专题12 解直角三角形之新定义模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题12 解直角三角形之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 【知识储备】 模型1、新定义模型 此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 图1 图2 2）余弦定理：如图2， ． 3）正弦面积公式：如图2，. 4）同角三角函数的基本关系式:，。 5）和（差）、二倍角角公式： ; . ; . . 例1．（2023·宁夏·校考三模）阅读下列材料，并解答后面的问题． 在学习了直角三角形的边角关系后，小颖和小明两个学习小组继续探究任意锐角三角形的边角关系：在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c． （1）小明学习小组发现如下结论： 如图1，过A作AD⊥BC于D，则sinB=，sinC=即AD=csinB，AD=bsinC，于是_____=______即，同理有， 则有 （2）小颖学习小组则利用圆的有关性质也得到了类似的结论：     如图2，△ABC的外接圆半径为R，连结CO并延长交⊙O于点D，连结DB，则∠D=∠A， ∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC=90°， 在Rt△DBC中， ∵，∴， 同理：，则有 请你将这一结论用文字语言描述出来: ． 小颖学习小组在证明过程中略去了“”的证明过程，请你把“”的证明过程补写出来． （3）直接用前面阅读材料中得出的结论解决问题：规划局为了方便居民，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一座学校，使它到三个住宅小区的距离相等，已知小区C在小区B的正东方向千米处，小区A在小区B的东北方向，且A与C之间相距千米，求学校到三个小区的距离及小区A在小区C的什么方向？ 例2．（2023春·山西·九年级专题练习）阅读与思考．请仔细阅读并完成相应的任务． 利用我们所学习的三角函数的相关知识可以解决许多关于三角形边长、角度、面积等问题．如图，在锐角中，，，的对边分别是，，过点作于点，则，即，于是．在中，，在中，，，整理得． 任务：(1)__________，__________； (2)已知中，，，所对边分别是，，，，，，求． 例3．（2023·山西·九年级统考期中）阅读下列内容，并解答问题：三角形的一个面积公式 小明喜欢通过多渠道学习数学知识，一天，他运用网络搜索学会了一个三角形面积公式，这个公式叙述如下：在中，已知，，，则的面积为. 请你完成以下活动：问题探究：（1）如图1，已知是锐角三角形，，，，请证明上述三角形面积公式仍然成立； 问题解决：（2）如图2，在中，，，.则的面积是______.       例4．（2023春·广西南宁·八年级校考阶段练习）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦－秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：如图，在中，点E是边上一点，连接，，，，．    任务一：请你用海伦－秦九韶公式求的面积．任务二：求的面积． 例5．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例6．（2022春·全国·九年级专题练习）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①；②；③．利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函