专题11 解直角三角形之实际应用模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题11 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【重要模型】 模型1、背靠背模型 图1 图2 图3 【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键. 【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB； 如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。 例1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．       例2、（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为 米．（结果精确到米）（参考数据：，，） 例3．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．（1）填空：_______度，______度； （2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：) 例4．（2023年山东省聊城市中考数学真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）    模型2、母子模型 图1 图2 图3 图4 【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 【重要等量关系】如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见． 活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）    例2.（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米． （参考数据：） (1)求A、B