精品解析：吉林省长春市长春北湖学校2024-2025学年 八年级上学期 第二次阶段性评价数学学科试卷

长春北湖学校2024-2025学年度八年级上学期 第二次阶段性评价数学学科试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在，，0，2这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据实数大小比较的基本原则解答即可． 本题考查了实数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键． 【详解】解：由， 得， 故最大的数是， 故选：B． 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，该选项计算错误，不符合题意； B、，故该选项计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选： B． 3. 如图，，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，求出的长是解题的关键． 根据勾股定理求出，再根据数轴与实数的关系解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴数轴上点表示的数为， 故选： B． 4. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是（ ） A. SAS B. HL C. ASA D. AAA 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，判断△ABC≌△EDC的依据即可． 【详解】解：∵证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∴用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 5. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：， ， 即， 故选：A． 6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的面积是（　　） A. 150 B. 120 C. 80 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据作图过程可得平分，再根据角平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，过点G作于点H， 由作图过程可知平分， ∵∠C＝90°， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质定理．正确作出辅助线是解题关键． 7. 如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长为8，且，则AB的长为（ ） A. 6 B. 5.5 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到AE=BE，从而可得△BCE的周长为BC+AC，从而求出AC，根据AB=AC即可得出结论． 【详解】解：∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵△BCE的周长=BE+EC+BC， ∴△BCE的周长=AE+EC+BC =BC+AC， ∵△BCE的周长为8，且， ∴AC=8-3=5， ∵AB=AC， ∴AB=5， 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 8. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，斜边长为c．若，，则的值为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值． 根据勾股定理可知，再根据，，即可得到a、b的值，即可解答． 【详解】解：由图可得， ， ∴且a、b均大于0 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 10. 计算的结果等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 11. 用反证法证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”的第一步是_______________________． 【答案】假设这个三角形是直角三角形 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：用反证法证明命题“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”， 证明的第一步是假设这个三角形是直角三角形， 故答案为：假设这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 12. 如图，是边上的两点，且，则的度数为_______． 【答案】##120 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形的外角的性质，根据等边三角形的性质，得，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得，从而求解，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴是等边三角形，， ， 又∵，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为__________． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转，得到，等边对等角，求出的度数，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则D为中点； ④当为等腰三角形时，． 正确的有_________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角性质，计算各角的度数是解题的关键． ①根据三角形外角的性质即可得到； ②当时，； ③根据，得，根据等腰三角形的性质得到为中点； ④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴由三角形内角和定理知：，故①正确； ②∵， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴D为中点，故③正确； ④∵， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴或， 当时，， ∵， ∴， 当时，， ∴， 故④不正确． ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式的法则将原式展开，再合并同类项即可； （2）先例用多项式除以单项式的法则将原式展开即可． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式． 16. 因式分解： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练的进行计算是解题的关键． 先利用完全平方公式，平方差公式进行化简，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：原式， ， ， 当时，原式． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，画的高线； （3）在图③中，在边上找一点，连接，使得平分的面积． 【答案】（1） 如图，或都是满足条件的等腰直角三角形． （2） 如图所示,即为所求； （3） 如图所示,即为所求． 【解析】 【分析】本题考查基本作图，等腰三角形的性质、中线的定义、高线的定义，解题的关键是能综合运用这些知识点． （1）根据等腰三角形的定义，作图即可； （2）根据高线定义，作图即可； （3）根据长方形的性质结合三角形中线的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知：如图，点在上，点在上，和相交于点，，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，根据，可证． 【详解】略 20. 求值 （1）已知，求的值；（用含、的代数式表示） （2）已知．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同体数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆运用同底数幂的乘法解答即可； （2）逆运用同底数幂的除法，幂的乘方解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 21. 如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． （1）求四边形的周长； （2）连结，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键． （）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得是等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：，，，， ∴； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，． 22. 【教材呈现】：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点． 求证：． 请写出完整的证明过程：… （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在△中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，已知△的周长为15，则的长为___________； （3）如图③，在△中，，，、分别是、上任意一点，若，则的最小值是__________． 【答案】 （1）证明：， ， ，， ， ； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及线段垂直平分线的性质及应用，对称变换，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，，，可证，即得； （2）根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，而的周长为，故，即； （3）连接，过作于，交于，由，，可得，由勾股定理得，可求；根据，，有，故，当共线时，，若，则最小，此时与重合，与重合，的最小值即为的长，又，解得，从而得的最小值是． 【详解】解：（1）略 （2）是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ，即， 故答案为：； （3）连接，过作于，交于， 如图： ，， ， ， ，在中，，； ，， 是线段的垂直平分线， ， ， 当共线时，， 若，则最小， 此时与重合，与重合， 的最小值为的长， ， ， 解得， 的最小值是； 故答案为：． 23. 如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） （2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A． B． C． （3）请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 【答案】（1）； （2）B （3）； 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字作呈现的规律是得出正确答案的关键． （1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积；图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可； （2）由图2、图3面积相等可得答案； （3）将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，图2中的阴影部分的面积可表示为：， 图3中阴影部分的面积可表示为：； 【小问2详解】 解：由图2、图3面积相等得，，  故选： B； 【小问3详解】 解：原式， ， ， ， ∵， ， ∴的个位数字为． 24. 如图，在长方形ABCD中，，．E为AD边上一点，．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示的长； （2）当时，求的面积； （3）①当时，则t的值为______； ②当平分时，则t的值为______． （4）当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意先表示出的长，再用即可表示出的长； （2）将代入由（1）中结果的代数式得出的长，再利用三角形面积公式即可得到本题答案； （3）①根据题意过点作，根据矩形的性质得到的值，即可得到的值，即可得到本题答案；②过点作，，利用角平分线性质及矩形性质得到，再利用三角形面积公式得到的长，继而得到的长，即可得到本题答案； （4）根据等边三角形性质分三种情况讨论，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵，点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动， ∴， ∴， 故答案为∶ ； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴将代入中得：， ∵， ∴的面积为：， 故答案为：； 【小问3详解】 ①解：如图，过点作， ∵四边形是长方形， ∴为长方形， ∵，， ∴， ∴， ∴（秒）； ②解：过点作，，， ∵平分， ∴， ∵四边形是长方形， ∴为长方形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：当是等腰三角形时分三种情况讨论： ①当时， 过点作，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，解得：； ②当时，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， 利用勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查用代数式表示线段长，三角形面积公式，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形定义，全等三角形判定及性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春北湖学校2024-2025学年度八年级上学期 第二次阶段性评价数学学科试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在，，0，2这四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A，再在河的这一边选定点B和F，使AB⊥BF，并在垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，因此证得△ABC≌△EDC，进而可得AB＝DE，即测得DE的长就是AB的长，则△ABC≌△EDC的理论依据是（ ） A. SAS B. HL C. ASA D. AAA 5. 如图，若，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的面积是（　　） A. 150 B. 120 C. 80 D. 60 7. 如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长为8，且，则AB的长为（ ） A. 6 B. 5.5 C. 5 D. 4 8. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，斜边长为c．若，，则的值为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 实数4的算术平方根为_____． 10. 计算的结果等于__________． 11. 用反证法证明“当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形”的第一步是_______________________． 12. 如图，是边上的两点，且，则的度数为_______． 13. 如图，在中，，．将此三角形绕点按顺时针方向旋转后得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数为__________． 14. 如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论： ①； ②若，则； ③当时，则D为中点； ④当为等腰三角形时，． 正确的有_________．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，共72分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 因式分解： （1）； （2）； 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中，画的高线； （3）在图③中，在边上找一点，连接，使得平分的面积． 19. 已知：如图，点在上，点在上，和相交于点，，求证：． 20. 求值 （1）已知，求的值；（用含、的代数式表示） （2）已知．求的值． 21. 如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． （1）求四边形的周长； （2）连结，试判断的形状，并说明理由． 22. 【教材呈现】：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点． 求证：． 请写出完整的证明过程：… （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在△中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，已知△的周长为15，则的长为___________； （3）如图③，在△中，，，、分别是、上任意一点，若，则的最小值是__________． 23. 如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形． （1）在图2中的阴影部分的面积可表示为__________；（写成多项式乘法的形式）在图3中的阴影部分的面积可表示为____________；（写成两数平方差的形式） （2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是____________； A． B． C． （3）请利用所得等式解决下面的问题：计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少． 24. 如图，在长方形ABCD中，，．E为AD边上一点，．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向终点C运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）用含有t的代数式表示的长； （2）当时，求的面积； （3）①当时，则t的值为______； ②当平分时，则t的值为______． （4）当是等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $