精品解析：甘肃省陇南市西和县2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

九年级第一学期学习评价 数学（2） 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 解方程最合适的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 6. 若函数的图象上有两点、，则（ ） A. B. C. D. 、的大小不确定 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 9. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题．（每题4分，共24分） 11. 将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为________________． 12. 已知是关于x的一元二次方程，则a的值为______． 13. 如图，将绕点O顺时针旋转得到，若，，则的度数为_______． 14. 若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则二次函数的对称轴为__________． 15. 若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为______． 16. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的序号有_______． 三．解答题：本大题6个小题，共46分 17. 解方程：． 18. 如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积． 19. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 20. 画出二次函数的图象并利用图象回答： （1）方程的根是________________； （2）函数值大于0时，x的取值范围是________________． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出； （2）画出关于原点对称的； （3）画出绕原点O顺时针旋转后的． 22. 如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． （1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ （2）矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 四．解答题：本大题5小题，共50分 23. 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 　　． （2）已知的中点值是，其中一个根是，求的值． 24. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为元/盒，销售价为元/盒时，每天可售出盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒，针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售单价为元时，每天的销售量为_____盒，每天盈利______元； （2）若在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 25. 在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长． 26. 综合与探究 （1）如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； （2）求的度数； （3）如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 27. 已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． （1）求b，c的值； （2）P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一学期学习评价 数学（2） 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可，轴对称的图形的关键是确定对称轴，中心对称图形的关键是确定对称中心． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 3. 已知是方程的一个根，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，先由是方程的一个根，得出，再计算式子，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标为求解，即可解题． 【详解】解： 点关于原点对称的点的坐标为， 故选：B． 5. 解方程最合适的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再提取公因式即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴最合适的方法是因式分解法， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 6. 若函数的图象上有两点、，则（ ） A. B. C. D. 、的大小不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．先判定二次函数的对称轴与开口方向，再利用二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴函数的图象开口向上， ∴时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 8. 二次函数的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的最值，把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 【详解】二次函数可化为：，且开口向上， 二次函数的最小值为． 故选：D． 9. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二．填空题．（每题4分，共24分） 11. 将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则“左加右减，上加下减”，按照题意求出表达式即可得到答案，熟练掌握求函数图象平移的方法是解决问题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为， 故答案为：． 12. 已知是关于x的一元二次方程，则a的值为______． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，且，然后求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，且． 解得． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 13. 如图，将绕点O顺时针旋转得到，若，，则的度数为_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，若， ， ， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则二次函数的对称轴为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用． 根据两根之和公式可以求出对称轴公式． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴， ∴二次函数的对称轴为． 故答案为：． 15. 若方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长，则该三角形斜边上的中线长为______． 【答案】6.5## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而得到，再利用勾股定理得到该三角形斜边长，最后根据直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解： ，， ， 方程的两根恰好是一直角三角形的两条直角边长， 该三角形斜边长为， 该三角形斜边上的中线长为， 故答案为：6.5． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质． 16. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的序号有_______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据点和点坐标即可得到对称轴，得到抛物线的对称轴为直线；再根据开口方向以及对称轴得到，，即可判断①错误；由函数图像可知，当时，抛物线的函数图像在轴上方，即可判断③；根据开口方向以及对称轴，即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ， 抛物线与x轴交于点和点， 抛物线对称轴为直线，故②正确； ， 故，故①错误； 由函数图像可知，当时，抛物线的函数图像在轴上方， 故当时，，故③正确； 抛物线对称轴为直线且开口向下， 故当时，y随x的增大而减小，故④错误； 故答案为：②③． 三．解答题：本大题6个小题，共46分 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 18. 如图，矩形和矩形关于点D中心对称，已知，，求阴影部分的面积． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了中心对称的性质、矩形的性质，熟练掌握中心对称的性质、矩形的性质是解题的关键． 利用中心对称图形和矩形的性质得出，，且，进而计算求解即可． 【详解】解：∵矩形和矩形关于点D中心对称， ∴，，且， ∴， ∴． 19. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】 证明： ， ∴， 无论取何值，方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确记忆根的判别式是解题的关键． 【详解】略 20. 画出二次函数的图象并利用图象回答： （1）方程的根是________________； （2）函数值大于0时，x的取值范围是________________． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象，学会利用图象法解方程和不等式是解题的关键． （1）先画出二次函数的图象，根据二次函数与x轴的交点，即可求解方程的根； （2）当函数值大于0时，图象在x轴的上方，结合图象即可得到x的取值范围． 【小问1详解】 解：列表得： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 在坐标系描出点，，，，，再用平滑的曲线连接它们，如图则二次函数的图象为所求； 由图象得，二次函数与x轴的交点为和， 方程的根是，． 故答案为：，． 【小问2详解】 当函数值大于0时，图象在x轴的上方， 由图象得，x的取值范围是或． 故答案为：或． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）画出； （2）画出关于原点对称的； （3）画出绕原点O顺时针旋转后的． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的作图——旋转变换，熟练掌握坐标系中的旋转变换，根据题意准确画出图形是解题的关键． （1）依据点A、B、C的坐标，画出即可； （2）依据中心对称的性质，即可画出关于原点对称的； （3）依据旋转的性质，即可画出绕原点O顺时针旋转后的． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完． （1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？ （2）矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米． 【答案】（1）AB的长为8厘米或12厘米． （2）150 【解析】 【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， ∴都符合题意， 答：AB的长为8厘米或12厘米． 【小问2详解】 解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有： ， ∵，且， ∴当时，S有最大值，即为； 故答案为：150． 【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系． 四．解答题：本大题5小题，共50分 23. 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 　　． （2）已知的中点值是，其中一个根是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的中点值的定义计算； （2）利用方程的中点值的定义得到，再把把代入计算出的值，然后计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程的中点值为； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， 把代入得，解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 24. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为元/盒，销售价为元/盒时，每天可售出盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒，针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售单价为元时，每天的销售量为_____盒，每天盈利______元； （2）若在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 【答案】（1）； （2）每盒茶叶降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据“如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”即可求解； （2）设每盒茶叶降价x元，依题意得．据此即可求解． 【小问1详解】 解：当销售单价为元时，每天的销售量为：（盒）， 每天盈利：（元）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每盒茶叶降价x元，依题意得： ． 解得：，． ∵需要让利于顾客， ∴取． ∴每盒茶叶降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元． 25. 在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD=2.6m．求OD的长． 【答案】（1）；（2）OD=1m． 【解析】 【分析】（1）设（），将A（0，3）代入求解即可得出答案； （2）把代入（1）所求得的解析式中，解方程求出，即可得出OD的长． 【详解】（1）设（）， 把A（0，3）代入得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）①把代入， 化简得， 解得（舍去），， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及能将实际问题转化为二次函数问题求解． 26. 综合与探究 （1）如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； （2）求的度数； （3）如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解： 且． 理由如下： ， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． （1）利用证明即可解答； （2）根据全等三角形的对应角相等结合三角形的外角的性质推出即可； （3）利用证明即可得到，再根据角的和差以及等量代换即可证明． 【小问1详解】 解：在和中： ， ∴， 故答案为． 【小问2详解】 解：， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 略 27. 已知抛物线与x轴相交于，B两点，与y轴相交于点． （1）求b，c的值； （2）P为第一象限抛物线上一点，的面积与的面积相等，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，设E是直线上一点，点P关于的对称点为点，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）得到，即可求解； （3）由题意的：，即可求解． 【小问1详解】 由题意，得 【小问2详解】 由（1）得抛物线的解析式为． 令，则，得． ∴B点的坐标为． ， ∴． ∵， ∴直线的解析式为． ∵， ∴可设直线的解析式为． ∵在直线上， ∴． ∴． ∴直线的解析式为． 【小问3详解】 设P点坐标为． ∵点P在直线和抛物线上， ∴． ∴． 解得（舍去）． ∴点P的坐标为． 由翻折，得． ∵， ∴'． ∴． ． 设点E的坐标为，则． ． 当时，点E的坐标为． 设, 由，得： ， 解得：， 则点的坐标为． 当时，同理可得，点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $