等差数列 讲义-2025届高三数学一轮复习

第2节 等差数列 【知识点梳理】 1．等差数列的有关概念 （1）等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． （2）等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 2．等差数列的有关公式 （1）等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． （2）等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 3．等差数列的常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1）通项公式的推广：． （2）在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （3），…仍是等差数列，公差为． （4），…也成等差数列，公差为． （5）若，是等差数列，则也是等差数列． （6）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （7）若项数为偶数，则，；． （8）若项数为奇数，则；；． （9）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 4．等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔(为常数)． 5．等差数列的前n项和的最值 在等差数列中，，则存在最大值；若，则存在最小值． 考点一 等差数列的基本运算 【方法原理】1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d. [提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． 【典型例题】 1.（2022•全国乙卷）记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 2.（2024•新高考2）记为等差数列的前项和．若，，则　　 A． B． C． D． 3.（2018•全国Ⅰ卷）记为等差数列的前项和．若，，则（ ） A． B． C．10 D．12 4.（2019•新课标Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{an}的通项公式； （2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 5.（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和． （1）若，，求的通项公式； （2）若为等差数列，且，求． 【过关检测】 1.在等差数列中，，则　　 A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知等差数列的前项和为，，，则　　 A．25 B．27 C．30 D．35 3.（2024•新高考2）记为等差数列的前项和，若，，则　　． 4.在等差数列中，，公差，若，则的值为 ． 5.已知数列{an}是等差数列,且满足对∀n∈N*,an+an+1=2n,则数列的通项公式an=(　　) A.n B.n-1 C.n- D.n+ 6.在等差数列中，，．记，2，，则数列　　 A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 8.（2021•新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值． 9.（2023•乙卷）记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 考点二 等差数列的判定与证明 【方法原理】 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数对任意的正整数都成立⇔是等差数列 选择、填空中 的判定问题 前n项和公式法 验证为常数)对任意的正整数都成立⇔是等差数列 [提醒]　如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件． 【典型例题】 1.（2021•全国乙卷）记为数列的前项和，为数列的前项积，已知． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式． 2.（2021•甲卷）记为数列的前项和，已知，，且数列是等差数列，证明：是等差数列． 3.若数列的前项和为，且满足，． （1）求证：成等差数列； （2）求数列的通项公式． 4.已知数列满足：且，求证：为等差数列． 【过关检测】 1.已知数列满足：，，设．求证：数列为等差数列，并求的通项公式． 2.若数列的前项和为，且满足，， （1）求证：成等差数列； （2）求数列的通项公式． 3.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n+1，n∈N*．求证：数列为等差数列； 考点三 等差数列的性质及应用 角度1.下标和性质及其推论 【方法原理】1.如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与(或其他项)有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值． 2.若为等差数列，为前项和，则． 3.若，为等差数列，，为前项和，若，有． 【典型例题1】 1.若是等差数列的前项和，且，则＝________，＝________． 2.在数列中，满足且，求值____. 【过关检测1】 1.在等差数列中，若，则　　 A．45 B．6 C．7 D．8 2.已知为等差数列，，，则　　 A．6 B．12 C．17 D．24 3.已知等差数列满足，前项和为，则　　 A．8 B．12 C．16 D．24 4.已知数列为等差数列，，，则　　 A．19 B．22 C．25 D．27 5.记为等差数列的前项和，若，，则　　 A．20 B．16 C．14 D．12 【典型例题2】 1.设，分别是等差数列，的前项和，若，则＝（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 2.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【过关检测2】 1.已知等差数列，的前项和分别为，，且，则　　． 2.等差数列，前项和分别为与，且，则　　 A． B． C． D． 角度2.前n项和的性质 【方法原理】（1）等差数列的项和也构成一个等差数列，即，为等差数列，公差为．（2）若为等差数列，则是等差数列，公差为，且． 【典型例题3】 设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ） A．63 B．45 C．36 D．27 【过关检测3】 1.设是等差数列的前n项和，若，则=（ ） A. B. C. D.2 2.等差数列的前项和为，若则（ ） A.-16 B.-12 C.12 D.16 【典型例题4】 已知等差数列的前项和为，且，则　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【过关检测4】 1.已知是等差数列的前项和，若，，则＝________． 2.等差数列中，，前项和为，若，则　　 A．1011 B．2022 C． D． 3.（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则　　 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 考点四 等差数列前n项和的最值 【方法原理】（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． （2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值； ②若，则满足的项数使得取得最小值． 【典型例题】 在等差数列中，，则数列的前项和的最大值为（ ） A．　　　　　　　B． C．或 D． 【过关检测】 1.（多选）若为等差数列，，，则下列说法正确的是　　 A． B．是数列中的项 C．数列单调递减 D．数列前7项和最大 2.（多选）已知无穷等差数列的前项和为，，且，则（ ） A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大 C． D．当时， 3.（多选）设等差数列的前项和为，若，且，则　　 A．数列为递增数列 B． C．存在正整数，使得 D．存在正整数，使得 4.（多选）等差数列的前项和为，已知，，则　　 A． B．的前项和中最小 C．的最小值为 D．的最大值为0 巩固练习 1.已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是 “”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知等差数列前9项的和为27，，则 A．100 B．99 C．98 D．97 3.已知等差数列的前项和为且，，则　　 A．6 B．9 C．11 D．14 4.已知数列的前项和为，设甲：是等差数列，乙：，则甲是乙的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知数列的前项和为，若是等差数列，且，，则　　 A．1 B． C．10 D． 6.（多选）等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的有　　 A． B． C．数列是递减数列 D．使的的最大值为15 7.记为等差数列的前项和，若，，则 ． 8.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________． 9.已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列；②数列是等差数列；③． 10.（2022•甲卷）记为数列的前项和．已知． （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，求的最小值． 11.已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足， （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求的最小值． 207 学科网（北京）股份有限公司 $$