半径画，点在上移动，将绕点逆时针旋转90°至，连接，在点移动过程长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据是的平分线，可得，再根据锐角三角函数的定义即可求解； （2）作于点，根据题意，在的运动过程中，在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知，此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数的关系求出的长即可； （3）由“”可证≌，得到，点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，则当在对角线的延长线上时，最大，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．是的平分线，， 是点直线得到最短距离（垂线段最短）， ，，， 的最小值是，故答案为：； （2）如图，作于点， 是边的中点，，线段绕点旋转得线段，， 菱形中，，， 在中，，，则， 在中，， 当在上时，最小，则长度的最小值是：，故答案为：； （3）当点在对角线的延长线上时，最大，连接， 由旋转得：，，即， 四边形是正方形，，，即，， 在和中，，≌，， 在中，，由勾股定理得：， ，长度的最大值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识并结合分析问题． 18．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在矩形中，，在平面内有一点，，过点作于点，且，连接为线段上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由，，可知，则点为动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；点轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；点为动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；如图所示，则的最小值转化为定点到定点的距离减去，求出，代值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，由，，可知，则点为动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动； 由，点为主动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动， 点为从动点，且在点的运动过程中，（定比），（定角），根据瓜豆原理得到点轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动； 点为动点，轨迹是以为圆心、为半径的圆上运动；如图所示： 的最小值转化为定点到定点的距离减去， ，， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及动点为圆、瓜豆原理得动点轨迹、勾股定理等知识，根据题意，准确得到各个动点的轨迹是解决问题的关键． 19．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转90°，得到点，称点为点的反转点．已知的半径为1．(1)如图，点，，点在上，点为点的反转点． ①当点的坐标为时，在图中画出点；②当点在上运动时，求线段长的最大值； (2)已知点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 【答案】(1)①见解析，②(2)4 【分析】（1）①根据新定义画出的点，即可，②根据定义，将作点关于的对称点为，将点，绕点,逆时针旋转得到，以为圆心，1为半径作圆，结合图形可知的最大值为，根据点到圆的距离即可求解．（2）根据位似变换的性质，旋转的性质，找到点的轨迹，根据点到圆的距离即可求解． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求， ②如图，点，，作点关于的对称点为，将点，绕点,逆时针旋转得到，以为圆心，1为半径作圆， 则当点在上运动时，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， ∴线段长的最大值为；∴，∴最大值为； （2）如图，依题意，作出点关于点的对称点，， ∵点在上运动，所以是以为位似中心，位似比为的位似图形， ∴的半径为,根据题意，点在第四象限，作点的反转点，即将绕点逆时针旋转， 根据旋转的性质可得的半径不变，为，∴线段长的最大值为，最小值为，   ∴最大值和最小值的差为． 【点睛】本题考查了位似变换，旋转的性质，根据题意画出图形是解题的关键． 20．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时， 易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案： （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中，，∴，∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小， ， 由题意得：，，，， ∴由勾股定理得：， ∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大， ， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴、、在同一直线上， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$