第4章相似三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

第4章 相似三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、图形的相似的概念 形状相同的图形叫做相似图形。 1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到； 2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。 知识点二、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 4）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 知识点三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 知识点四、相似三角形的相关概念 1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 知识点五、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 知识点六、相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 知识点七、位似的概念及性质 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系：位似中心的位置：可能位于两个图形之间，也可能位于两个图形一侧，也可能位于两图形内。 位似中心的确定：根据“对应点的连线都经过位似中心”的特点确定位似中心的位置。 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 1、数学建模——构建方程模型求解 【例题1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图平行四边形中，F为中点，延长至E，使，连接交于点G，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．先设，则，，再用平行四边形的性质得出，进而求出，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是得到，学会设参数，属于中考常考题型． 设，则，，由，得，求出，再由，得，求出，再通过计算即可得结论． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在等边三角形中，是的中点，在上，且，连接相交于点，则的 ． 【答案】/ 【分析】取的中点G，连接，由，设，则，然后表示出，进而表示出，利用勾股定理得到，然后证明出，得到，进而表示出，然后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接 ∵ ∴设，则 ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∵是的中点， ∴， ∴ ∵点G是中点 ∴是中位线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形中位线的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键正确作出辅助线． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期中）如图，中，于点D，于点E，于点F． (1)求证∶ (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型． （1）根据等腰三角形的性质可知，根据相似三角形的判定定理可证明； （2）根据，利用相似三角形的性质定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：， ， 由题意可知：， ； （2）解：设， ， 由（1）可知：， ， ， ． 2、分类讨论思想 【例题2】（24-25九年级上·河北保定·期中）已知，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度，沿运动，时间为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质．根据题意分类讨论是解题的关键． 由勾股定理得，，由题意知，分当在上，在上两种情况求解：当在上时，，则，计算求解即可；当在上时，，则，计算求解即可；当点与点重合时，此时． 【详解】解：由勾股定理得，， 由题意知，分当在上，在上两种情况求解： 当在上时，， 由题意知，， ∴，即， 解得，； 当在上时，， 由题意知，， ∴，即， 解得，； 当点P与点B重合时，此时，， 综上所述，的值为或， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在矩形中，，，，将沿着折叠，若点B的对应点F恰好落在矩形的对角线上，则a的值为 ． 【答案】12或 【分析】如图：当在对角线上，根据矩形的性质及折叠的性质得：、、，进而可在中由勾股定理求出，由，则，据此可在中利用勾股定理构造关于的方程求解即可．如图：当在对角线上，证明，然后根据相似三角形的性质列式即可解答． 【详解】解：①如图：当在对角线上，连接， ∵四边形为矩形， ， 由折叠的性质得：、、， ∵对应点落在矩形的对角线上， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． ②如图：当在对角线上，连接， ∵将沿着折叠，若点的对应点落在矩形的对角线上， ， ∴是的垂直平分线，即， ， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，即，解得：， 综上，的值为12或． 故答案为：12或． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握图形的折叠变换以及运用勾股定理构造方程是解题的关键 【变式3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为秒． (1)___________；（用含的代数式表示） (2)___________；（用含的代数式表示） (3)当在上运动时，若以点、、为顶点的三角形与相似，求的值； (4)设点是的中点，当与的一边垂直时，直接写出的值． 【答案】(1)10； (2)或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）在中，根据勾股定理求出即可； （2）由线段和差关系可求解； （3）依题意得，，则．再根据得，当点、、为顶点的三角形与相似时，有以下两种情况：①当时，②当时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出的值即可； （4）先求出，再分三种情况进行讨论：①当时，②当时，③当时，对于每一种情况利用相似三角形的性质列出比例式求出的值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 故答案为：10． （2）解：由题意得， ∴当点在上时，， 当点在上时，， ∴综上所述：为或． 故答案为：或． （3）解：依题意得：，， 则． ∵， ∴当以点、、为顶点的三角形与相似时，有以下两种情况： 当或时，以点、、为顶点的三角形与相似时， 此时点在线段上运动； 当时，如图1所示 ∵， ∴， ∴， 解得： 当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴当以点、、为顶点的三角形与相似时，的值为或． （4）解：∵点为的中点， ∴． 依题意有以下三种情况： 当时，如图3所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图4所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图5所示 ∵， ∴， ∴， ． ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：． 综上所述：当与的一边垂直时的值为或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，列代数式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理及相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题关键． 热点1：由平行线截得的比例线段 【例题1】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【变式1】（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键 【变式2】（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 【变式3】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 热点2：相似三角形的性质 【例题2】（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形面积的比是， 故选：D． 【变式1】（2023·重庆·中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ）    A．4 B．9 C．12 D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B. 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键. 【变式2】（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 【变式3】（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)_________，_________； (2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)4，2 (2)点的坐标为、 【分析】对于（1），将点A的坐标代入两个关系式，即可得出答案； 对于（2），先求出AO，BO，CO，再确定点D的位置，然后分两种情况和，再根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【详解】（1）将点A（1，4）代入一次函数y=2x+b，得 ， 解得， 一次函数的关系式为； 将点A（1，4）代入反比例函数，得 ， 反比例函数的关系式为． 故答案为：4，2； （2）点A与点C关于原点对称，可知点C的坐标是（-1，-4）． 当x=0时，y=2， ∴点B（0，2）， ∴OB=2． 根据勾股定理可知． 当点落在轴的正半轴上，则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， 则. ∵， ∴， ∴； 若，则． ∵，， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为、． 【点睛】这是一道关于一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求关系式，相似三角形的性质和判定等． 热点3：相似三角形的判定与性质的综合运用 【例题3】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据可得，从而得到，再根据得到，从而得到，最后得到即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，掌握相似三角形的性质及判定方法是解决本题的关键． 【变式1】（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 【变式2】（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    【答案】/0.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 热点4：位似图形 【例题4】（2020·河北·中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】A 【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案． 【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形． 故选：A 【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形． 【变式1】（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 【变式2】（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：根据题意，与关于原点位似，且相似比为， 则， ∵点A的坐标为， 则的坐标为 故答案为：． 【变式3】（2023·吉林长春·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．      【答案】 【分析】根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 设周长为，设周长为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． ． 和的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质． 一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质可得，再结合四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵ 四边形 四边形 ， ， ∴， ∵，， ∴； 故选：D 2．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 由，得，由，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解:∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为， 故选：A． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若，相似比为，且的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．16 D．32 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方成为解题的关键． 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为8， ∴的面积为2． 故选A． 4．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似中心、坐标与图形等知识． 根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．据此进行解答即可． 【详解】解：如下图， 点即为所求的位似中心． 故选：D． 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似多边形的性质，根据位似图形的性质、相似多边形的性质判断即可；掌握位似图形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴ ∴与的相似比为，，故①正确，②错误； ∴，，故③正确，④错误． 故正确的个数是个， 故选：B． 6．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，已知，添加下列条件后仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似，逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， A、若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； B、若，根据两角分别对应相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； C、若，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定，此选项不符合题意； D、若，无夹角相等，故不能判定，此选项符合题意； 故选：D． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位线的性质和位似图形的判定与性质．通过中位线的性质得出，再证明，得出相似比为，即可得到，从而得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解： 是的中位线，是的中位线， ，， ，，， ， ∴与位似，点O为位似中心， ， 相似比为， ， ， ， 故选：B． 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，，若，，则的长为（    ） A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．先证，再根据，得出，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ． ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， 故选：C． 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 由平行易证，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴与周长之比为， 故选：C． 10．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在正方形中，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，延长交于点M，连接．下列结论错误的是（   ） A．是直角三角形 B． C．当点M与点C重合时， D．平分正方形的面积 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，，，由“”可证，可得，由平角的性质可求，故选项A，B正确；如图1，设，则，通过证明，可求，可得，故选项C正确；当点F与点D重合时，直线不平分正方形的面积，故选项D错误，即可求解． 【详解】∵四边形是正方形， ，， 为的中点， ， 由翻折可知：， ， ， ，故选项B正确； ， ， ， 是直角三角形，故选项A正确； 如图，当点M与点C重合时，设，则， ， ， ． ， ， ， ， ， ，故选项C正确； 如图，当点F与点D重合时，显然直线不平分正方形的面积，故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质等知识． 二、填空题 11．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，，，，，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，利用两组对应角相等的两个三角形相似得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：，， ， ，即， 解得，， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为了测量操场上旗杆的高度，数学兴趣小组测得小张在操场上的影长恰好等于他的身高．此时，数学兴趣小组又测得旗杆的影长为，则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．根据在同一时刻身高与影长成比例得出比例式，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∵，， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 根据题意可得位似比为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，先求出，再根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】∵，，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点是位似中心，已知点A，B的坐标为，，点F的坐标为，则点H的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、正方形的性质，由题意可得正方形与正方形的相似比为，结合正方形的性质求出，即可得解． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点是位似中心，点F的坐标为， ∴正方形与正方形的相似比为， ∵点A，B的坐标为，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点H的坐标为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为 ． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关键．作，交于点，得到，，问题得解． 【详解】解：作，交于点， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了利用相似比求面积，平行四边形的性质，理解相似比的特征是解决本题的关键．根据题意可得：，根据相似的性质可得：，且，即可求得的面积为． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割点，黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这样的点为黄金分割点，其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解，掌握黄金分割点的定义是解题的关键． 【详解】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，则， ，之间的距离为， 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例线段∶对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等如 (即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设，则，， ∴，则， 解得，     ∴，    ． （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴，     解得：或(不符合题意，舍去)． ∴． 20．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、梯形的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定是解题的关键． （1）由已知得出，由平行线得出，得出，证出，得到相似三角形，继而得出，即可得出结论； （2）由平行线得出，，得出，证出，由平行四边形的性质得出，由已知，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴ ， 四边形是平行四边形； （2）证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 21．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）由勾股定理求出的长，根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 本题考查了，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴，， ∴， ∴； 又∵， ∴， （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴，解得：． 22．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，点在线段上，，且． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)17 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形的性质得到，再证明，即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，进一步求出，即可求出的周长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 的周长为17． 23．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过作交于点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案； （2）如图，过作交于点，，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，过作交于点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 24．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 【答案】(1) (2)见解析， (3)与的面积比为 【分析】（1）根据图形写出坐标即可； （2）取 DE的中点 M，DF的中点 N，连结 MN，则就是以 D 为位似中心，的位似图形，且 与 的相似比为 ； （3）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，由图知，M、N两点的坐标分别为． （3）解：∵，， ∴． 同理可求：，， ∴， ∴， ∴与的面积比为． 【点睛】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，位似作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 25．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ， 又， ，， ， 即，， 解得：， 答：路灯的高度为． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定及性质． （1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可； （2）利用条件证明，，由（1）知，，设，则，，由得，，（负值舍去），； （3）利用相似转化线段之间的关系，设，根据，得，，由，得到，，最后代入． 【详解】解：（1）， ， ， 同理， ， ； （2）解：∵恰好将三等分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， 设则， 由得，， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）中结论知，， 设， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 相似三角形（核心素养提升+中考能力提升+过关检测） 知识点一、图形的相似的概念 形状相同的图形叫做相似图形。 1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到； 2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。 知识点二、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 4）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 知识点三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 知识点四、相似三角形的相关概念 1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 知识点五、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 知识点六、相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 知识点七、位似的概念及性质 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系：位似中心的位置：可能位于两个图形之间，也可能位于两个图形一侧，也可能位于两图形内。 位似中心的确定：根据“对应点的连线都经过位似中心”的特点确定位似中心的位置。 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 1、数学建模——构建方程模型求解 【例题1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图平行四边形中，F为中点，延长至E，使，连接交于点G，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，在等边三角形中，是的中点，在上，且，连接相交于点，则的 ． 【变式3】（24-25九年级上·全国·期中）如图，中，于点D，于点E，于点F． (1)求证∶ (2)若，求的长． 2、分类讨论思想 【例题2】（24-25九年级上·河北保定·期中）已知，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度，沿运动，时间为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·期中）如图，在矩形中，，，，将沿着折叠，若点B的对应点F恰好落在矩形的对角线上，则a的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动．当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为秒． (1)___________；（用含的代数式表示） (2)___________；（用含的代数式表示） (3)当在上运动时，若以点、、为顶点的三角形与相似，求的值； (4)设点是的中点，当与的一边垂直时，直接写出的值． 热点1：由平行线截得的比例线段 【例题1】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 【变式2】（2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【变式3】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 热点2：相似三角形的性质 【例题2】（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2023·重庆·中考真题）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ）    A．4 B．9 C．12 D． 【变式2】（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为 ． 【变式3】（2022·江苏镇江·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)_________，_________； (2)连接并延长，与反比例函数的图像交于点，点在轴上，若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 热点3：相似三角形的判定与性质的综合运用 【例题3】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，相交于点，，是的中点，，交于点．若，则的长为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    【变式3】（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 热点4：位似图形 【例题4】（2020·河北·中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【变式1】（2023·四川遂宁·中考真题）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2024·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，相似比为，点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式3】（2023·吉林长春·中考真题）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．      一、单选题 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，在中，，，分别是边，，上的点，且，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若，相似比为，且的面积为8，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．16 D．32 4．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，各顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（    ） ①与的相似比为；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）如图，已知，添加下列条件后仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的中位线，是的中位线，连结、、．已知，，，．则的长度为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，，若，，则的长为（    ） A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在正方形中，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得到，延长交于点M，连接．下列结论错误的是（   ） A．是直角三角形 B． C．当点M与点C重合时， D．平分正方形的面积 二、填空题 11．（24-25九年级上·湖南永州·期中）如图，，，，，则＝ ． 12．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为了测量操场上旗杆的高度，数学兴趣小组测得小张在操场上的影长恰好等于他的身高．此时，数学兴趣小组又测得旗杆的影长为，则旗杆的高度为 m． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则 ． 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点是位似中心，已知点A，B的坐标为，，点F的坐标为，则点H的坐标为 . 16．（24-25九年级上·山东枣庄·期中）如图，在中，是上一点，连接，，是的中点，连接并延长交于点，则的值为 ． 17．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，，，则 ． 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为 ． 三、解答题 19．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段、满足，且． (1)求、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求的值． 20．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，求证：． 21．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 22．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，中，点在线段上，，且． (1)求证：； (2)若，求的周长． 23．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，是的中线，点是上一点，且，连接并延长交于点． (1)若，求的长； (2)求的值． 24．（24-25九年级上·上海·期中）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形． (1)分别写出和的顶点的坐标． (2)以D为位似中心，把缩小一半，得到，请画出 (只画出一个即可)，并写出M、N两点的坐标． (3)试说明和的面积的关系． 25．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 26．（24-25九年级上·四川内江·期中）（1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$