数列通项公式及性质学案-2025届高三数学一轮复习

数列 第1节 数列通项及性质 【知识梳理】 1.数列的概念 (1)数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. (2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. (3)数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和通项公式法. 2.数列的分类 (1)按照项数有限和无限分:有穷数列和无穷数列. (2)按单调性来分: 3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式:如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 4.常用结论 (1)若数列的前项和为,通项公式为,则 注意:根据求时,不要忽视对的验证. (2)在数列中,若最大,则若最小,则. 考点一 由与的关系求通项 角度1.已知的关系 适用题型:题目中出现关于的等式:一方面可通过特殊值法(令)求出首项,另一方面考虑将等式转化为纯或纯的递推式,然后再求出的通项公式。根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. 方法原理:利用转化为只含的关系式,再求解. 利用转化为只含的关系式,再求解. 考向一 用,得到 【典型例题】 1.已知数列各项均为正数,,求. 2.已知数列的前项和,则{an}的通项公式=_. 3.已知数列满足,,是数列的前项和,对任意,有,求数列的通项公式. 【过关检测】 1.已知数列的前项和,则=_. 2.记为数列的前项和.若,则=_. 考向二 将用替换 【典型例题】 1.已知在数列中,,,则的通项公式为_. 2.设是数列的前项和,且.若对满足,数列的前项和为_. 【过关检测】 1.已知数列的首项, 通项和前项和之间满足,求的通项公式. 2.已知各项均为正数的数列的前项和为,且,(且).求的通项公式; 角度2.已知数列的前n项和 适用题型:形如 方法原理:即为数列的前n项和,利用前n项和与第n项的关系列式计算. 【典型例题】 1.已知数列满足,则=_. 2.已知数列满足求数列的通项公式. 【过关检测】 1.设数列满足,.求数列的通项. 2.设数列满足.求的通项公式. 3.已知数列和满足,,,求与; 4.已知数列中,,对所有,都有,求的通项公式. 考点二 由数列的递推关系求通项公式 角度1.累加法 适用题型:对于递推关系式可转化为的数列,通常采用累加法(逐差相加法)求其通项公式. 方法原理:对于数列有形如的递推式,且的和是可求的,我们可以用同样的方法来求,将递推式变形为 , …… 将各式相加,得 . 【典型例题】 1.设数列中,,,则=_. 2.已知数列满足,,则 . 【过关检测】 1.已知数列满足,,求. 2. 在数列{an}中,已知a1=1,an+1=an+tn(n∈N*,t为非零常数),且a1,a2,a3成等比数列,则an= . 角度2.累乘法 适用题型:对于递推关系式可转化为的数列,并且容易求数列前项的积时,采用累乘法求数列的通项公式. 方法原理:对于数列有形如“”的递推式,且的积是可求的时候,我们可以用同样的方法来求,将递推式变形成 , …… 将各式相乘,得. 易错点提示:利用累乘法,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到,漏掉而导致错误;二是根据连乘求出之后,不注意检验是否成立. 【典型例题】 1.设数列中,,,则=_. 2.已知数列中,,是数列的前项和,且.求数列的通项公式. 【过关检测】 1.若满足,求这个数列的通项公式. 2.已知数列满足,且,则 A. B. C. D. 3.已知数列满足,,求通项公式. 4.已知,数列满足,,求. 角度3.构造法 适用题型:(1)对于递推关系式形如或的数列,采用构造法求数列的通项. (2)形如,此类问题可先处理,两边同时除以,得,构造成 ,设,从而变成,从而将问题转化 易错点提示:利用构造法求解时应注意数列的首项的正确求解以及准确确定最后一个式子的形式. 【典型例题】 1.设数列中,,,则=_. 2.设数列中,,则=_. 3.在数列中,,,.求. 【过关检测】 1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,求数列{an}的通项公式. 2.已知数列满足,,求. 3.在数列中,,求的通项公式. 3.已知数列的前项和为,首项,.求数列的通项公式; 4.设首项为1的数列的前项和为,且,证明:为等比数列. 角度4.取倒法 适用题型:形如:,可以考虑两边同时除以,转化为的形式,可设,递推公式变为,转变为上面的类型求解 【典型例题】 1.设数列中,,,则=_. 2.已知数列中满足,,求数列的通项. 【过关检测】 设数列中,,且,则=_. 考点三 由含与的二次三项式求(因式分解) 【典型例题】 已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.求{an}的通项公式. 【过关检测】 已知数列各项均为正数且满足,求{an}的通项公式. 考点四 和、积数列 适用题型:若数列满足称为和数列,称为积数列. 方法原理:通项公式: ①当时,则,两式相减得:,故是隔项的等差数列,公差为; ②时,则,两式相除得:,故是隔项的等比数列,公比为; 【典型例题】 1.设数列中,,,则=_. 2.已知正项数列的前项和为,且.求数列的通项公式; 3.已知,若为数列的前项和,则_. 【过关检测】 1.(多选)已知首项为1的数列的前项和为,若,则下列说法正确的是 A.数列是等比数列 B.数列为单调递增数列 C. D. 2.已知数列的各项均不为零,为其前n项和,且.求数列的通项公式 3. 已知数列中,,,令.求数列的通项公式. 4.已知各项均为正数的数列的前项和为,,,,则 A.511 B.61 C.41 D.9 考点五 特征根方程法 适用题型:形如 方法原理:构造,则. 【典型例题】 1.已知数列,,.证明:数列,为等比数列. 2.已知正项数列中,,求的通项公式. 【过关检测】 1.已知数列中,,求的通项公式. 2.已知数列满足,,.证明:为等比数列. 3.在数列中,,,且.证明:是等比数列 考点六 数列的性质及应用 角度1 数列的周期性 【典型例题】 1.在数列中,,,则 . 2.数列中,,且,则为( ) A.2 B.1 C. D. 【过关检测】 1.数列满足,若,则等于( ) A. B. C. D. 2.已知数列满足,,,为数列的前项和,则的值为( ) A. B. C. D. 角度2 数列的单调性及最大(小项) 方法原理: 1.解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 2.求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值,根据f(x)的类型作出相应的函数图象,或利用求函数最值的方法,求出的最值,进而求出数列的最大(小)项. (2)通过通项公式研究数列的单调性,利用确定最大项,利用确定最小项. (3)比较法:若有或时,则,则数列是递增数列,所以数列的最小项为;若有或时,则,则数列是递减数列,所以数列的最大项为. 【典型例题】 1.已知等差数列的前n项和为,且,若数列为递增数列,则实数的取值范围为_. 2.已知数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=an,则的最大值为( ) A.-3 B.-1 C.3 D.1 【过关检测】 已知数列的前项和为,,,且,若对任意都成立,则实数的最小值为( ) A. B. C. D. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$